Transcript wartość produkcji czystej [tys. zł]

Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
Założenia
- wartość produkcji czystej [tys. zł],
- wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego [mln zł],
- średnia liczba zatrudnionych w ciągu roku [l. pracowników]
Relacja pomiędzy zmiennymi nieliniowa:
funkcja Cobb – Douglasa:
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
Dane
statystyczne:
[1993 – 2007]
Rok
Yt
Kt
Lt
1993
864,00
13,5
359
1994
1081,20
17,4
453
1995
1092,80
18,7
431
1996
1194,10
23,3
423
1997
1225,60
24,4
424
1998
1284,60
24,2
471
1999
1409,70
28,6
486
2000
1502,70
31,2
511
2001
1597,40
34,1
535
2002
1634,80
33,2
574
2003
1783,00
35,1
601
2004
1786,90
38,5
600
2005
1900,40
41,4
634
2006
1972,80
41,1
690
2007
2022,50
42,2
707
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
1. obliczyć elastyczność produkcji względem czynników produkcji, zinteipretować
wyniki
2. określić o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli wartość produkcyjnego majątku
trwałego wzrośnie o 3%, a liczba zatrudnionych zmniejszy się o 2%,
3. określić jaka powinna być wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego, aby
osiągnąć wartość produkcji czystej 2,05 mln zł, utrzymując jednocześnie zatrudnienie
na poziomie z roku 2007
4. określić, o ile należy zwiększyć średnie, roczne zatrudnienie z okresu 2007 na
2008, jeżeli wiadomo, że wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego ulegnie w
okresie 2008 zmniejszeniu o 5 mln zł w porównaniu z rokiem 2007, a jednocześnie
chcemy utrzymać produkcje na poziomie roku 2007
5. wyznaczyć optymalny układ czynników produkcji {K, L}, tak by uzyskać
maksymalną wartość produkcji czystej Y = 1,5 mln zł, gdy znana jest liniowa funkcja
kosztów całkowitych C(K, L) = 22 000 K + 1 500 L
6. czy proces produkcji charakteryzuje; stały, rosnący czy malejący efekt skali
produkcji
7. wyznaczyć i zinterpretować stopień jednorodności funkcji
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
Oszacowana
postać modelu:
Yt  13,36 K t0, 4521 L0t ,5080 e et
Elastyczność produkcji względem majątku produkcyjnego
że
zwiększenie
majątku
 Y / K  0,4521 oznacza,
produkcyjnego o 1% powoduje wzrost produkcji czystej o
0,4521%.
Elastyczność produkcji względem zatrudnienia  Y / L  0,5080
oznacza, że zwiekszenie zatrudnienia o 1% powoduje
wzrost produkcji czystej o 0,5080%
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
Y / K 
Elastyczność
produkcji
względem
nakładów
Y K
Y K
Y L
Y L
 

 , Y / L 
 


K Y
Y
K
L Y
Y
L
,
stąd odpowiedź na pytanie o ile procent zmieni się produkcja
czysta Y, jeśli zmieni się jednocześnie wartość nakładów {K, L},
odpowiednio o KK 100% i LL 100% zawiera wartość równania:
, K  3% , L  2% , zmiana
K
L
produkcji pod wpływem zmian nakładów:
Y
100%  0,3403%
Y
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
Substytucja
nakładów
Załóżmy, że wartość produkcji jest na poziomie = 2,05
mln zł, przekształćmy funkcje produkcji, wyznaczając
wartość
majątku
produkcyjnego
jako
funkcję


zatrudnienia: K   Y  L  , stąd jeśli
,a

 
[tys.zł], to
1

0
t
t
0
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
Krańcowa stopa substytucji majątku produkcyjnego poprzez pracę:
RK / L
Y
dK
 L  
Y
dL
K
określa jaka ilością pracy L należy zastąpić wycofaną ilość kapitału K,
bowiem równanie
wyznacza konieczne zwiększenie nakładów
pracy, kompensujące spadek nakładów majątku produkcyjnego, pozwalające
Stopa
substytucji
utrzymać produkcję na poziomie
w miejsce K równanie izokwanty:
, z definicji:
stąd podstawiając
= 0,0663, otrzymamy
otrzymamy:
, a zatem dL  
5
 76
0,0663
by zrekompensować spadek wartości produkcyjnego majątku trwałego o 5 mln
zł, przy jednoczesnym utrzymaniu produkcji czystej na poziomie 2022,5 tys zł.,
należy zwiększyć średnie roczne zatrudnienie o 76 pracowników
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
Niech wK oraz wL oznaczają jednostkowe koszty zaangażowania czynników produkcji {K, L},
1

 Y0   
stąd: minK ,L C(K , L)  minK ,L (wK K  wL L)  C(K , L ) oraz K t    Lt  ,
0 
0
0
1

 Y0  
minL C ( L)  minL (wK   L  wL L)  C ( L0 ) , pochodna funkcji C(L) jest równa:
 0 
1


dC
  Y0   1
 wK   L
 wL , optymalne rozwiązanie ze względu na L, otrzymamy
dL
  0 
rozwiązując równanie:
2
d C
pochodna
dL2
dC
dL
 Y0 
0
 
,
stąd

0
L

L L
 0 
0
1

1
 
 wL  


w

 K 


 
, ponieważ druga

 
  Y0  0  2
0


L
jest
dodatnia
dla
dowolnych
.

w
(
L
)
K
L L



  0 
0
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
,
Funkcja kosztów całkowitych przyjmuje wartość minimalną wyznaczoną z
warunku: dC
0
dL
L L0
 Y0 

 0 
podobnie wyznaczyć można K 0  
1
 
 wL  


w

 K 

 
przy założeniach przyjętych
w poleceniach punktu 5, stąd:
 1500 
K0  

13
,
364


1
0, 4521 0508
 1500 0,4521


22000
0
,
508


0, 508
0, 4521 0, 508
stąd minimalny koszt jest równy:
 1500 
 31 , L0  

13
,
364


Cmin  1 448,5
1
0, 4521 0508
[tys. Zł]
 1500 0,4521


22000
0
,
508



0, 4521
0, 4521 0, 508
 511
Funkcja produkcji
Cobb - Douglas
Ponieważ     0,9601 1 , zatem tempo przyrostu nakładów jest większe
aniżeli przyrost skali produkcji
Y (K , L)   0 (K ) (L)     Y ( K , L)
stopnia jednorodności funkcji produkcji
, zatem k     jest miarą