Transcript null
Άπειρεσ κροφςεισ Δακτφλιοσ ακτίνασ R κυλάει ςε οριηόντιο δάπεδο προσ ζνα κατακόρυφο τοίχο όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ του δακτυλίου με το δάπεδο 0 είναι , ενϊ ο τοίχοσ είναι λείοσ. Η κροφςθ του δακτυλίου με τον τοίχο είναι ανελαςτικι και ζχει ωσ αποτζλεςμα τθν ελάττωςθ τθσ κινθτικισ του ενζργειασ λόγω μεταφορικισ κίνθςθσ κατά 0 800 %. Τθ χρονικι ςτιγμι 9 t 0 , ο δακτφλιοσ ςυγκροφεται με τον τοίχο με ταχφτθτα (κζντρου μάηασ) μζτρου 0 . Α. Δείξτε ότι ο δακτφλιοσ κα ςυγκρουςτεί (κεωρθτικά) άπειρεσ φορζσ με τον τοίχο, και κα ςταματιςει ςε πεπεραςμζνο χρόνο, ακριβϊσ μπροςτά από αυτόν. Β. Βρείτε το ςυνολικό χρόνο κίνθςθσ του δακτυλίου. Γ. Υπολογίςτε το ςυνολικό διάςτθμα που διανφει το κζντρο μάηασ του δακτυλίου. Δ. Βρείτε το ποςοςτό τθσ αρχικισ κινθτικισ ενζργειασ του δακτυλίου που μετατρζπεται ςε κερμότθτα λόγω των ανελαςτικϊν ςυγκροφςεων με τον τοίχο. Λφςθ. Έςτω 1 και 2 τα μζτρα των ταχυτιτων πριν και μετά τθν κροφςθ του δακτυλίου με τον τοίχο. Η κινθτικι ενζργεια λόγω μεταφορικισ κίνθςθσ είναι αντίςτοιχα, K1 K2 1 m12 , 2 1 m22 . Από το δεδομζνο ποςοςτό μείωςθσ τθσ κινθτικισ ενζργειασ ζχουμε, 2 K2 1 1 K1 2 1 9 3 Αφοφ ο τοίχοσ είναι λείοσ, θ δφναμθ που αςκεί ςτον δακτφλιο κατά τθν διάρκεια τθσ κροφςθσ είναι οριηόντια και επομζνωσ ουδεμία μεταβολι προκαλεί ςτθν γωνιακι ταχφτθτα του δακτυλίου. Αν υποκζςουμε ότι ο δακτφλιοσ κυλάει, αμζςωσ πριν κροφςθ κα είναι, 1 1 R 1 Πριν τθν κροφςθ 1 1 Μετά τθν κροφςθ 2 Μετά τθν κροφςθ αςκείται ςτον δακτφλιο δφναμθ τριβισ μζτρου, T mg . Έτςι θ μεταφορικι και θ περιςτροφικι κίνθςθ του δακτυλίου είναι ομαλά μεταβαλλόμενεσ με επιταχφνςεισ μζτρων, T acm acm g και m a TR g a 2 mR R + T Η ταχφτθτα του κζντρου μάηασ και θ γωνιακι ταχφτθτα, μετά από χρόνο t από τθ ςτιγμι τθσ κροφςθσ δίνονται από τισ ςχζςεισ, 1 3 2 acm t 1 g t (1) 1 a t 1 R g R t (2) Η ολίςκθςθ του δακτυλίου κα ςταματιςει όταν ικανοποιθκεί θ ςυνκικθ, R , και με αντικατάςταςθ από τισ παραπάνω εξιςϊςεισ βρίςκουμε, t 22 . Αντικακιςτϊντασ ςτισ g (1) και (2) και λαμβάνοντασ υπόψθ ότι 1 32 , ζχουμε, 2 , 2 2 R Η μετατόπιςθ του κζντρου μάηασ ςτο διάςτθμα t κα είναι, 1 2 x 2 t acm t x 0 2 Δθλαδι θ ταχφτθτα του κζντρου μάηασ τθ ςτιγμι που ςταματά θ ολίςκθςθ, είναι αντίκετθ τθσ ταχφτθτασ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ, ο δακτφλιοσ βρίςκεται ακριβώσ μπροςτά από τον τοίχο, αμζςωσ ακολουκεί νζα κροφςθ με ταχφτθτεσ 2 και 2 2 R και το φαινόμενο επαναλαμβάνεται. Β,Γ,Δ. Έςτω n n 1, 2,3.... το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του κζντρου μάηασ αμζςωσ μετά τθν n οστή κροφςθ. Όπωσ είναι φανερό από τα προθγοφμενα κα ιςχφουν οι ςχζςεισ, n 1 n 3 0 2 tn n (χρονικό διάςτθμα από τθν n ζωσ τθν n 1 κροφςθ) g n2 (διάςτθμα που διανφει το κζντρο μάηασ μεταξφ των κροφςεων) g Sn K n 4mn2 (απϊλεια ενζργειασ κατά τθ n οστή κροφςθ) Ο ςυνολικόσ χρόνοσ κίνθςθσ του δακτυλίου κα είναι, 2 tολ tn tολ 0 g n 1 1 n 1 3 n Όμωσ το άκροιςμα ςτθν τελευταία ςχζςθ είναι το άκροιςμα των απείρων όρων τθσ γεωμετρικισ προόδου με πρϊτο όρο 1 1 και λόγο . Άρα, 3 3 1 1 3 1 1 2 n 1 3 1 3 n και το αποτζλεςμα είναι, tολ 0 g Διαφορετικά Σε όλθ τθ διάρκεια του φαινομζνου θ ςτροφικι κίνθςθ του δακτυλίου είναι ομαλά επιβραδυνόμενθ (αφοφ θ τριβι δεν μθδενίηεται ςε κανζνα χρονικό διάςτθμα) με g επιβράδυνςθ μζτρου a R . Άρα, 0 g R t Όταν ο δακτφλιοσ ςταματιςει κα είναι 0 , οπότε αντικακιςτώντασ ςτθν τελευταία εξίςωςθ βρίςκουμε, tολ 0 R ι tολ 0 g g Για το ςυνολικό διανυόμενο διάςτθμα ζχουμε, 02 1 02 Sολ Sn Sολ Sολ g n 1 9 8 g n 1 n Η ςυνολικι απϊλεια ενζργειασ εξαιτίασ των κροφςεων κα είναι, K n 1 1 4m K m02 2 n 1 9 2 0 Όμωσ θ αρχικι κινθτικι ενζργεια του δακτυλίου είναι, K0 1 1 m02 I 02 K 0 m02 2 2 Άρα λόγω των κροφςεων μετατρζπεται ςε κερμότθτα το 50% τθσ κινθτικισ ενζργειασ του δακτυλίου. Το υπόλοιπο 50% μετατρζπεται ςε κερμότθτα λόγω τθσ τριβισ με το οριηόντιο δάπεδο. Σχόλιο: Η κινθτικι ενζργεια που μετατρζπεται ςε κερμότθτα λόγω τριβισ με το δάπεδο κα είναι, 1 K m02 2 Υπολογίηοντασ το γινόμενο, TSολ mgSολ 1 2 m0 , βρίςκουμε ότι δεν ταυτίηεται με τθν 8 απϊλεια τθσ κινθτικισ ενζργειασ λόγω τριβισ, όπωσ ίςωσ κα περιμζναμε. Ασ το δοφμε λίγο πιο προςεκτικά. Έςτω κυλινδρικισ ςυμμετρίασ ςϊμα που κινείται ςε οριηόντιο δάπεδο με το οποίο παρουςιάηει ςτακερι τριβι. Αςκοφνται επίςθσ θ δφναμθ του + βάρουσ και θ κάκετθ δφναμθ ςτιριξθσ οι οποίεσ ζχουν ςυνιςταμζνθ μθδζν και μθδενικι ροπι και επομζνωσ δεν επθρεάηουν τθν κίνθςθ του ςτερεοφ. Η κινθτικι R ενζργεια του ςτερεοφ κα είναι, T Α K 1 2 1 2 m I 2 2 Ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ κινθτικισ ενζργειασ είναι, dK dK dK m acm I a T T R T dt dt dt όπου R το διάνυςμα κζςθσ του ςθμείου εφαρμογισ τθσ τριβισ το οποίο είναι το ςθμείο επαφισ του ςτερεοφ με το ζδαφοσ (ςθμείο Α ςτο ςχιμα). Από τθν ταυτότθτα τθσ διανυςματικισ ανάλυςθσ, A B C A B C θ παραπάνω εξίςωςθ γίνεται, dK dK T R T T R dt dt ι dK T dt αφοφ R Αν T το μζτρο τθσ τριβισ ολίςκθςθσ το διάνυςμα τθσ τριβισ γράφεται, T T αφοφ θ κατεφκυνςθ του διανφςματοσ είναι αντίκετθ από τθν κατεφκυνςθ τθσ ταχφτθτασ του ςθμείου Α. Έτςι τελικά προκφπτει, dK dK T T dt dt Ολοκλθρϊνοντασ τθν τελευταία βρίςκουμε τθν μεταβολι τθσ κινθτικισ ενζργειασ κατά τθν κίνθςθ του ςτερεοφ για οποιοδιποτε χρονικό διάςτθμα t t2 t1 . t2 K T dt t1 ι K TS όπου S το διάςτθμα που διανφει ζνα ςθμείο, θ ταχφτθτα του οποίου είναι κάκε ςτιγμι ίςθ με τθν ταχφτθτα του ςθμείου επαφισ (Α) του ςτερεοφ με το δάπεδο. Στθν περίπτωςθ τθσ παραπάνω άςκθςθσ θ αλγεβρικι τιμι τθσ ταχφτθτασ του ςθμείου επαφισ του δακτυλίου με το δάπεδο είναι, R όπου θ αλγεβρικι τιμι τθσ ταχφτθτασ του κζντρου μάηασ του δακτυλίου. Αλλά ςε όλθ τθ διάρκεια τθσ κίνθςθσ, 0 , οπότε, R και S t dt S 0 με 02 2a t R dt S 0 t t 0 0 R dt dt S 02 R 2 g Άρα 02 R 2 m02 R 2 K TS K mg K 2 g 2 R και τελικά, 1 K m02 2 όπωσ ιταν αναμενόμενο. Σπφροσ Χόρτθσ [email protected]