Transcript Introduzione al Calcolo Strutturale Matriciale

Introduzione al Calcolo
Strutturale Matriciale
Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Struttura discreta
Per struttura discreta si intende un sistema meccanico composto da elementi strutturali
caratterizzati da una propria individualità, connessi tra loro tramite un numero discreto
di punti nodali.
I nodi possono essere soggetti a vincoli e a carichi concentrati. Eventuali carichi
distribuiti possono essere applicati direttamente agli elementi costituenti.
Mediante il calcolo strutturale matriciale
è possibile risolvere questa classe di
problemi,
sia
per
configurazioni
isostatiche che iperstatiche.
In particolare, è possibile identificare la
configurazione di equilibrio, le reazioni
vincolari, lo stato di tensione e
deformazione nei singoli componenti.
Tutto ciò esprimendo le grandezze in
funzione degli spostamenti nodali, e a
patto di conoscere le proprietà elastiche
degli elementi costituenti.
L.Cortese
M5
F3
5
p
3
a
1
y
c
b
6
d
ε0
4
F4
2
x
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Struttura discreta (esempio bidimensionale)
Elementi bidimensionali individuali interconnessi in punti nodali
U
4
c
V
6
d
3
v
a
1
y
b
U1 
V 
 1
U 
=  2
V2 
U 3 
 
 V3 
Carichi nodali
2
x
{F }a
u
5
 F1

=  F2
F
 3





a
a
Spostamenti
nodali
{d }
a
 d1

= d 2
d
 3





a
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
 u1 
v 
 1
u 
=  2
 v2 
u3 
 
 v3 
a
U1 

V1 
{F1} = 
u1 

u1 
{d1} = 
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Struttura discreta (esempio bidimensionale)
Carichi agenti sul generico elemento della struttura
4
4
4
c
p
3
3
Carichi concentrati ai nodi
Carichi distribuiti
ε0
3
∆T
Deformazioni iniziali dovute a carichi termici
Per risolvere il problema discreto, si parte dalla relazione che esprime la condizione
di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Struttura discreta: caso generale
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
{F }a
Vettore delle forze agenti sui nodi
{F }ap
Vettore delle forze nodali necessarie ad equilibrare i carichi distribuiti
{F }εa
Vettore delle forze nodali necessarie ad equilibrare le deformazioni iniziali
0
{F }ad = [K ]a {d }a
L.Cortese
Vettore delle forze nodali necessarie a produrre lo spostamento
elastico dei nodi descritto dal vettore d a
{}
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Concetto di rigidezza di una struttura
Esempio: molla elicoidale
K elic =
F
δ
δ
F
x
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Concetto di rigidezza di una struttura
Esempio: trave incastrata
Kf =
F
δ
y
δ
F
x
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Concetto di rigidezza di una struttura
Esempio: trave incastrata
Kf =
F
δ
=
N
m
KI =
F
α
=
N
rad
y
δ
α
F
x
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Concetto di rigidezza di una struttura
Esempio: portale
K=
F
K11* =
δ
U
Fi
vi
K12* =
i
Ui
vi
K13* =
Ui
ϑi
j
θi
ui
y
Ui
ui
x
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Concetto di rigidezza di una struttura
Esempio: portale
K=
F
δ
K *14
Ui
vi
y
Ui
ui
U
= i
uj
Ui
U
K13* = i
vi
ϑi
U
U
K *15 = i K *16 = i
vj
ϑj
K11* =
K12* =
i
ui
j
θi
uj
θj
vj
x
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Concetto di rigidezza di una struttura
Esempio: portale
K=
*
=
K 21
F
δ
*
=
K 31
Ui
vi
i
ui
y
Mi
Vi
ui
*
=
K 22
Mi
ui
Vi
vi
*
=
K 32
*
=
K23
Mi
vi
j
uj
Vi
θj
Vi
ϑi
*
=
K33
Mi
ϑi
vi
x
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Concetto di rigidezza di una struttura
Stesso discorso si potrebbe ripetere all’inverso pensando di imporre uno spostamento
alla volta, e vedendo quali forze si generano conseguentemente. Si troverebbero altre
componenti K analoghe a quelle viste negli esempi in precedenza.
In generale quindi, la rigidezza di una qualsiasi struttura può essere rappresentata da una matrice
δ
F = K ⋅δ
F
x
i
j
{F } = [K ]{δ }
N.B. La matrice di rigidezza [K] NON E’ la [K*] ricavata a titolo di esempio in precedenza.
Di seguito verrà chiarito il suo reale significato.
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Struttura discreta caso generale: vettori forza e spostamento
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
{F }
a
 F1 
 .. 
 
=  Fi 
 .. 
 
 Fm 
a
{d }
a
 d1 
 .. 
 
=  di 
 .. 
 
d m 
a
{Fi }
{d i }
m = numero dei nodi
di elemento
l = numero dei gradi
di libertà per nodo
 Fi1 
 
=  .. 
F 
 il 
Dunque i vettori
forza e spostamento
hanno in generale
m x l elementi
d i 1 
 
=  .. 
d 
 il 
N.B Le componenti di forza e spostamento sono “generalizzate”, potendo trattarsi anche
di momenti e rotazioni
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Struttura discreta caso generale: matrice di rigidezza di elemento
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
 K11 .. K1i
 ..
..

a
[K ] =  Ki1 .. Kij

..
 ..
 K m1 .. K mj
[K ]a
K1m 
.. 

.. Kim 

.. 
.. K mm 
m = numero dei nodi
di elemento
l = numero dei gradi
di libertà per nodo
..
 Kij11
[K ] = 
ij
..
 Kij
 1l
.. Kij1l 

.. 
.. Kijll 
Matrice di rigidezza di elemento, di dimensioni ml x ml
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Struttura discreta caso generale: matrice di rigidezza di elemento
Significato dei termini della matrice di rigidezza di elemento
a
{F }ad
 Fd1 
 K11 .. K1i .. K1m 
 .. 
 ..
..
.. 
 


F

K
..
K
..
K
=  di  =
i1
ij
im 


 .. 
..
..
.. 

 
 Fd m d  K m1 .. K mj .. K mm 
a
a
 d1 
 .. 
 
a
a
 d i  = [K ] {d }
 .. 
 
d m 
Il generico termine Kij consente di determinare la quota parte della componente i-esima
della {F}d elastica che si genera qualora si imponesse la j-esima componente del vettore
{d}, mantenendo nulli tutti gli altri spostamenti di elemento.
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Struttura discreta caso generale: tensioni e deformazioni di elemento
3
Per ogni punto P interno all’elemento discreto, o soltanto per i punti
critici, è possibile descrivere il campo di tensione e deformazione, in
funzione degli spostamenti nodali, mediante le espressioni:
P
1
{ε } = [B ]{d }a
{σ } = [D ]({ε }− {ε 0 }) + {σ 0 }
dimensionalmente:
[B] [rε x ml ]
[D ] [rσ x rε ]
ε1 
{ε} =  .. 
ε 
 rε 
2
σ1 
{σ} =  .. 
σ 
 rσ 
Matrice di deformazione
Matrice di elasticità (è l’inverso del legame
costitutivo!)
N.B. Nel caso più generale le componenti delle espressioni sono f(x,y,z),
coordinate di P all’interno dell’elemento considerato
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento Asta nel piano
Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Asta nel piano, di sezione uniforme A, lunghezza L. Parametri elastici del materiale E,ν. Asta
“generalizzata”, in grado di reagire a trazione-compressione per l’effetto dei carichi concentrati
nodali e deformazioni iniziali, e a flessione, sotto l’azione dei carichi distribuiti.
j
j
j
p
i
i
ε0
i
∆T
y
vj
Lunghezza dell’asta
L = ( x j − xi ) + ( y j − yi )
2
2
Angolo formato dall’asta con l’asse
delle ascisse
α = arctan(
L.Cortese
y j − yi
x j − xi
yj
yi
A, L, E,ν.
j
uj
vi
α
i
ui
)
xj
xi
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
x
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
j
Forze nodali equivalenti ai carichi distribuiti:
{F }ap
− sin a 
a


 Fi 
pL  cos a 
=  =


2 − sin a 
 Fj  p
 cos a 
pL
2
p
i
y
pL
2
x
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
Forze nodali che impediscono le deformazioni iniziali:
ε 0 = α ∆T
Fc
σ 0 = Eε 0
j
Fc
Fc = E ⋅ α ⋅ ∆T ⋅ A
{F }εa
0
 cos a 
 sin a 
 Fi 


=   = E ⋅ α ⋅ ∆T ⋅ A ⋅ 

F
−
cos
a
 j ε 0


 − sin a 
L.Cortese
ε 0 = α ⋅ ∆T
i
∆T
y
a
x
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
Spostamenti nodali
{d }a
 ui 
 
 d i   vi 
=  = 
 d j  u j 
v j 
j’
L + ∆L
a
dj
I’
di
L
i
y
j
Allungamento dell’asta
x
∆L = (u j − ui ) cos a + ( v j − vi ) sin a
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
Forza assiale in grado di produrre l’allungamento
Fad = A ⋅ E ⋅
∆L
∆L EA
[(u j − ui ) cos a + (v j − vi ) sin a ]
=
L
L
In componenti
a
{F }ad
− cFa d 
a
 − sF 
F
 d

ad 
= i =

 Fd j d  cFad 
 sFad 
d
L.Cortese
U i 
V 
 i
= 
U j 
V j 
y
Fad
j
Fad
i
x
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
EA
(+ ui c 2 + vi sc − u j c 2 − v j sc )
L
EA
(+ ui sc + vi s 2 − u j sc − v j s 2 )
Vi =
L
EA
(− ui c 2 − vi sc + u j c 2 + v j sc )
Uj =
L
EA
(− ui sc − vi s 2 + u j sc + v j s 2 )
Vi =
L
Ui =
L.Cortese
c = cos a
s = sin a
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
In notazione matriciale:
a
{F }
a
d
 c2
sc − c 2 − sc   ui 

  
s 2 − sc − s 2   vi   K ii
EA  sc
=
 =
L  − c 2 − sc c 2
sc  u j   K ji


2
sc
s 2   v j 
 − sc − s
K ij 
K jj 
K ij =
a
 di 
a
a
  = [K ] {d }
d j 
c 2 sc
EA
( −1)i + j 
2
L
 sc s 
N.B. [K] è sempre simmetrica, conseguenza della conservazione dell’energia
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Relazione di equilibrio di elemento
{F }a = [K ]a {d }a + {F }ap + {F }εa 0
Per l’asta “generalizzata” si ha dunque:
a
{F }a
 c2
sc − c 2 − sc
− s 
c 

c 
 s 
2
2
s
− sc − s 
EA  sc
pL  
a
{d } +   + Eα∆T  
=
2
2
2 − s 
L − c − sc c
sc 
− c 

2
2 
 c 
 − s 
sc
s 
− sc − s
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Elemento asta generalizzata nel piano
Deformazioni e tensioni massime e minime di elemento
ε1  1  − c − s c s 
1
pL2 z  1 
a
{
}
d +
= 
  − α∆T  

8EI − 1
1
ε 2  L  − c − s c s 
{ε } = 
σ 1  E − c − s c s 
1
pL2 z  1 
a
{
}
d
+
−
E
α
∆
T
= 




8 I − 1
1
σ 2  L − c − s c s 
{σ } = 
z semiampiezza della sezione trasversale dell’asta
N.B. L’asta “pura” si comporta solo come puntone, reagendo soltanto a trazionecompressione, e non a flessione. In tal caso non è possibile applicare carichi distribuiti.
Tutte le espressioni relative all’asta generalizzata, si possono particolarizzare eliminando i
contributi dovuti a tali carichi.
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trasformazione di coordinate: caso generale
Spesso conviene definire le caratteristiche di elemento in un riferimento locale e poi
“trasformare” le espressioni nel riferimento globale all’atto dell’assemblaggio finale
della struttura
Conoscendo la posizione del sistema locale associato all’elemento rispetto a quello
globale è possibile legare i vettori spostamento nei due riferimenti mediante:
{d '}a = [ L]{d }a
[L]
Matrice di trasformazione degli
spostamenti nodali. E’composta
da coseni direttori.
Nel sistema locale si avranno:
{F '}ad = [ K ' ]a {d '}a
{F '}ap
{F '}εa
0
[ ] [ ]
{ } { }
La relazione tra F ' , F e K ' , K
dalle forze rispetto al sistema di riferimento
segue dall’invarianza del lavoro svolto
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trasformazione di coordinate: caso generale
Il lavoro nei 2 sistemi deve essere lo stesso:
({F } ) {d } = ({F '} ) {d '}
a T
a T
a
{F }a
a
= [L ] {F '}
T
{F }a = [L]T {F '}a
a
=
a T
a
a T
a
Relazione tra i vettori forze nei due riferimenti
[K ]a {d }a = [L]T [K ']a {d '}a = [L]T [K ']a [L]{d }a
[ K ]a = [ L]T [ K ' ]a [ L]
L.Cortese
({F } ) {d } = ({F '} ) [L ]{d }
Relazione tra le matrici di rigidezza nei due
riferimenti
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trasformazione di coordinate: caso bidimensionale
y'
β'= β −γ
y
d
β’
v'
v
β
u'
cos β ' = cos β cos γ + sin β sin γ
x'
γ
sin β ' = sin β cos γ − cos β sin γ
u
x
u = d cos β
v = d sin β
u ' = d cos β '
v ' = d sin β '
u' = d cos β cos γ + d sin β sin γ = u cos γ + v sin γ
v ' = d sin β cos γ − d cos β sin γ = −u sin γ + v cos γ
{d i '} = 
cos γ
 − sin γ
sin γ 
{d i } = [Lii ]{d i }
cos γ 
Ad esempio, per un elemento monodimensionale a 2 nodi nel piano:
 d i '   Lii
=
d j '   0
{d '}a = 
L.Cortese
0   di 
a
  = [L]{d }
L jj  d j 
Spesso si pone l’asse x’ coincidente con
l’asse dell’elemento: β ' = 0 β = γ = α
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trasformazione di coordinate: caso bidimensionale
Nel caso dell’asta nel piano
 c s 0 0
 − s c 0 0
d
'


{d }a
{d '}a =  i  = 
d j '   0 0 c s 


 0 0 − s c
β'= 0 β = γ = α
c = cos a
s = sin a
La matrice di rigidezza nel riferimento locale si scrive:
EA
EA
ui '−
uj'
L
L
EA
EA
U j'= −
ui '+
uj'
L
L
Ui ' =
c − s 0 0   1


EA  s c 0 0   0
T
[K ] = [L] [K '][L] =
L 0 0 c − s   − 1


0 0 s c   0
L.Cortese
1

EA  0
quindi: [K '] =
L − 1

0
0 − 1 0
0 0 0

0 1 0

0 0 0
0 − 1 0  c s 0 0
 c2
sc − c 2 − sc 





0 0 0 −s c 0 0
s 2 − sc − s 2 

 = EA  sc
2
2
0 1 0  0 0 c s  L − c − sc c
sc 




2
0 0 0  0 0 − s c 
−
sc
−
s
sc
s2 

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)