Transcript Elemento Trave nel piano x

Il Metodo degli Elementi Finiti
Elemento Trave nel piano
Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana
y
vi
i
θi
vj
uj
ui
θj
j
Vettore forze
nodali
Vettore
spostamenti
nodali
Ui
ui
Vi
vi
x
Tre gradi di libertà per nodo (nel piano)
θi
Mi
Due nodi per elemento
=
Uj
K
uj
Sei gradi di libertà per elemento
Matrice di rigidezza di elemento: 6 x 6
L.Cortese
Vj
vj
Mj
θj
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana
Qui il problema è identificare la sola matrice di rigidezza [K]. I vettori {F}p e {F}ε0 si calcolano
come già visto per l’elemento asta.
Per la trave piana, la matrice [K] viene prima calcolata in un sistema di riferimento locale e
poi ruotata nel sistema di riferimento globale.
[K ] = [L]T [K ′] [L]
y′
j
x′
y
[K] = matrice di rigidezza nel sistema globale
[K’] = matrice di rigidezza nel sistema locale
α
[L] = matrice di rotazione
i
x
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti assiali
ui
i
Ui
Uj
j
Imponendo lo spostamento nodale ui, mantenendo
vincolati tutti gli altri gradi di libertà dell’elemento, si
generano le forze nodali Ui ed Uj
Ui =
EA
ui
L
Uj =−
A = area della sezione
L = lunghezza
E = Modulo di Young
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
EA
ui
L
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti assiali
i
Uj
Ui
j
uj
In modo analogo è possibile trovare si
possono trovare le parti Ui ed Uj dovute
questa volta al solo spostamento uj :
Ui =
EA
ui
L
Uj =−
EA
ui
L
Uj =
EA
uj
L
Ui = −
EA
uj
L
La relazione tra forze e spostamenti nodali
dell’elemento può essere scritta in forma matriciale
Queste sono le Ui ed Uj
totali, somma dei contributi
dovuti agli spostamenti ui e
uj agenti singolarmente:
EA
EA
−
L
L
EA EA
−
L
L
Ui
=
Uj
ui
uj
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti assiali
ui
i
Ui
Uj
A = area della sezione
L = lunghezza
j
E = Modulo di Young
La matrice di rigidezza
dell’elemento trave, nel piano,
ha dimensioni 6x6.
Conviene quindi espandere
la matrice 2x2, relativa alle
sole componenti assiali, in
una matrice 6x6.
−
EA
L
vi
Mi
θi
=
−
EA
L
EA
L
Vj
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
u
j
vj
Mj
L.Cortese
ui
Vi
Uj
I coefficienti non definiti sono
per il momento nulli.
EA
L
Ui
θj
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
Per individuare le componenti flessionali si dovrebbe procedere in modo analogo a quanto
visto per le componenti assiali: imponendo uno spostamento alla volta si osservano le forze
che si generano conseguentemente. In questo modo è possibile ricavare i coefficienti della
matrice [K], a patto di risolvere un problema iperstatico..
Vi
Mi
v
ii
Mi θ i
Vj
Mj
j
Vi
Mj
i
Vj
j
 Vi 
M 
 i
 =
Vj 
Mj 
?
?
?
?
?
?
?
?
vi 
θ 
 i
 
vj 
θj 
Etc…
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
Conviene invece applicare più condizioni contemporaneamente su una struttura isostatica e
poi usare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si consideri una trave incastrata ad un
estremo e libera all’altro:
dove:
L = lunghezza
J = Momento d’inerzia della sezione
E = Modulo di Young
V
θ
v
Applicando all’estremo libero una forza V, normale all’asse della
trave, si otterrà uno spostamento v , dato dalla nota relazione:
ed una rotazione θ, data dalla relazione:
v=
VL3
3EJ
ϑ =−
VL2
2 EJ
Convenzione per
momenti e
rotazioni:
positivi se antiorari
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
Conviene invece applicare più condizioni contemporaneamente su una struttura isostatica e
poi usare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si consideri una trave incastrata ad un
estremo e libera all’altro:
dove:
L = lunghezza
J = Momento d’inerzia della sezione
E = Modulo di Young
M θ
v
Applicando invece un momento M , i valori dello spostamento v
e della rotazione θ sono calcolati dalle relazioni:
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
v=−
ML2
2 EJ
ϑ=
ML
EJ
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
Si consideri una trave incastrata ad un estremo e libera all’altro.
dove:
L = lunghezza
J = Momento d’inerzia della sezione
E = Modulo di Young
V
M θ
v
Applicando all’estremo libero sia la forza V che il momento M
si ottengono lo spostamento v e la rotazione θ
vi =
Vi L3 M i L2
−
3EJ 2 EJ
ϑi = −
L.Cortese
Vi L2 M i L
+
2 EJ
EJ
Vi =
Invertendo, mediante
semplici passaggi:
12EI
6EI
vi + 2 θi
L3
L
Mi =
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
6EI
4 EI
θi
vi +
2
L
L
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
I coefficienti calcolati per il nodo i, relativi ai gradi di libertà vi e θi , possono essere dunque
espressi in forma matriciale:
Vi
Mi
12 EJ 6 EJ
L3
L2
=
6 EJ 4 EJ
L
L2
vi
θi
N.B. Anche in questo caso le forze sono la quota parte dovuta agli spostamenti presi in
considerazione. Stesso discorso per i calcoli delle diapositive successive. Soltanto quando
verrà considerata la matrice di rigidezza completa le forze saranno quelle totali
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
La forza ed il momento relativi al nodo j e dipendenti dallo spostamento e dalla rotazione
del nodo i possono essere calcolati utilizzando le equazioni di equilibrio:
∑V = V + V
i
j
=0
V j = −Vi
da cui si ricava immediatamente che:
Vj = −
12 EJ
6 EJ
vi − 2 ϑi
L3
L
Dall’equilibrio dei momenti si ottiene:
Mj =
∑ M = −V L + M
i
12 EJ
6 EJ
6 EJ
4 EJ
Lvi + 2 Lϑi − 2 vi −
ϑi
3
L
L
L
L
L.Cortese
i
+Mj =0
=
M j = Vi L − M i
6 EJ
2 EJ
vi +
ϑi
2
L
L
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
Quindi i coefficienti calcolati per il nodo j, relativi ai gradi di libertà vi e θi , possono essere
espressi in forma matriciale:
−
Vj
=
Mj
12 EJ 6 EJ
− 2
L3
L
vi
6 EJ
L2
θi
2 EJ
L
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L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
Per il nodo j si procede in modo analogo, a meno del diverso
segno dei momenti e delle rotazioni:
V
M
θ
v
In questo caso, applicando all’estremo libero
sia la forza V che il momento M si ottengono
le seguenti relazioni per lo spostamento v e la
rotazione θ:
Operando come nel caso precedente si giunge
alla seguente relazione matriciale:
Vj
Mj
L.Cortese
12 EJ 6 EJ
− 2
3
L
L
=
6 EJ 4 EJ
− 2
L
L
v=
VL3 ML2
+
3EJ 2 EJ
ϑ=
VL2 ML
+
2 EJ EJ
vj
θj
Convenzione per
momenti e
rotazioni:
positivi se antiorari
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
Sfruttando ancora le condizioni di equilibrio si ha:
∑V = V + V
i
=0
j
∑M =V L + M
j
i
Vi = −V j
+Mj =0
M i = −Vi L − M j
Di conseguenza i coefficienti calcolati per il nodo i, relativi ai gradi di libertà vj e θj , possono
essere espressi in forma matriciale:
−
Vi
=
Mi
12 EJ 6 EJ
L3
L2
−
6 EJ
L2
2 EJ
L
vj
θj
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: componenti flessionali
I coefficienti di rigidezza flessionali possono essere rappresentati in una matrice 4 x 4 come segue
Vi
12 EJ
L3
Mi
6 EJ
L2
=
Vj
Mj
L.Cortese
−
6 EJ
12 EJ
− 3
2
L
L
6 EJ
L2
6 EJ
L2
2 EJ
L
4 EJ
L
−
12 EJ
6 EJ 12 EJ
− 2
3
L
L3
L
6 EJ
L2
2 EJ
L
−
6 EJ
L2
−
6 EJ
L2
4 EJ
L
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
vi
θi
vj
θj
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: Matrice di Rigidezza di Elemento, riferimento locale
Ora sono noti tutti i coefficienti di rigidezza dell’elemento e può essere scritta l’intera
matrice di rigidezza dell’elemento.
Ui
EA
L
0
0
Vi
0
12 EJ
L3
6 EJ
L2
0
−
Mi
0
6 EJ
L2
4 EJ
L
0
−
0
0
EA
L
=
−
Uj
EA
L
Vj
0
Mj
0
−
−
12 EJ 6 EJ
− 2
L3
L
0
2 EJ
L
6 EJ
L2
EA
L
0
0
ui
12 EJ
L3
6 EJ
L2
vi
6 EJ
L2
2 EJ
L
0
0
θi
0
uj
12 EJ
6 EJ
− 2
L3
L
−
6 EJ
L2
vj
4 EJ
L
θj
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
N.B. i termini nulli
indicano che non vi è
accoppiamento tra forze
assiali e momento
flettente e tra forze
assiali e taglio. Questo è
previsto dalla teoria
elementare della trave.
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trasformazioni di coordinate
La matrice di rigidezza ottenuta è scritta nel sistema di riferimento locale.
Per calcolare la matrice nel sistema globale è necessario eseguire il prodotto matriciale:
[K ] = [L]T [K ′] [L]
Dove [L] è la matrice di rotazione, che può essere scritta in funzione dell’angolo α che
dipende dalle coordinate nodali dell’elemento, scritte nel sistema globale.
y
x′
α = arc tan
j
y′
x j − xi
y j − yi
yj
α
i
x j − xi
yi
xi
xj
L.Cortese
y j − yi
N.B. Nel caso dell’asta piana il
riferimento locale è ruotato rispetto
al globale attorno all’asse z, che
resta comune ai due sistemi
x
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trasformazioni di coordinate
La matrice di rotazione [L] scritta nel piano, per due gradi di libertà di traslazione
ed uno di rotazione, ha la forma:
[L] =
La trasposta si
ricava molto
semplicemente
scambiando le
righe con le
colonne:
[L]T
=
cos α
sen α
0
0
0
0
− sen α
cos α
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos α
sen α
0
0
0
0
− sen α
cos α
0
0
0
0
0
cos α
− sen α
0
0
0
0
sen α
cos α
0
0
0
0
0
1
0
0
0
− sen α
0
cos α
0
0
1
0
0
0
cos α
0
0
0
sen α
0
0
0
0
1
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trasformazioni di coordinate
cos α
sen α
0
0
0
0
− sen α
cos α
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos α
sen α
0
0
0
0
− sen α
cos α
0
0
0
0
Il primo prodotto matriciale:
[K ′] [L]
c = cosα
s = sen α
Abbreviazioni:
EA
L
0
0
0
12 EJ
L3
6 EJ
L2
0
−
12 EJ
L3
6 EJ
L2
−
0
6 EJ
L2
4 EJ
L
0
−
6 EJ
L2
2 EJ
L
−
6 EJs
L2
6 EJc
L2
4 EJ
L
6 EJs
L2
0
0
EA
L
0
−
EAc
L
EAs
L
0
EAc
L
−
EA
L
0
0
L.Cortese
−
12 EJ 6 EJ
− 2
L3
L
6 EJ
L2
2 EJ
L
−
EA
L
0
0
0
0
12 EJ
6 EJ
− 2
L3
L
−
6 EJ
L2
EAc
L
0
4 EJ
L
EAs
L
12 EJs 12 EJc
L3
L3
−
0
0
1
EAc
L
−
EAs
L
0
6 EJ 12 EJs 12 EJc 6 EJ
−
L2
L3
L3
L2
−
6 EJc 2 EJ
L2
L
EAs
L
0
12 EJs 12 EJc 6 EJ 12 EJs 12 EJc
6 EJ
−
− 2 −
− 2
L3
L3
L
L3
L3
L
−
6 EJs
L2
6 EJc
L2
2 EJ
L
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
6 EJs
L2
−
6 EJc 4 EJ
L2
L
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trasformazioni di coordinate
Il secondo prodotto matriciale:
EAc
L
[L]T [[K ′] [L]]
Abbreviazioni:
EAs
L
0
12 EJs
L3
12 EJc
L3
6 EJ
L2
−
6 EJs
L2
6 EJc
L2
4 EJ
L
6 EJs
L2
−
EAc
L
EAs
L
0
EAc
L
−
c = cosα
s = sen α
12 EJs
L3
−
Ac 2 +
cos α − sen α
0
0
0
0
sen α
cos α
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
cos α
− sen α
0
0
0
0
sen α
cos α
0
0
0
0
0
12 J 

 A − 2  sc
L 

−
E
=
L
6 EJc
L2
12 J 

 A − 2  sc
L 

As 2 +
6J
s
L
− Ac2 −
12 J 2
c
L2
−
−
6 EJ
L2
6 EJc
L2
2 EJ
L
6J
s
L
6J
s
L
−
EAs
L
6J
c
L
0
6J
c
L
6J
c
L
6 EJ
−
L2
4 EJ
L
6 EJc
L2
12 J 
12 J 2 
s  − A + 2  sc
L 
L2

12 J 
12 J 2

2
 − A + 2  sc − As − 2 c
L 
L

6J
s
L
6J
s
L
−
−
− Ac 2 −
4J
12 J 
12 J 2 
s  − A + 2  sc
L 
L2

0
12 EJs
12 EJc
−
L3
L3
Ac 2 +
−
12 J 2
s
L2
12 J 

 A − 2  sc
L 

As 2 +
−
−
12 J 2
c
L2
6J
c
L
6J
s
L
6J
c
L
6J
c
L
12 J 

 A − 2  sc
L 

6J
s
L
2J
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
L.Cortese
EAs
L
−
6 EJs
L2
2 EJ
L
6J
c
L
12 J 
12 J

 − A + 2  sc − As 2 − 2 c 2
L 
L

1
EAc
L
12 EJc
6 EJ 12 EJs 12 EJc
−
−
−
L3
L2
L3
L3
6 EJs
L2
12 J 2
s
L2
−
2J
6J
s
L
−
6J
c
L
4J
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: Matrice di Rigidezza di Elemento, riferimento globale
La matrice di rigidezza 6 x 6 di un elemento trave nel piano è dunque:
Ac 2 +
12 J 2
s
L2
12 J 

 A − 2  sc
L 

[K ] = E ⋅
L
−
6J
s
L
− Ac 2 −
12 J 

 A − 2  sc
L 

As 2 +
12 J 2
c
L2
12 J 
12 J 2 
s  − A + 2  sc
L 
L2

6J
s
L
6J
c
L
6J
s
L
6J
c
L
6J
c
L
12 J 
12 J

 − A + 2  sc − As 2 − 2 c 2
L 
L

−
−
4J
6J
s
L
−
6J
c
L
2J
Per calcolarla è necessario conoscere la
caratteristica elastica del materiale e i dati
geometrici dell’elemento:
L.Cortese
− Ac 2 −
12 J 
12 J 2 
s  − A + 2 sc
L 
L2

12 J 
12 J

 − A + 2  sc − As 2 − 2 c 2
L 
L

6J
s
L
Ac 2 +
−
12 J 2
s
L2
12 J 

 A − 2  sc
L 

6J
s
L
As 2 +
12 J 2
c
L2
6J
c
L
6J
s
L
6J
c
L
6J
c
L
12 J 

 A − 2  sc
L 

−
−
2J
6J
s
L
−
6J
c
L
4J
L = lunghezza
A = area della sezione
J = Momento d’inerzia della sezione
E = Modulo di Young
y −y
α = arc tan j i
x j − xi
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)
Introduzione al calcolo strutturale matriciale
Trave piana: stato di deformazione e tensione nell’elemento
Vettori deformazione e tensione nell’elemento
{ε } = ?
{σ } = ?
La loro identificazione è più complessa rispetto al caso già visto dell’asta, dal momento
che non è possibile determinare a priori sezioni e punti critici.
Essi dipendono infatti dalle caratteristiche di sollecitazione agenti sull’elemento: si avrà
quindi in generale {ε}={ε(x)}, {σ}={σ(x)}, con x orientata come l’asse della trave.
Mi
Vi
p
Mj
Vj
Vj
Vi
Nella configurazione di equilibrio, per ogni sezione individuata dall’ascissa x, sono note le
caratteristiche di sollecitazione agenti (già esprimibili in termini di spostamenti nodali una
volta determinata la matrice di rigidezza [K]), e gli eventuali carichi distribuiti e deformazioni
iniziali. E’ pertanto possibile identificarne gli effetti (in campo elastico vale anche il p.s.e, per
cui si possono valutare un effetto alla volta e poi sommarli), utilizzando la teoria della trave.
L.Cortese
Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti
(a.a. 2011-2012)