Transcript Esercizi sui circuiti magnetici

Esercizi sui circuiti magnetici
Esercizio 1a. Nel circuito magnetico illustrato calcolare, trascurando la riluttanza del ferro, i
coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due
avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 8 cm2, δ = 0.3 mm, N1 = 200, N2 = 100).
δ
i2
N2
N1
2δ
i1
δ
Soluzione:
Il circuito equivalente “elettrico” si deduce
immediatamente dalle linee d’asse dei
gioghi e delle colonne del circuito
magnetico. La riluttanza R del traferro di
spessore δ è calcolabile come:
δ
3 × 10 −4 m
R=
=
=
µ 0S 4π × 10 −7 H / m 8 × 10 − 4 m 2
(
)(
= 2.984 ×10 H
5
)
−1
N2
ϕ2
R
200 i1
100 i2
2R
B
A
Le forze magnetomotrici si deducono, per
quanto riguarda il valore, dal prodotto del
numero di spire nell’avvolgimento per la
corrente che le attraversa e, per quanto
riguarda il verso, con la regola della vite
destrogira, tenuto conto dei versi assegnati
per le correnti.
Il circuito è costituito da N = 2 nodi e R= 3 rami
in parallelo. La tensione “magnetica” tra i due
nodi del circuito è calcolabile direttamente
utilizzando il Teorema di Millman:
ϕ1
100 i2
ϕ3
ψ AB
R
100i 2 200i1 100i 2
+
+
R
2
R
R = 40i + 80i
=
1
2
1
1
1
+
+
R 2R R
Dalle caratteristiche dei tre rami si ψ AB = 100i 2 − R ϕ2
ϕ1 = (80i1 − 40i 2 ) / R
deducono quindi direttamente i flussi su 
ψ AB = 200i1 − 2R ϕ1 ⇒ 

ogni ramo:
ϕ2 = ϕ3 = (− 40i1 + 20i 2 ) / R

I flussi concatenati ai due avvolgimenti, ψ AB = 100i 2 − R ϕ3
con i versi di riferimento scelti, sono
dati da:
Φc,2 = 100 ϕ2 + 100 ϕ3
Φc,1 = 200 ϕ1 ,
I coefficienti di auto e mutua induzione si calcolano quindi direttamente dalle definizioni:
Φ
Φ
Φ
L1 = c,1
= 53.6 mH
M = c,1
= −26.8 mH
L 2 = c, 2
= 13.4 mH
i 2 i =0
i1 i =0
i 2 i =0
2
2
1
Esercizio 1b. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del
flusso di induzione magnetica sul ramo centrale ed il valore del campo di induzione magnetica nel
traferro sul ramo centrale supponendo che gli avvolgimenti siano percorsi dalle correnti i1 = 3 A e i2
= 2 A.
Soluzione: La procedura di soluzione è la stessa. Sostituendo i valori delle correnti nella soluzione
si ha: ϕ1 = 160 / R = 0.54 mWb . Il valore del campo nel traferro quindi è: B = ϕ1 / S = 0.67 T .
Esercizio 2a. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato, calcolare i
coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due
avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 6 cm2, δ = 1 mm, N1 = 100, N2 = 200)
δ
δ
φ
i1
N1
i2
2δ
N2
δ
L1 = 3.77 mH
L2 = 22.6 mH
δ
M12 = 7.54 mH
Esercizio 2b. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del
flusso di induzione magnetica φ con il verso di riferimento indicato in figura supponendo che gli
avvolgimenti siano percorsi dalle correnti i1 = −2 A e i2 = 4 A.
φ = − 0.15 mWb
Esercizio 3. Determinare il coefficiente di autoinduzione L dell’avvolgimento illustrato (la sezione
del circuito magnetico è 16 cm2, N1 = N3 = 30, N2 = 10).
1 mm
1 mm
N2
N1
N3
3 mm
1 mm
1 mm
L = 0.2 mH
Soluzione:
Il circuito equivalente “elettrico” si deduce
immediatamente dalle linee d’asse dei gioghi
e delle colonne del circuito magnetico. La
riluttanza R del traferro di spessore δ = 1 mm
è calcolabile come:
δ
10−3 m
R=
=
=
µ 0S 4π × 10 −7 H / m 16 × 10− 4 m 2
(
)(
= 4.974 ×10 H
5
)
A
R
R
10 i
30 i
30 i
−1
Le forze magnetomotrici si deducono, per
quanto riguarda il valore, dal prodotto del
numero di spire nell’avvolgimento per la
corrente che le attraversa e, per quanto
riguarda il verso, con la regola della vite
destrogira, supponendo la corrente i entrante
nel terminale di destra.
Il circuito è costituito da N = 2 nodi e R= 3 rami
in parallelo. La tensione “magnetica” tra i due
nodi del circuito è calcolabile direttamente
utilizzando il Teorema di Millman:
Dalle caratteristiche dei tre rami si deducono
quindi direttamente i flussi su ogni ramo:
ϕ2
ϕ1
ϕ3
3R
R
R
B
ψ AB
30i 10i 30i
+
+
2
R
3
R
2R = 25i
=
1
1
1
+
+
2R 3R 2R
ψ AB = 30i − 2R ϕ2

ψ AB = 10i − 3R ϕ1
ψ = 30i − 2R ϕ
3
 AB
ϕ1 = 5i / 2R

⇒ ϕ2 = −5i / R
ϕ = 5i / 2R
 3
Il flusso concatenato all’avvolgimento è: Φc = 30 ϕ1 + 10 ϕ2 + 30 ϕ3 = 100i/R (i segni sono positivi
dato che i flussi ϕ1, ϕ2 e ϕ3 hanno gli stessi versi delle forze magnetomotrici sui rami
corrispondenti). Quindi il coefficiente di autoinduzione dell’avvolgimento è: L = Φc/i = 100/R =
0.201 mH
Esercizio 4. Trascurando la riluttanza dei tratti in ferro, calcolare il flusso sul ramo AB del circuito
magnetico assegnato (sezione 10 cm2)
0.5 mm
0.5 mm
A
2A
N1 = 30
φAB
1 mm
3A
0.1 mm
0.5 mm
N2 = 40
0.5 mm
B
φAB = 0.19 mWb
Esercizio 5a. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato in sezione
calcolare il coefficiente di auto induzione dell’avvolgimento (la lunghezza assiale è w =20 cm, il
raggio del cilindro interno è R = 50 mm, l’apertura angolare di ogni polo α = 58° (1 rad), δ0 = 1
mm, δ1 = 0.1 mm, t =10 mm, N = 100)
i
N
δ0
t
R
δ1
δ0
N
L = 223 mH
Soluzione:
δ1
Il circuito equivalente “elettrico” si deduce
immediatamente dalle linee d’asse del circuito
magnetico. La riluttanza R1 dei traferri di
spessore δ1 = 0.1 mm è calcolabile come (l’area
della sezione è S1 = tw = 10−2 × 0.2 = 2 × 10−3
m2):
δ
R1 = 1 = 3.98 × 10 4 H −1
µ 0S1
La riluttanza R0 dei traferri di spessore δ0 = 1
mm è calcolabile come (l’area della sezione è S0
= αRw = 1 × 5 × 10−2 × 0.2 = 10−2 m2):
δ
R 0 = 0 = 7.96 × 10 4 H −1
µ 0S 0
Le forze magnetomotrici si deducono, per
quanto riguarda il valore, dal prodotto del
numero di spire nell’avvolgimento per la
corrente che le attraversa e, per quanto riguarda
il verso, con la regola della vite destrogira.
Sostituendo le riluttanze dei rami e destra e
sinistra (in parallelo) con la riluttanza
equivalente, le riluttanze del ramo centrale (in
serie) con la riluttanza equivalente ed i due
generatori (in serie) con un solo generatore
equivalente, si ottiene il circuito a destra. Il
flusso ϕ si determina quindi applicando la
“LKT” alla maglia:
Ni
ϕ
R0
R1
R1
R0
Ni
2Ni
ϕ
R1/2
2R0
0 = − 2Ni + (R1/2 + 2R0) ϕ
Quindi ϕ = 2Ni/(R1/2 + 2R0). Il flusso concatenato all’avvolgimento è (col verso indicato per ϕ)
pari a: Φc = 2Nϕ = 4N2i/(R1/2 + 2R0). Quindi il coefficiente di autoinduzione dell’avvolgimento è:
L = Φc/i = 4N2/(R1/2 + 2R0) = 223 mH.
Esercizio 5b. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del
campo di induzione magnetica nei traferri δ0 supponendo che l’avvolgimento sia percorso dalla
corrente i = 2 A .
Β = 0.22 T
Soluzione: La procedura di soluzione è la stessa. Sostituendo il valore della corrente nella soluzione
si ha: ϕ = 2Ni/(R1/2 + 2R0) = 2.2 mWb. Il valore del campo di induzione magnetica (radiale) nei
traferri δ0 quindi è: B = ϕ / S0 = 0.22 T .