Transcript Equilibrio relativo

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Dispense di Idraulica
pP
= h1 + h2 − z P
γ1
(2-68)
Pertanto all’interfaccia tra i due fluidi (zP=h2), l’altezza piezometrica vale
h1, mentre la pressione è pari a γ1h1.
Applicando Stevino tra un punto all’interfaccia tra i due fluidi e un
generico punto K posto nel fluido 2, si ha
pK
zK +
γ2
= h2 +
h1γ 1
γ2
(2-69)
Sul fondo quindi la pressione vale
p z =0 = γ 2 h2 + h1γ 1
(2-70)
e quindi
p z =0
γ1
= h1 +
γ

γ 2 h2
= h1 + h2 + h2  2 − 1
γ1
 γ1

(2-71)
Di conseguenza la pendenza del diagramma di pressione nel fluido 2
risulterà maggiore di quella relativa al fluido 1.
La distanza, h1’, tra il piano dei carichi idrostatici del fluido 2 e il fondo del
serbatoio, si determina dalla (2-69) imponendo la pressione nulla, scrivendo
quindi
h1 = h2 +
'
h1γ 1
γ2
(2-72)
Tale distanza risulta quindi minore della distanza tra superficie libera e
fondo del serbatoio e quindi il piano dei carichi idrostatici del fluido 2 è posto a
una quota inferiore di quello del fluido 1, essendo γ1/γ2<1; tale distanza è anche
individuabile dalla quota del livello del liquido all’interno di un tubo collegato
al serbatoio e pieno solo di fluido 2.
Volendo tracciare il diagramma delle pressioni assolute, è necessario
traslare il diagramma delle pressioni relative della quantità pATM/γ1.
2.7.
Equilibrio relativo
Si parla di equilibrio relativo, quando il fluido posto all’interno di un recipiente
risulta sottoposto oltre che al campo gravitazionale anche a una o più forze
Equazioni indefinite di equilibrio
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apparenti, derivanti dalle forze cui è sottoposto il recipiente stesso, rispetto al
quale il fluido si trova in condizioni idrostatiche.
Si consideri ad esempio un recipiente cilindrico di raggio R, contenente un
liquido e in rotazione attorno al suo asse di simmetria verticale (assunto come
asse z) con velocità angolare ω di valore costante nel tempo (Figura 2-9).
Figura 2-9
Un osservatore solidale al recipiente percepisce condizioni idrostatiche del
liquido e quindi risulta ancora valida l’equazione indefinita della idrostatica
nella quale le forze di massa sono costituite dalla somma vettoriale della forza
peso e della forza apparente pari a quella centrifuga. Assumendo un asse r
ortogonale a z con origine sull’asse z stesso, la (2-59) si può quindi scrivere
come
(r
)
ρ g + Aapp = ρ (− ggradz + ω 2 rrˆ ) = grad p
r
(2-73)
che nell’ipotesi di fluido incomprimibile diventa
 ω 2r 2 
p
 = grad
- gradz + grad
γ
 2g 
e cioè
(2-74)
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Dispense di Idraulica

p ω 2r 2 

 = 0
grad z + −
2
g
γ


(2-75)
Tale relazione fornisce la legge di distribuzione della pressione
p
=
γ
ω 2r 2
- z + cost
2g
(2-76)
Assumendo come piano di riferimento a quota z nulla, il fondo orizzontale
del recipiente, il valore della costante può essere calcolato imponendo che per
z=h0 e r=0 si ha p=0, ottenendo
p
=
γ
ω 2r 2
2g
- z + h0
(2-77)
La superficie libera di separazione tra liquido e atmosfera, essendo
un’isobarica con p=0, ha equazione
z=
ω 2r 2
2g
+ h0
(2-78)
denotando un innalzamento H alla parete, rispetto al fondo pari
H=
ω2R2
2g
+ h0
(2-79)
Le altre superfici isobariche saranno quindi della traslazioni rigide rispetto
alla superficie libera come si può notare dalla (2-77) ponendo p=p* e ottenendo
z=
ω 2r 2
2g
+ h0 −
p*
γ
(2-80)
Tutte le superfici isobariche sono quindi dei paraboloidi di rivoluzione, a
conferma della (2-73), nella quale si nota che le superfici isobariche devono
risultare ortogonali alla somma vettoriale della forza peso e della forza
centrifuga: in asse tale somma vettoriale risulta verticale (poiché in asse risulta
nulla l’accelerazione centifuga) e quindi le superfici isobariche sono
caratterizzate dall’essere a tangente orizzontale; al crescere invece di r le
superfici isobariche presentano pendenze sempre più marcate poiché la somma
vettoriale della forza peso e della forza centrifuga presenta una componente
orizzontale via via maggiore (la componente verticale risulta essere la stessa in
ogni punto poiché ovunque essa risulta in modulo coincidente con
l’accelerazione di gravità).
Equazioni indefinite di equilibrio
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Figura 2-10
Si consideri ora un liquido contenuto in un recipiente aperto (Figura 2-10).
r
Se il recipiente si muove lungo un piano orizzontale con un’accelerazione A ,
per l’osservatore solidale al recipiente risulta ancora valida l’equazione
indefinita della idrostatica nella quale le forze di massa sono costituite dalla
somma vettoriale della forza peso e della forza apparente pari a
r
r
Aapp = − A
(2-81)
In questo caso la (2-59) si può scrivere come
(r
r
)
ρ g + Aapp = grad p
(2-82)
nella quale il primo membro è un vettore costante in ogni punto. Questo
significa che le superfici isobariche (quindi anche quella a p=0 di separazione
tra liquido e aria) risultano delle superfici a pendenza costante e quindi dei piani
inclinati.
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Dispense di Idraulica
Figura 2-11
Si consideri infine un liquido contenuto in un recipiente aperto (Figura
2-11) che scivola con attrito trascurabile, lungo un piano inclinato dell’angolo α
rispetto all’orizzontale, per effetto della forza di gravità. Considerato che il
versore del moto risulta pari a
sˆ = cos αiˆ − senαkˆ
r
l’accelerazione A con la quale si muove il recipient è pari a
r r
A = ( g ⋅ sˆ )sˆ = gsenαsˆ
(2-83)
(2-84)
L’osservatore solidale al recipiente osserverà quindi oltre all’accelerazione
di gravità, l’accelerazione apparente pari a
r
r
Aapp = A = − gsenαsˆ
(2-85)
Tramite la (2-83) e la (2-85), l’equazione indefinita della statica (2-59) si
scrive pertanto come
(r
r
) [
(
)]
ρ g + Aapp = ρ − gkˆ − gsenα cos αiˆ − senαkˆ = grad p
che diventa
(2-86)
Equazioni indefinite di equilibrio
(
)
(2-87)
)
(2-88)
− ρg senα cos αiˆ + cos 2 αkˆ = grad p
e cioè
(
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− ρg cos α senαiˆ + cos αkˆ = grad p
Considerato che il versore ortogonale al piano inclinato è
nˆ = senαiˆ + cos αkˆ
(2-89)
− ρg cos αnˆ = grad p
(2-90)
la (2-88) diventa
mostrando che tutte le superfici isobariche (e quindi anche la superficie di
separazione liquido-aria) sono rappresentate da piani paralleli al piano inclinato.