M.C.D. e m.c.m.

Def:

si dice

massimo comun divisore

di due o più numeri (

M.C.D.

) il maggiore dei loro divisori comuni. Es: D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } divisori di 18 D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } divisori di 24 D(18, 24) = { 1, 2, 3, 6} divisori in comune a 18 e 24 Massimo divisore comune: M.C.D. (18, 24) = 6

REGOLA

Per calcolare l’M.C.D. di due o più numeri, con il metodo della scomposizione in fattori primi: 1) si scompongono in fattori primi i numeri dati; 2) si moltiplicano fra loro i fattori primi in comune, ciascuno preso

una sola volta

con l’

esponente più piccolo

. Esempio: Calcolare l’M.C.D. (540, 840, 1188) 1

540 2 2 3 3 5 840 2 3 3 5 7

si evidenziano i fattori in comune

1188 2 2 3 3 11

Si scelgono quelli con l’esponente più piccolo:

tra loro

MCD

( 540 , 840 , 1188 ) 2 2 3 4 3 12 2 2 e 3 e si moltiplicano

Def

: due o più numeri si dicono PRIMI FRA LORO o COPRIMI se hanno MCD = 1, ovvero se

NON

hanno divisori comuni. Es: 9 14 3 2 2 7  non hanno numeri primi in comune  MCD(9, 14) = 1

Osservazioni

:  Due o più numeri primi sono primi fra loro Es: 3 1 3 7 1 7  l’unico fattore in comune è 1 

MCD(3, 7) = 1

 Due o più numeri primi fra loro non sono necessariamente primi Es: 8 2 3 15 3 5  8 non è primo, 15 non è primo 

MCD(8, 15) = 1

2

Def

: si dice

minimo comune multiplo

di due o più numeri (

m.c.m.

) il minimo dei loro multipli comuni (il più piccolo). Es: Calcolare l’ m.c.m. tra 6 e 8. M(6) = {6, 12, 18, 24 , 30, 36, 42, 48 , 54, 60, 66, 72 , …}

multipli di 6

M(8) = {8, 16, 24 , 32, 40, 48 , 56, 64, 72 , 80, 88, ….}

multipli di 8

M(6, 8) = { 24, 48, 72, …..}

multipli in comune di 6 e di 8



m.c.m. (6, 8) = 24

il più piccolo multiplo in comune

REGOLA:

per calcolare l’

m.c.m

di due o più numeri con il metodo della scomposizione in fattori primi: 1.

si scompongono i numeri dati in fattori primi; 2.

si moltiplicano fra loro

tutti i fattori primi

, comuni e non comuni, ciascuno preso

una sola volta

con l’

esponente più grande

. Es: Calcolare m.c.m.(540, 840, 1188). 1.

Scomponiamo i numeri in fattori primi 540 840 1188 2 2 2 3 3 3 5 3 5 7 2 2 3 3 11

si prendono TUTTI i fattori solo una volta

3

2.

Prendiamo tutti i fattori, se ce ne sono di uguali si scelgono quelli con l’esponente più grande

m

.

c

.

m

.( 540 , 840 , 1188 ) 2 3 3 3 5 7 11 8 27 5 7 11 83 ' 160

PROBLEMI CHE SI RISOLVONO CON M.C.D. E m.c.m.

1.

Se si devono dividere le grandezze date in PARTI UGUALI, che siano le maggiori possibili, si deve trovare il loro

M.C.D.

2.

Se si hanno avvenimenti periodici e si vuole sapere quando capiteranno insieme, si deve trovare il loro

m.c.m

. Es. 129 pag. 249. R = 180 G = 150 B = 120 Numero mazzi uguali = M.C.D. (180, 150, 120) = 180 = 150 = 120 = numero di mazzi uguali = ? quante rose uguali ci sono in ogni mazzo = ? Rose rosse in ogni mazzo = Rose gialle in ogni mazzo = Rose bianche in ogni mazzo = Rose in totale in ogni mazzo = R + G + B = 6 + 5 + 4 = 15 4

Es. 134 pag. 250 P = 6 s S = 8 s T = 15 s m.c.m. (6, 8, 15) = 6 = 8 = 15 = dopo quanti

s

si accendono insieme = ? = 2 m 5