Transcript Radicali

Radicali
Radici quadrate
Si dice radice quadrata di un numero reale a, e si indica con  a , il
numero reale positivo o nullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come
risultato a.
Esistenza delle radici quadrate:
Ogni numero reale positivo o nullo ha esattamente una radice quadrata in R. Esempio:  4=2
Ogni numero reale negativo non ammette radice quadrata in R perché non esiste nessun numero che
elevato a 2 dia un valore negativo. Esempio: −4 non esiste
Radici cubiche
Si dice radice cubica di un numero reale a, e si indica con
reale che, elevato al cubo, dà come risultato a.
Esistenza delle radici cubiche:
Ogni numero reale ha esattamente una radice cubica in R. Esempio:
3 a , il numero
3 8=2 , 3 −8=−2
Radici n-esime
Sia n un numero naturale diverso da zero; si definisce radice n-esima di un
numero reale a (se esiste) e si indica con il simbolo n a :
• se n è pari: il numero reale positivo o nullo che, elevato a n, dà come
risultato a
• se n è dispari: il numero reale che, elevato a n, dà come risultato a
Il simbolo n
è detto segno di radice n-esima
Il numero a è detto radicando
Il numero n è detto indice del radicale. Nel caso di n=2 l'indice viene
normalmente omesso
Esistenza delle radici n-esime:
Se n è pari:
• ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R.
Esempio: 4 16=2
• ogni numero reale negativo non ammette radici n-esime in R perché non esiste nessun numero
che elevato ad un numero pari dia un valore negativo. Esempio: 4 −16 non esiste
Se n è dispari:
• ogni numero reale ha esattamente una radice n-esima in R. Esempio: 5 32=2 ; 5 −32=−2
Riduzione allo stesso indice e semplificazione
Proprietà invariantiva dei radicali:
Consideriamo un radicale il cui radicando è positivo o nullo. Moltiplicando
l'indice del radicale e l'esponente del radicando per uno stesso numero
naturale diverso da zero si ottiene un radicale equivalente a quello
originario. In simboli:
n am è equivalente a np amp per ogni
a≥0
e per ogni n,m,p appartenenti a N -{0}
Riduzione di più radicali allo stesso indice
Si applica la proprietà invariantiva. Per ridurre allo stesso indice si
determina il m.c.m. tra gli indici e si moltiplica indice del radicale ed
esponente del radicando per il quoziente tra m.c.m. e indice del radicando.
Esempio: se si hanno i radicali 12 5 e 18 5 il m.c.m.(12,18)=36, quindi si divide 36 per 12 (per il primo
radicale) e si ottiene 3 e quindi il primo radicale è equivalente a 12∙ 3 5 1∙ 3 = 36 125 .
Per il secondo radicale si divide 36 per 18 e si ottiene 18 ∙25 1∙ 2 = 36 25
La riduzione di due radicali allo stesso indice può essere utile nella divisione e moltiplicazione di radicali
e per confrontare radicali con indici diversi.
Semplificazioni di radicali
Si applica la proprietà invariantiva “al contrario”, ossia si determina se il radicando e l'indice del radicale
hanno un divisore in comune e si dividono entrambi per tale valore.
Esempio,
 27 = 5 ∙3 31 ∙3 = 5 3
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Prodotto, quoziente, elevamento a potenza di radicali
Prodotto e quoziente
Nell'ipotesi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali
n a e n b valgono le seguenti proprietà:
con n appartenente a N-{0}
n a ∙ n b = n a ∙ b
n a n a con n appartenente a N-{0} e b≠0
2. n =
b b
1.

Potenza di un radicale
Nell'ipotesi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali
presenti,vale la seguente proprietà:
m n
 n a = a m con n,m appartenenti a N-{0}
Trasporto sotto e fuori dal segno di radice
Trasporto sotto il segno di radice
SI tiene conto della seguente catena di uguaglianze (si suppone che
n
n
A n B= A n ∙ n B=  A n ∙ B
A≥0 ):
Esempio: 2 3 3=3 23 ∙ 3 3=3 23 ∙ 3= 3 24
Se A<0 bisogna distinguere il caso di n pari e n dispari:
• se n è dispari si opera come visto precedentemente, come se il fattore
fosse positivo
•
se n è pari bisogna lasciare fuori dalla radice il segno meno e portare
dentro la radice il valore assoluto di A
Esempio: −2 2 2=−2 22 ∙ 2 2=−2 8
Trasporto fuori dal segno di radice
A volte è utile effettuare l'operazione contraria a quella appena vista. Se
si tratta di una radice quadrata, occorre scomporre il radicando individuando
i fattori che sono dei quadrati perfetti, e in questo caso possono essere
trasportati fuori dalla radice. Se si tratta di una radice cubica si
individuano, invece, i cubi perfetti. In caso di radice n-esima si
individuano le potenze n-esime.
Esempio:
3 16= 3 8∙ 2= 3 8 3 2=2 3 2
Addizioni e sottrazioni di radicali ed espressioni irrazionali
Addizioni e sottrazioni
In generale:
n an b≠ n ab
n a−n b≠ n a−b
Se ci sono radicali che hanno lo stesso indice e lo stesso radicando si possono “mettere in evidenza”.
Esempio: 2 3 53 3 5=23 3 5=5 3 5
Espressioni irrazionali
Sono espressioni numeriche o letterali in cui sono presenti dei radicali.
Per semplificare un'espressione irrazionale bisogna applicare opportunamente
le proprietà e le regole viste fino ad ora.
Esercizi svolti:
1. Riduci al minimo indice comune i seguenti radicali:
4 3 ;
2 ;
3 10
Svolgimento: Il m.c.m.(2,4,3)=12, quindi:
2 ∙6
 26
=
12
 26
;
4∙ 3
3 3
=
12
 33
;
3 ∙4
10 4
=
12
 10 4
2. Semplifica, se possibile, i seguenti radicali:
a)
12
 81 ;
b)

4
25
;
16
c)

6
8
;
27
d)
6 36
Svolgimento: devo cercare di esprimere i radicandi come potenze che abbiano un esponente divisore dell'indice del
radicale
a)
b)
c)
d)
3 ∙4
 81=  3 4=3 3
12
   
  
4
6
2
25 2∙ 2 5 2 2 5 2 5  5 1 2
=   = = 2 = 2 2 = 5
16
4
4
2 2 2
8 2 ∙3 2 3 2 2
=  =
27
3
3
3∙ 2
6 36= 6 2=3 6
3. Semplifica i seguenti radicali:
a)
 20 :  2 ;
b)

1
:2 ;
8
c)
 18 ∙  2 ;
Svolgimento:
a)
 20 :  2 =  20 :2= 10
b)

c)
 18 ∙  2 =  18 ∙2= 36=6
d)
  
1
:2 =
8
  
1
1
=
:
200 2
1
1 1
1 1
:2=
∙ =
=
8
8 2
16 4


1 1
1
1
1
: =
∙ 2=
=
200 2
200
100 10
4. Trasporta sotto il segno di radice i fattori esterni:
a) −3  3 ;
b)
1
8 ;
2
c)
13
3
3
Svolgimento:
a) −3  3=−3 2 ∙  3=− 32 ∙ 3=−27




2
2
b) 1  8=  1  ∙  8=  1  ∙ 8= 2
2
2
2
3
3
c) 1 3 3= 3  1  ∙ 3 3= 3  1  ∙ 3= 3 1
3
3
3
9

5. Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili:
d)
 
1
1
:
200 2
a)
 32 ;
b)
 200 ; c) 4 32 ;
d)

3
81
80
Svolgimento: devo cercare di esprimere i radicandi come prodotti in cui compaia un fattore che sia potenza con
indice uguale a quello del radicale
a)
 32= 16 ∙ 2= 16 ∙ 2= 4 2 ∙  2
b)
 200= 100 ∙ 2= 100 ∙ 2= 102 ∙  2=10 ∙  2
c)
d)

3
4 32=4 16 ∙ 2=4 16 ∙ 4 2=2 4 2
81
=
80

3
3 ∙ 33
3 3 3
=
∙
3
2 10
10 ∙ 2

6. Semplifica le seguenti espressioni:
a)
 18  126 27 2
b) 2 3 163 54
Svolgimento:
a)
 18  126 27 2 =  32 ∙ 2  22 ∙ 33 ∙2 33  2 = 3  22  3  3 2 = 4 23  3
b) 2 3 163 54 = 2 3 23 ∙ 23 33 ∙ 2 = 2 ∙2 3 23 3 2 = 4 3 33 3 2 = 7 3 2