Transcript UNIVERSIT´A DI FOGGIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA CORSO

´ DI FOGGIA
UNIVERSITA
DIPARTIMENTO DI ECONOMIA
CORSO DI
MATEMATICA FINANZIARIA A-L
a.a. 2013-2014
PROF. ANDREA DI LIDDO
ESERCIZI SVOLTI
QUINTO CFU
ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA’
SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
CRITERIO DEL VALORE ATTESO
CRITERIO DELL’UTILITA’ MEDIA ATTESA
EQUIVALENTE CERTO
AVVERSIONE - PROPENSIONE - INDIFFERENZA AL RISCHIO
1. Un agente presenta una funzione di utilit´a u(x) = log(1 + 6x). Egli dispone di un progetto
incerto che prevede un reddito di 3 000 euro con una probabilit´a p1 = 0, 1 e di 8 000 euro con
probabilit´a p2 = 0, 6 e di zero euro con probabilit´a p3 = 0, 3. Calcolare l’utilit´a attesa di questa
remunerazione e l’equivalente certo.
SOLUZIONE
Sia X la variabile aleatoria che descrive il gioco.
E’


 3.000 0, 1
X = 8.000 0, 6


0 0, 3
u(X) =



9, 80 0, 1
10, 78 0, 6


0 0, 3
E(u(X)) = 7, 4
Equivalente certo
u(x) = 7, 4
log(1 + 6x) = 7, 4
x = 272, 50
2. Un agente presenta una funzione di utilit´a u(x) = log(x + 200). Egli dispone di due progetti
incerti:
• Progetto A che prevede un reddito di 3 000 euro con una probabilit´a 0.3 e di 10 000 euro
con probabilit´a 0.7;
• Progetto B che prevede un reddito di 5 000 euro con una probabilit´a p e di 8 000 euro con
probabilit´a 1 − p;
Determinare p affinch´e i due progetti siano indifferenti secondo il criterio dell’utilit´a attesa.
SOLUZIONE
(
A=
3.000 0, 3
10.000 0, 7
(
u(A) =
8, 07 0, 3
9, 23 0, 7
E(u(A)) = 8, 88;
(
B=
5.000
p
8.000 1 − p
(
u(B) =
8, 56
p
9, 01 1 − p
E(u(B)) = 8, 56p + 9, 01(1 − p)
I due progetti sono indifferenti se
E(u(A)) = E(u(B))
ovvero
p = 0, 29
3. Si consideri il gioco seguente: si lanciano contemporaneamente due dadi. Se esce il numero 2
al primo dado ed un numero pari al secondo dado si vincono 300 euro, altrimenti si vincono 2
euro.
Calcolare il valore atteso del gioco. Calcolare inoltre l’equivalente certo per un agente che ha
x
).
come funzione di utilit´a u(x) = 5 − 5 exp(− 10
SOLUZIONE
La probabilit´a che esca 2 col primo dado ´e 61 . La probabilit´a che esca un numero pari col
secondo dado ´e 12 .
Poich´e i due eventi sono indipendenti, la probabilit´a che si verifichino entrambi ´e pari al prodotto
1
delle probabilit´a, ovvero 12
.
Sia X la variabile aleatoria che descrive il gioco.
X=



300
1
12


2
11
12
E(X) = 26, 83
u(X) =



5, 00
1
12


0, 91
11
12
E(u(X)) = 1, 25
Equivalente certo
u(x) = 1, 25
u(x) = 5 − 5 exp(−
x
)) = 1, 25
10
x = 2, 88
4. Si consideri il gioco seguente: si lancia una moneta, se esce testa si vincono 10 euro e il gioco
termina, se esce croce si ripete il lancio. Al secondo lancio se esce testa si vincono 100 euro, se
esce croce si vincono 5 euro. In entrambi i casi il gioco termina.
Calcolare il valore atteso del gioco.
√ Calcolare inoltre l’equivalente certo per un agente che ha
come funzione di utilit´a u(x) = 5 6x.
SOLUZIONE
La probabilit´a che esca testa al primo lancio ´e 12 . La probabilit´a che esca croce al primo lancio
e testa al secondo lancio ´e 14 , la probabilit´a che esca croce al primo lancio e croce al secondo
lancio ´e 14
Sia X la variabile aleatoria che descrive il gioco.








10
1
2
X =  100

1
4
5
1
4





E(X) = 31, 25
u(X) =















38, 73
1
2
122, 47
1
4
27, 39
1
4
E(u(X)) = 56, 83
Equivalente certo
u(x) = 56, 83
√
u(x) = 5 6x = 56, 83
x = 21, 53
5. Francesco possiede un capitale certo di 10.000 euro. Valuta se partecipare alla lotteria seguente:
si estrae un numero tra 1 e 90. Se esce un numero pari si vincono 1.000 euro, altrimenti non si
vince nulla. Il prezzo del biglietto ´e 130 euro. Sapendo che la funzione di utilit´a di Francesco
´e u(x) = x(100.000−x)
,
100.000
(a) dire se Francesco giudica vantaggioso comprare 1 biglietto della lotteria;
(b) dire quale ´e il numero massimo di biglietti che Francesco ritiene conveniente comprare.
SOLUZIONE
Se Francesco non compra alcun biglietto della lotteria la sua utilit´a ´e
u(10.000) = 9.000
La probabilit´a che esca un numero pari ´e 21 .
(a) Se Francesco compra un biglietto della lotteria, la sua scelta ´e descritta dalla variabile
aleatoria



10.000 + 1000 − 130
1
2
10.000 − 130
1
2
X=

ovvero



10.870
1
2
9.870
1
2
X=

La sua utilit´a ´e
u(X) =



9.688
1
2


8.896
1
2
La sua utilit´a media attesa ´e
E(u(X)) = 9.292
Pertanto Francesco giudica pi´
u conveniente comprare un biglietto della lotteria piuttosto
che non comprarne alcuno.
(b) Se Francesco compra n biglietti della lotteria, la sua scelta ´e descritta dalla variabile
aleatoria
X=



10.000 + 1000n − 130n
1
2


10.000 − 130n
1
2
ovvero
X=



10.000 + 870n
1
2


10.000 − 130n
1
2
La sua utilit´a ´e



u(10.000 + 870n)
1
2

u(10.000 − 130n)
1
2
u(X) = 
La sua utilit´a media attesa ´e
E(u(X)) =
u(10.000 + 870n) + u(10.000 − 130n)
2
Francesco giudica pi´
u conveniente comprare n biglietti della lotteria piuttosto che non
comprarne alcuno se vale la seguente disuguaglianza
u(10.000 + 870n) + u(10.000 − 130n)
> 9.000
2
ovvero
−3869n2 + 296.000n + 9.000.000
> 9.000
1.000
ovvero
n<
296.000
≈ 76, 5
3869
Pertanto Francesco ritiene conveniente acquistare un massimo di 76 biglietti della lotteria.