Transcript Lezione 10.1 Slides

Contenuto
Interpretazione geometrica del determinante.
Definizione di determinante di una matrice quadrata.
Interpretazione geometrica del metodo di eliminazione di
Gauss.
Determinante di matrici 2 × 2 e 3 × 3.
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2.
10) Il determinante
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Interpretazione geometrica del determinante
F
Il determinante det F di un endomorfismo lineare V −→ V
(dim V = n finito-dimensionale) e` il fattore per il quale F moltiplica i volumi orientati degli n-parallelepipedi.
Il determinante di una matrice 2 × 2 (o 3 × 3) e` l’area del parallelogramma orientato (e` il volume del parallelepipedo orientato)
costruito sulle righe o sulle colonne della matrice.
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10) Il determinante
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Esempio 1
F (e2 ) = 2e2
F
e2
e1
F (e1 ) = 2e1
F moltiplica le aree per 4 e preserva l’orientazione: det F = 4
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10) Il determinante
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Esempio 2
F (e1 ) = 2e2
F
e2
e1
F (e2 ) = 2e1
F moltiplica le aree per 4 e inverte l’orientazione: det F = −4
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10) Il determinante
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Esempio 3
b
a
W
a0 = S(a)
b0 = S(b)
Nel piano R2 , la riflessione S rispetto a una retta W e`
un’isometria che inverte l’orientazione: det S = −1.
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10) Il determinante
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Esempio 4
F (e2 ) = 2F (e1 )
F
e2
F (e1 )
e1
F (e1 ) e F (e2 )(= 2F (e1 )) sono linearmente dipendenti (rk F = 1). Il
quadrato unitario ha come immagine un segmento, la cui area e` nulla:
det F = 0. L’endomorfismo F e` singolare, ossia non e` invertibile.
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10) Il determinante
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det(G ◦ F ) = (det G)(det F )
Interpretando il determinante di un endomorfismo come il
fattore di scala per il quale cambiano i volumi, il seguente
teorema e` ovvio.
Teorema (di Binet)
Siano F , G endomorfismi di V . Allora
det(G ◦ F ) = (det G)(det F )
Di conseguenza, se A, B sono matrici n × n,
det(AB) = (det A)(det B)
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10) Il determinante
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Determinante di una matrice quadrata
Il determinante di una matrice A = A1 , ..., An ∈ Mat(n × n),
con colonne A1 , ..., An , e` un numero det A = det[A1 , ..., An ]. Il
valore det A e` determinato in modo unico dalle proprieta`
seguenti:
1
2
3
Multilinearita` Il determinante det A = det[A1 , ..., An ] e`
multilineare (lineare in ogni colonna).
Alternanza Il determinante det A = det[A1 , ..., An ] e`
alternante, cioe` cambia segno quando si scambiano di
posto due colonne Ai , Aj (i 6= j). In particolare, vale zero
quando Ai = Aj (i 6= j).
Normalizzazione Il deteminante della matrice identita` vale
1: det In = 1.
Si dimostra: det A = det At . Dunque il determinante e`
multilineare alternante anche rispetto alle righe di A.
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10) Il determinante
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` det(λa, b) = λ det(a, b)
Omogeneita:
Se λ > 0, il significato di questa proprieta` e` ovvia:
b
a
λa
(Raddoppiando un lato, l’area raddoppia).
Se λ < 0, la proprieta` di omogeneita` implica, ad esempio,
che i bivettori a ∧ b e −a ∧ b
b
b
a
−a
hanno area opposta.
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10) Il determinante
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Invarianza per scorrimento
Significato della invarianza per scorrimento:
det(a, b + λa) = det(a, b) + det(a, λa)
= det(a, b)
b + λa
b
a
Sommare a un vettore un multiplo dell’altro, significa fare
scorrere un lato parallelamente al lato opposto. L’area non
cambia.
Dunque, con la riduzione per righe l’area non cambia.
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10) Il determinante
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Calcolo di det A con la riduzione a scala
a
det 1
b1
a1
a2 =
det
0
b2 a2
b1
b2 − a2
a1
b
1
= a1 b2 − a2 = a1 b2 −a2 b1
a1
Le righe della matrice ridotta a scala generano un parallelogramma di
b1
altezza a1 e base b2 − a2 . L’area e` il prodotto degli elementi sulla
a1
diagonale.
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10) Il determinante
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Interpretazione della riduzione a scala
b = (b1 , b2 )
b−
b1
b1
a = (0, b2 − a2 )
a1
a1
a = (a1 , a2 )
−
b1
a
a1
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10) Il determinante
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Il determinante di una matrice 3 × 3
Poniamo det(ei , ej , ek ) = Dijk . Si noti che Dijk = 0 se almeno 2 indici
sono uguali, e D123 = D231 = D312 = −D132 = −D321 = −D213 = 1.
Allora:
det( a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 , a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 , a13 e1 + a23 e2 + a33 e3 )
= a11 a22 a33 D123 + a21 a32 a13 D231 + a31 a12 a23 D312
a11 a32 a23 D132 + a21 a12 a33 D213 + a31 a22 a13 D321
=
a11 a22 a33 D123 + a21 a32 a13 D123 + a31 a12 a23 D123
−a11 a32 a23 D123 − a21 a12 a33 D123 − a31 a22 a13 D123
=
a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
−a11 a32 a23 − a21 a12 a33 − a31 a22 a13
D123
|{z}
=1
Quindi: det A =
a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
−a11 a32 a23 − a21 a12 a33 − a31 a22 a13
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10) Il determinante
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Espressione del determinante di ordine n
Quanto visto in dimensione 2 e 3, si generalizza al caso di
matrici n × n.
Per ogni matrice A = (aij ) quadrata n × n,
det A =
X
ε (σ)aσ(1),1 aσ(2),2 · · · aσ(n),n
(1)
σ∈Sn
dove σ varia nel gruppo simmetrico Sn , cioe` il gruppo costituito
dalle n! permutazioni dell’insieme di indici {1, ..., n}. Il numero
ε (σ), detto il segno della permutazione σ, vale 1 oppure −1, a
seconda che per passare dalla permutazione
σ(1), σ(2), ..., σ(n) alla permutazione fondamentale 1, 2, ..., n
occorra un numero pari o un numero dispari di scambi.
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10) Il determinante
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