Transcript Mescolamento dei quarks e matrice CKM

Mescolamento dei quarks e matrice CKM Par5celle III M.Calvi 2014 1 I passi della storia •  1957 C.S.Wu et al. dimostrano che la Parita’ non è conservata nelle interazioni deboli e nel 1958 M.Goldhaber et al. misurano l’elicita’ di neutrini ed eleJroni nei decadimen5 beta. •  La struJura spazio-­‐temporale delle corren5 deboli cariche e’ V-­‐A. •  L’interazione debole carica è universale nel seJore leptonico (lo stesso accoppiamento per le 3 famiglie di leptoni). •  Le corren5 cariche deboli sono mediate da due bosoni carichi W+,W-­‐ . Nel modello Standard i W acquistano massa aJraverso il meccanismo di Higgs (1964) •  1963 Cabibbo introduce il mixing dei quarks. •  L’interazione debole carica è universale anche nel seJore dei quarks solo se si considerano non gli sta5 di sapore definito, ma una loro opportuna sovrapposizione. •  1970 GIM prevedono l’esistenza di un quarto quarks (allora ancora non visto) che permeJe di spiegare la soppressione osservata dei processi neutri con variazione di stranezza (meccanismo GIM). 2 Transizioni con ΔS=0, |ΔS|=1 •  Sperimentalmente si osserva che: le transizioni deboli con variazione di stranezza (|ΔS|=1 ) risultano soppresse rispeJo quelle in cui si conserva ( ΔS = 0). Esempi di transizioni con ΔS=0 n à p e- νe , Σ+à Λ e+ νe Esempi di transizioni con |ΔS|= 1 Λàp e- νe , Λàp π+, Σ+à n e+ νe e- e- W-
d n
d u W-
νe u d p
u Λ0
s d u νe u d p
u 3 Altre osservazioni nelle CC •  Simile soppressione si osserva nei decadimen5 leptonici dovu5 alla annichilazione sàu oppure dàu Esempio sàu: K-àµ- ν
µ Esempio dàu: π-àµ- νµ K-
π-
s W-
µ-
νµ u d u W-
µ-
νµ •  Infine si osservazione che la costante di Fermi misurata in decadimento del neutrone (che e’ dàu) e’ un poco piu’ piccola di quella misurata nel decadimento del muone. 4 5 Cabibbo •  Cabibbo propose che i quarks u,d,s partecipino alle interazioni deboli aJraverso loro combinazioni lineari. •  I coefficien5 della combinazione devono soddisfare la condizione di normalizzazione e pertanto possono essere pensa5 come seno e coseno di un angolo ( θC deJo angolo di Cabibbo ): d ! = d cos! C + ssin ! C
•  In analogia con i doppieb di leptoni, anche i quarks compaiono allora in doppieb, di cui il primo è: " u % "
u
$
=
$
' $
# d ! & # d cos! C + ssin ! C
%
'
'
&
•  Il termine che compare nella Lagrangiana di interazioni cariche diventa: uL! " dL! = cos! C (uL! " dL ) + sin ! C (uL! " sL )
6 •  Gli elemen5 di matrice per i due decadimen5 diventano allora: e- e- W-
d d u W-
νe u d u M ! GF cos! C ( eL" #$ L ) (uL! " dL )
s d u νe u d u M ! GF sin ! C ( eL" #$ L ) (uL! " sL )
•  Le transizioni con ΔS = 0 uàd risultano proporzionali a cos2θC quelle con |ΔS|=1 uàs risultano proporzianali a sin2θC . •  Le misure danno sinθC ~ 0.221 e cos2θC/sin2θC ~ 20 •  Le interazioni deboli cariche sono universali anche nel seJore dei quarks, purche’ si tenga in in conto il fenomono del “quark mixing”. 7 Interazioni deboli neutre •  Conseguenza della teoria di Cabibbo e’ l’introduzione nella Lagrangiana anche del termine che descrive le interazioni neutre: dL! ! " dL! = cos2 ! C ( dL! " dL ) + sin 2 ! C ( sL! " sL ) + cos! C sin ! C ( dL! " sL + sL! " dL )
•  Questo con5ene anche una interazione tra i quark s e quark d, quindi una interazione neutra con variazione di stranezza (variazione di sapore). •  I corrisponden5 processi fisici sono pero’ fortemente soppressi! •  Si osserva K+àµ+ νµ e non K0à µ+µ- BR(K+ à µ+ νµ ) = 0.66 BR(K0 àµ+µ- ) ~ 7 x 10-­‐9 BR(K0àe+e- ) ~ 10-­‐11 •  Anche K+à π0 µ+ νµ e non K0 à π0 µ+ µ- BR(K+àπ0 µ+ νµ ) =0.034 BR(K0àπ0 µ+ µ- )< ~ 10-­‐10 8 GIM (Glashow,Iliopoulos,Maiani) •  Meccanismo GIM (1970) •  Non ci sono transizioni per corren5 neutre con ΔS=1 (FCNC) a livello albero •  Possibile se esiste un secondo doppieJo di quarks, che include un nuovo quark c (osservato nel 1974) ortogonale al precedente " c % "
u
$
$
'=$
# s! & # (d sin ! C + s cos! C
%
'
'
&
s! = "d sin ! C + s cos! C
•  Infab introducendo il secondo termine: sL! ! " s!L = sin 2 ! C ( dL! " dL ) + cos2 ! C ( sL! " sL ) " cos! C sin ! C ( dL! " sL + sL! " dL )
la somma col precedente cancella la parte FC: dL! ! " dL! + sL! ! " s!L =
sin 2 # C ( dL! " dL ) + cos2 ! C ( sL" # sL ) " cos! C sin ! C ( dL" # sL + sL" # dL ) +
cos2 ! C ( dL" # dL ) + sin 2 ! C ( sL" # sL ) + cos! C sin ! C ( dL" # sL + sL" # dL ) =
= dL! " dL + sL! " sL
9 •  Quindi il termine con ΔS = 1 non e’ presente nelle interazioni deboli neutre. Quello che che rimane e’ il termine che conserva la stranezza. •  No5amo anche che la rotazione di Cabibbo risulta irrilevante per le interazioni neutre. dL! ! " dL! + sL! ! " s!L = dL! " dL + sL! " sL
•  In conclusione gli sta5 dei quarks che partecipano all’interazione debole possono quindi essere espressi come sta5 “ruota5” rispeJo gli austosta5 di massa: " d ! % " cos! C
$
'=$
# s! & $# (sin ! C
sin ! C %" d %
'$
'
'
cos! C &# s &
–  Gli sta5 d’,s’ sono quelli che partecipano alle interazioni deboli, gli autosta5. –  Gli sta5 d,s sono gli sta5 di massa definita, quelli che sarebbero gli sta5 stazionari, se esistessero quarks liberi. 10 CPV e nascita di CKM •  Esistono due sta5 di kaoni neutri , con vita media molto diversa, cui è aJribuita CP opposta, in quanto sono vis5 decadere in sta5 a 3 o 2 pioni KLà3π (3π hanno CP = -­‐1 o dispari) KSà2π (2π hanno CP = +1 o pari) •  Se nei decadimen5 si conserva CP allora KLà2π deve essere proibito. •  Nel 1964 Christensen, Cronin et al osservano inaspeJatamente il decadimento KLà2π : il passaggio da uno stato CP=-­‐1 a CP=+1 •  Vengono proposte diverse spiegazioni. •  Nel 1973 Kobayashi e Maskawa dimostrano che la CPV sorge naturalmente se ci sono almeno 3 generazioni di quarks che si mischiano à matrice CKM come generalizzazione della matrice di Cabibbo •  La terza generazione di quarks viene scoperta poco dopo. 11 Quark mixing a 3 generazioni "
k
Per tre famiglie di quarks gli sta5 ruota5 sono: d i! =
V
ik d
(d1 =d, d2 =s d3 =b) k
" d ! % " cos!C sin !C %" d %
'$
$
'=$
'
$
'
# s! & # (sin !C cos!C &# s &
" d ! % " Vud Vus Vub
$
' $
$ s! ' = $ Vcd Vcs Vcb
$ b! ' $$ V V V
#
& # td
ts
tb
%"
%
d
'$
'
'$ s '
''$ b '
&
&#
Compare ora una matrice 3x3 di elemen5 Vik e i termini corrente debole diventano: 3
uL! " dL! = cos! C (uL! " dL ) + sin ! C (uL! " sL )
uLi! µ dLi! = " uLi! µVik dLk
k
Corrente neutra: dL! " dL + sL! " sL
dL! " dL + sL! " sL + bL! " bL
12 Modello Standard delle interazioni eleJrodeboli e quark mixing Bibliografia: The Standard Model of Electroweak Interac5ons” A.Pich arXiv:0705.4264 (Cern School 2005) 13 Modello Standard •  Oggi sappiamo che ci sono 6 diversi sapori di quark, 3 diversi leptoni carichi, con i corrisponden5 neutrini. Il Modello Standard li organizza in 3 famiglie doppieb sinistrorsi e singoleb destrorsi (con ogni quarks che compare in 3 colori). •  Le famiglie di fermioni hanno iden5che proprieta’ (interazioni di gauge) differiscono solo per le loro masse e i numeri quan5ci di flavour. •  Il meccanismo di roJura spontanea della simmetria genera le masse dei veJori di gauge e fa comparire una par5cella scalare neutra: il bosone di Higgs. •  Anche le masse dei fermioni e I loro accoppiamen5 sono genera5 dalla roJura spontanea della simmetria. 14 •  Higgs, doppieJo di campi complessi scalari: può essere scelto della forma: con •  Per una famiglia, dopo la roJura spontanea della simmetria, possiamo scrivere la lagrangiana di Yukawa (accoppiamento fermione-­‐campo di Higgs) come: dove uu
= u L u R +
u R u
L etc… •  Quindi la roJura spontanea della simmetria genera anche le masse dei fermioni: •  Poichè non conosciamo i valori delle costan5 ci , i valori delle masse dei fermioni sono arbitrari nel MS, vanno misura5. 15 •  Gli accoppiamen5 di Yukawa risultano fissa5 in termini delle masse, cioe’ possiamo riscrivere: 16 •  Passiamo al caso di 3 famiglie. •  Introduciamo i veJori d’, u’, l’ nello spazio 3-­‐dimensionale del flavour, ordinando le tre generazioni secondo le masse dei quarks: mu<mc< mt à u1,u2,u3 md<ms< mb à d1,d2,d3 •  La Lagrangiana di Yukawa, dopo la roJura spontanea della simmetria, si può ora scrivere come: Le corrisponden5 matrici di massa sono date da: con c(d)i,j costan5 arbitrarie. •  La diagonalizzazione di queste matrici di massa determina gli autosta5 di massa dj , uj , lj , come combinazioni lineari dei corrisponden5 autosta5 deboli: d’j , u’j, l’j 17 •  Le matrici di massa diagonali: sono oJenute aJraverso la decomposizione con matrici hermi5ane (H) e unitarie ( U e S ): •  Gli autosta5 di massa sono defini5 da: •  In termini delle matrici di massa diagonali la Lagrangiana risulta: 18 •  Poichè : la forma della parte di corren5 neutre della Lagrangiana del MS non cambia se espressa in termini degli autosta5 di massa (cioè se considero f’ o f) ed e’: •  Le corren5 neutre mantengono la loro forma e come conseguenza del meccanismo GIM non ci sono nel MS corren5 neutre con cambiamento di flavour (FCNC) a livello albero. 19 •  Le matrici di massa dei quarks Hu e Hd sono diagonalizzate da matrici unitarie S diverse per I quarks di 5po up e down quindi la matrice V non e’ l’iden5ta •  La matrice V compare nella Lagrangiana per la parte di corren5 deboli cariche quando si scrivono gli autosta5 deboli in termini di autosta5 di massa: 20 Riassumendo: •  La matrice V è una matrice 3x3 unitaria che accoppia i quarks di 5po “up” con I quarks di 5po “down”. •  La sua comparsa nelle corren5 deboli cariche ha nel MS una spiegazione naturale legata alla diagonalizzazione delle matrici di massa. •  Le masse dei fermioni e la matrice di mixing dei quarks sono determina5 dagli accoppiamen5 di Yukawa. •  I coefficien5 c(d)i,j non sono no5 nel MS, sono una serie di parametri arbitrari, non deducibili dal modello. Sono parametri che devono essere misura5 sperimentalmente. •  Le transizioni tra quarks di sapori diversi sono dovute a corren5 cariche (scambio di W). Non sono osservate corren5 neutre con cambiamento di sapore e il MS è costruito in modo tale da non prevederle, a livello albero. 21 CKM – Parametri •  Una matrice complessa 3x3 ha 18 parametri, 9 se e’ unitaria: 3 angoli di rotazione e 6 fasi . In generale una matrice complessa n x n unitaria dipende da n2 parametri: n(n – 1)/2 moduli e n(n + 1)/2 fasi. •  Ma le fasi non sono tuJe osservabili. I campi sono defini5 a meno di una fase arbitraria, e posso ridefinirli 2n-­‐1 fasi non sono osservabili. In defini5va le fasi osservabili sono: n(n+1)/2 – (2n– 1) = (n–1)(n–2)/2 •  I parametri liberi della matrice rimangono: 2 generazioni 3 generazioni n(n–1)/2 moduli 1 angolo 3 angoli ( n–1)(n–2)/2 fasi, 0 fasi 1 fase •  Per n=2 si ritorna allla matrice di rotazione di Cabibbo, con unico parametro libero θC. •  Per n=3 , la matrice CKM è descriJa da 4 parametri e si possono usare diverse parametrizzazioni. 22 √
sis. When φ acquires a vacuum expectation value, #φ$ = (0, v/ 2), Eq. (11.1) yield
u,d
ass terms for the P
quarks.
The
physical
states
are
obtained
by
diagonalizing
Y
arametrizzazione di Chau-­‐Keung (PDG) √
u,d
f
f f f†
four unitary matrices, VL,R , as Mdiag = VL Y VR (v/ 2), f = u, d. As a result
•  Scelta standard CKM: 3 angoli di mixing θ12, physical
θ23, θ13 (numeri reali) una fase wit
couple
to the
uLj and
dLke quarks
e charged-current
Wp±er interactions
complessa uplings
given byδ, tale che:
 sij = sin θ ij

VCKM d†
= R23 ×VRud13 ×VRus12 Vub
VCKM ≡ VLu VL =  Vcd Vcs Vcb  .cij = cosθ ij
(11
Vtd %Vts V" tb
!i! %
"
%
"
CKM -­‐ 0 s13e '
c
s12 0
0 '
$ c13
$ 12
'
$ 1 0
This Cabibbo-Kobayashi-Maskawa
R12 = $ !s12 c12 0 ' R23 =(CKM)
s23 ' [1,2]
R13 = $ is a0 3 ×13 unitary
0 ' matrix.
$ 0 c23 matrix
'
$$ by three mixing
''
$$ angles and the
'' CP$-violating
i!
n be parameterized
KM
phase
[2]. O
!s
e
0
c
$
'
0
0
1
0
!s
c
13
23
23 &
#
#
&
# 13
&
e many possible conventions, a standard choice has become [3]


s12 c13
s13 e−iδ
c12 c13
(11
V =  −s12 c23 −c12 s23 s13 eiδ c12 c23 −s12 s23 s13 eiδ s23 c13  ,
s12 s23 −c12 c23 s13 eiδ −c12 s23 −s12 c23 s13 eiδ c23 c13
ere sij = sin θij , cij = cos θij , and δ is the phase responsible for all CP -violatin
enomena
in flavor-changing
in θthe
SM. The angles θij can be chosen to lie
i,j=1,2,3 indicano le gprocesses
enerazioni. 12 ≈ θCabibbo e first
sij , cij e≥
0. scel5 nel primo quadrante: sij , cij ≥ 0 , 0≤ δ ≤ 2π.
quadrant,
Gli angoli so
possono ssere It is
known experimentally that s13 ( s23 ( s12 ( 1, and it is convenient to exhib
•  L’unica fase the
complessa che può introdurre violazioni i CP è [4–6]
δ.
s hierarchy
using
Wolfenstein
parameterization.
We ddefine
&
&
23 &
&
Vcb
|Vus |
2
Vud Vus Vub
u d†
≡
V
VL = di Vforte Vcb tra . gli elemen5 V
csgerarchia •  Sperimentalmente si verifica na CKM
cd uV
Ll’esistenza Vtd Vts Vtb
di CKM (non ne sappiamo il perche’) : s13 << s23 << s12 << 1 Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) matrix [1,2] is a 3 × 3 unitary
parameterized by three mixing angles and the CP -violating KM pha
ny possible conventions, a standard choice has become [3]


−iδ
s12 c13
s13 e
c12 c13
V =  −s12 c23 −c12 s23 s13 eiδ c12 c23 −s12 s23 s13 eiδ s23 c13  ,
s12 s23 −c12 c23 s13 eiδ −c12 s23 −s12 c23 s13 eiδ c23 c13
sij = sin θij , cij = cos θij , and δ is the phase responsible for all CP
ena in flavor-changing processes in the SM. The angles θij can be cho
quadrant, so sij , cij ≥ 0.
known experimentally that s13 ( s23 ( s12 ( 1, and it is convenient
rarchy using the Wolfenstein parameterization. We define [4–6]
&
&
& Vcb &
|Vus |
2
&,
s12 = λ = %
,
s23 = Aλ = λ &&
Vus &
|Vud |2 + |Vus |2
24 √
3
2 4
CKM – condizioni di unitarietà •  L’unitarietà della matrice implica l’esistenza di 6 condizioni di ortogonalità tra ity triangle.
qualunque coppia di colonne o coppia di righe e 6 condizioni di normalizzazione. Normalizzazione eters
of the SM, so
! their ∗precise
matrix
δjk=1 per j=k •  Per le imposes
colonne i Vij Vik = δjk
an be represented as triangles in
*
*
*
Esempio, p
rima c
olonna: j
=k=1 V
V
+V
V
+V
V
11 11
21 21
31 31 = 1
g scalar products of neighboringFigure
11.1:
Sketch
of the unitari
2
2
2
cioe’: ll triangles
are the same, half of Vud + Vcd + Vtd = 1
ion-independent
measure
CP elements are fundamental parame
The
CKM of
matrix
per le righe: is important. The unitarity of the CKM
determination
ln• . Analogamente !
*
*
*
∗ = δ . The six
V
V
+V
V
+V
V
and
V
V
vanishing
combinations
c
ik
11 11
12 12
13 13 = 1
m
j ij kj
a complex plane, of which the ones obtained by taking
rows or columns
aredei nearly
Thedi areas
of al
della somma moduli qdegenerate.
uadri degli elemen5 = 0 , à normalizzazione (11.6)
invariant, J" [7], which #is a phase-convent
una the
riga oJarlskog
di una colonna. !
∗
∗
εj
violation, defined by Im Vij Vkl Vil Vkj = J m,n εikm
25 ee Fig. 1). Its vertices are exactly
CKM – condizioni di unitarietà •  Queste relazioni riguardano i moduli degli elemen5 di matrice CKM. •  Sono usate: -­‐ la misura di tre elemen5 permeJe un test di consistenza della previsione del MS. -­‐ assumendo l’unitarietà si puo’ ricavare l’elemento di una riga (colonna) poco noto a par5re da altri due 26 .
CKM – condizioni di ortogonalità •  δjk=0 per j≠k •  ProdoJo tra gli elemen5 di due colonne o due righe. Colonne: *
*
*
SM, so
! their ∗precise
VudVub +VcdVcb +VtdVtb = 0 (db)
poses i Vij Vik = δjk
*
*
*
(sb)
V
V
+V
V
+V
V
us ub
cs cb
ts tb = 0
esented as triangles inFigure 11.1:
Sketch
of the
*
*
* unitarity triangle.
VudVus +VcdVcs +VtdVts = 0 (ds)
oducts of neighboring
are The
the same,
of elements are fundamental parameters of the
CKM half
matrix
*
*
*
Righe: ndent
measure
of
CP
(ut)
V
V
+V
V
+V
V
=
0
determination
is
important.
The
unitarity
of
the
CKM
matrix imp
ud
td
us
ts
ub
tb
!
∗ = δ . The six vanishing
*
and j Vij Vkj
combinations
can
(ct) be repre
ik
VcdVtd* +VcsVts* +V
V
cb tb = 0
*ones obtained
*
*
a complex plane, of whichVthe
by
taking
scalar pro
(uc)
V
+V
V
+V
V
=
0
cd
us cs
ub cb
rows or columns are nearly uddegenerate.
The
areas of all triangles
the Jarlskog invariant,
(11.6) J" [7], which #is a phase-convention-indepen
!
∗
∗
• 
Usate p
rincipalmente c
ome t
est d
i c
onsistenza d
ella del εMS. . ε
violation, defined by Im Vij Vkl Vil Vkj = J previsione ikm
jln
m,n
Riscrib abitualmente in forma di vincoli sui Triangoli di unitarieta’ Its vertices
are commonly
exactly used unitarity triangle arises from
The most
27 fine 28