Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1

Transcript Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1

Es.
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Tot.
Punti
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica
Politecnico di Milano
A.A. 2013/2014. Prof. M. Bramanti
Tema n°1
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
codice persona (o n° di matricola)_________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a
pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)
ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Derivabilità. Della seguente funzione 0 aBb si chiede di: determinare l'insieme di
definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).
0 aBb œ klogkB "kkÈB# %
$
Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo
esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non
derivabilità di una funzione".
1
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°1
_________________________________________________________________________________
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in
particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e
minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della
derivata seconda.
0 aBb œ logº
2
#B# $B
º
B# *
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°1
_________________________________________________________________________________
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli
strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor MacLaurin):
lim
BÄ!
logŠ" ÈB " /BÎ# ‹
BsinBcos$B
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione
le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
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3
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°1
_________________________________________________________________________________
5. Calcolare il seguente integrale definito:
#
( sin a#BbasinB cosBb.BÞ
1
%
!
6. Calcolare il seguente integrale definito:
(
È#
!
aB "bÈa#B# %b.BÞ
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Es.
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Tot.
Punti
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica
Politecnico di Milano
A.A. 2013/2014. Prof. M. Bramanti
Tema n°2
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Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)
ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Derivabilità. Della seguente funzione 0 aBb si chiede di: determinare l'insieme di
definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).
$
0 aBb œ arcsin¸È
B "¸
Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo
esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non
derivabilità di una funzione".
1
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°2
_________________________________________________________________________________
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in
particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e
minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della
derivata seconda.
0 aBb œ /B Ë
$
2
B# "
$B "
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°2
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3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli
strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor MacLaurin):
3
log# ˆÈ
B "‰
BÄ) sina1Bbcosˆ 1B ‰
"'
lim
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione
le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
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8# &8 #
8œ"
"
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2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°2
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5. Calcolare il seguente integrale definito:
B# $B "
.BÞ
(
#
# B %B &
%
6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato,
giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati:
(
_
!
cosaB# bsinB sinˆ B" ‰cosB

–
—.B
B$Î#
B#Î$
4
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Tema n°3
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1. Derivabilità. Della seguente funzione 0 aBb si chiede di: determinare l'insieme di
definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).
0 aBb œ Š/
$
È
BaB"b
"‹alogkB "kb#Î$
Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo
esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non
derivabilità di una funzione".
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2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°3
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2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in
particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e
minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della
derivata seconda.
$
0 aBb œ È
B/
2
ˆ B"
‰
B#
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3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli
strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor MacLaurin):
Sha#Bb ChB /#B
BÄ! loga" Bb sinB
lim
4. Serie numeriche. Discutere la convergenza semplice e assoluta della seguente serie,
giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
a "b 8 8
8# $8log8 &
8œ"
"
_
3
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5. Calcolare il seguente integrale definito:
#B
( / kcosBk.BÞ
1
!
6. Calcolare il seguente integrale definito:
(
1
$
!
.B
Þ
$ #sinB
4
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
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1. Derivabilità. Della seguente funzione 0 aBb si chiede di: determinare l'insieme di
definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).
$
$
0 aBb œ ¹ˆB# *‰ˆÈ
B "‰È
B "¹
Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo
esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non
derivabilità di una funzione".
1
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°4
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2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in
particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e
minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della
derivata seconda.
0 aBb œ logkBk
2
B"
%B "
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3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli
strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor MacLaurin):
lim
BÄ"
ˆarctanB 1% ‰tana1Bb
#
$
ˆÈ
B "‰
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione
le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
"
_
88
a8x /8 b$8
8œ"
3
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5. Calcolare il seguente integrale indefinito:
(
#B#
B"
.BÞ
%B &
6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, studiando il
comportamento della funzione integranda nell'intorno di ogni punto in cui risulta illimitata, e
giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati:
#
loga#Bb
( – $
—.B.
$
ˆÈB "‰È
B#
!
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Es.
1
2
3
4
5
6
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Svolgimento Tema n°1
1. Derivabilità. Della seguente funzione 0 aBb si chiede di: determinare l'insieme di
definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).
0 aBb œ klogkB "kkÈB# %
$
Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo
esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non
derivabilità di una funzione".
Definita per B Á ". Poiché logkB "k œ ! per kB "k œ "ß B " œ „"ß B œ ! e
B œ #, e B# % œ ! per B œ „#ß 0 è certamente derivabile per
B Á !ß #ß #Þ
Calcoliamo sotto queste ipotesi
0 w aBb œ
"
#B
$
sgnalogkB "kbÈB# % klogkB "kk
Þ
B"
$aB# %b#Î$
Esaminiamo ora i 3 punti sopra indicati. Per B Ä !ß
0 w aBb µ sgnalogkB "kbÈ % Ä …È% per B Ä !„ ,
$
$
B œ ! punto angoloso e di massimo relativo.
Per B Ä #„ ß
0 w aBb µ
%log$
$aB #b#Î$ %#Î$
Ä _ß
B œ # punto di flesso a tangente verticale, ascendente.
Per B Ä #ß
0 w aBb µ klogaB "bk
$a % b
%
#Î$
aB # b
#Î$
µ k B #k
$a%b
#Î$
%
aB #b
#Î$
œ
$
È
%
$
kB #k"Î$ Ä !,
quindi B œ # è un punto di derivabilità, a tangente orizzontale.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in
particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e
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minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della
derivata seconda.
#B# $B
0 aBb œ logº #
º
B *
Definita per: B Á „$ß B Á !ß B Á $# Þ
Per B Ä „$ß 0 aBb Ä _Þ B œ „$ asintoti verticali.
Per B Ä !ß B Ä $# ß 0 aBb Ä _. B œ !ß B œ $# asintoti verticali.
Per B Ä „_ß
0 aBb Ä log#
C œ log# asintoto orizzontale per B Ä „_Þ
Calcoliamo
0 w aBb œ ˆlog¸#B# $B¸ log¸B# *¸‰ œ
w
œ
%B $
#B
#
œ
#
#B $B B *
a%B $baB# *b #Ba#B# $Bb
$aB# "#B *b
œ
! per:
Ba#B $baB# *b
Ba#B $baB# *b
B
$à !
B
$
' $È$à
#
In questi intervalli 0 è crescente.
B œ ' $È$ punto di minimo relativo
B œ ' $È$ punto di massimo relativo.
Grafico:
2
B
$à B ' $È$à
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3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli
strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor MacLaurin):
lim
logŠ" ÈB " /BÎ# ‹
BsinBcos$B
BÄ!
logŠ" ÈB " /BÎ# ‹
BsinBcos$B
µ
ÈB " /BÎ#
perché &aBb œ ÈB " /BÎ# Ä !Þ Ora:
B#
"ˆ"
‰
#
ÈB " /BÎ# œ " " B # # " B# 9ˆB# ‰ Œ" B " Š B ‹ 9ˆB# ‰ œ
#
#
#
# #
" "
"
œ B# Œ 9ˆB# ‰ µ B#
) )
%
perciò
0 aBb µ
"% B#
"
œ .
#
B
%
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione
le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
"/ #8 cos
_
"
8œ"
Per 8 Ä _ß
"
"
$
$
È
8 sin $ cosÈ
8
È8
È8
"
$
$
$
cosÈ
8 µ È
8
È8 sin È
$
8
mentre
/ #8 cos
"
"
"
"
" #
"
" "
" "
"
œ
"

9 Œ # Œ" † † # 9 Œ # œ
Œ

È8
#8 #
#8
8
# 8 %x 8
8
œ
Quindi
" "
"
"
"
Œ 9Œ # µ
#
8 ) %x
8
"#8#
+8 µ
$
È
8
"#8#
œ
"
.
"#8&Î$
In particolare la serie è a termini definitivamente positivi, e per il criterio del confronto
asintotico e il confronto con la serie armonica generalizzata di esponente ! œ &$ ā " la serie
converge.
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5. Calcolare il seguente integrale definito:
#
( sin a#BbasinB cosBb.BÞ
1
%
!
#
#
( sin a#BbasinB cosBb.B œ ( %sin Bcos BasinB cosBb.B œ
1
%
1
%
#
!
!
œ ( %ˆ" cos B‰cos BsinB ( %sin# Bˆ" sin# B‰ cosB.B œ
1
%
#
1
%
#
!
!
È#
1°
integrale:
cos
B
œ
>à

sin
B.B
œ
.>à
>
−
"ß

#
È#
2°
integrale:
sin
B
œ
>à
cos
B.B
œ
.>à
>
−
!ß

#
œ %( È ˆ># >% ‰.> %(
È#
#
"
#
#
%”
!
ˆ># >% ‰.> œ %( ˆ># >% ‰.> œ
"
!
>$
>&
" "
)
• œ %Œ œ
Þ
$
& !
$ &
"&
"
6. Calcolare il seguente integrale definito:
(
(
È#
!
È#
!
aB "bÈa#B# %b.B œ (
aB "bÈa#B# %b.BÞ
È#
!
BÈa#B# %b.B (
È#
"
$Î#
E œ ” ˆ#B# %‰ •
'
!
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È#
!
Èa#B# %b.B œ E FÞ
" $Î#
)
%
ˆ) %$Î# ‰ œ È# Þ
'
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F œ ŠB œ È#Sh>à .B œ È#Ch>.>à > − a!ß SettSh1b‹ œ (
4
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!
È%a" Sh# >bÈ#Ch>.> œ
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Ch>Sh> >
#È#Ch# >.> œ #È#”
•
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EF œ
œ #È#–
È# SettSh1
)È
#
# È#SettSh1Þ
$
$
5
#
—œ#
È#SettSh1Þ
Es.
1
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Svolgimento Tema n°2
1. Derivabilità. Della seguente funzione 0 aBb si chiede di: determinare l'insieme di
definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).
$
0 aBb œ arcsin¸È
B "¸
Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo
esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non
derivabilità di una funzione".
$
Definita per ¸È
B "¸ Ÿ "ß
$
$
" Ÿ È
B " Ÿ "ß # Ÿ È
B Ÿ !ß ) Ÿ B Ÿ !Þ
$
$
E' certamente derivabile se ! Á ¸È
B "¸ ", cioè B Á )ß B Á !, B Á " e se È
B Á !,
quindi ancora B Á !. Per ) B ! calcoliamo
0 w aBb œ
sgnaB "b
sgnaB "b
œ
Þ
#Î$
#
$B
$
$B#Î$ ÈB#Î$ #B"Î$
É" ˆÈ
B "‰
"
Per B Ä ) ß
0 w aBb µ
"#ÈB#Î$ #B"Î$
"
Ä _ß
punto a tangente verticale (discendente).
Per B Ä ! ß
0 w aBb µ
"
Ä _ß
$B#Î$ È#B"Î$
punto a tangente verticale (ascendente).
Per B Ä "„ ß
0 w aBb µ „
"
$
punto angoloso.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in
particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e
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minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della
derivata seconda.
0 aBb œ /B Ë
$
Definita per B Á "$ .
„
Per B Ä ˆ "$ ‰ ß
0 aBb µ
B# "
$B "
#
"
†
Ä …_Þ
È*/ a$B "b"Î$
$
B œ "$ asintoto verticale.
Per B Ä „_ß
$
0 aBb µ /B Ê
B
_ con crescita sopralineare
Äœ
!
$
C œ ! asintoto orizzontale per B Ä _
Per B Ä _, 0 aBb Ä _ con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo).
Nei punti B œ „" in cui si annulla il radicando, probabili punti di flesso a tangente
verticale.
Calcoliamo
Ô $ B# "
a$B "b#Î$ #Ba$B "b $aB# "b ×
0 w aBb œ /B Ë
†
œ

#Î$
a$B "b#
Õ $B " $aB# "b
Ø
œ /B –
$aB# "ba$B "b a$B# #B $b
$aB#
"b
#Î$
a$B "b
%Î$
0 w aBb è definita per B Á „"ß B Á "Î$ß
—œ
$aB#
"b
B/B
#Î$
a$B "b
%Î$
ˆ*B# 'B (‰Þ
0 w aBb ! per Bˆ*B# 'B (‰ !
*B# 'B ( œ ! per B œ
0 w aBb ! per
Bœ
" #È#
" #È#
Ÿ B Ÿ !ß B
$
$
"„#È#
punti di minimo relativo; B œ ! punto di massimo relativo.
$
Per B Ä "ß 0 w aBb µ
ascendente.
$„È(#
"„#È#
œ
*
$
)/
$aB"b#Î$ ##Î$ †%%Î$
Ä _. B œ " punto di flesso a tangente verticale,
2
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°2
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Per B Ä "ß 0 w aBb µ
"
$/aB"b#Î$ #"Î$
Ä _. B œ " punto di flesso a tangente verticale,
ascendente.
(Oppure si potevano trovare i flessi a tangente verticale con stime asintotiche)
Grafico:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli
strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor MacLaurin):
3
log# ˆÈ
B "‰
BÄ) sina1Bbcosˆ 1B ‰
"'
lim
3
3
3
Per B Ä )ß È
B " Ä " perciò logˆÈ
B "‰ µ ˆÈ
B #‰ e
#
3
ˆÈ
B #‰
!
0 aBb µ
Ä ” •Þ
1
B
!
sina1Bbcosˆ "' ‰
Applichiamo De L'Hospital:
3
#ˆÈ
B #‰ $B"#Î$
!
lim
œ” •
1
B
1
1
B
ˆ ‰
BÄ) 1cosa1Bbcosˆ ‰
!
"'
"' sina1Bbsin "'
" ˆÈ
3
3
#ˆÈ
B #‰ $B"#Î$
B #‰
'
µ
Þ
1
1
1cosa1Bbcosˆ 1"'B ‰ "'
sina1Bbsinˆ 1"'B ‰
1cosa1Bbcosˆ 1"'B ‰ "'
sina1Bbsinˆ 1"'B ‰
3
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°2
_________________________________________________________________________________
Calcoliamo il limite dell'ultima espressione ancora con De L'Hospital:
BÄ) 1# sina1Bbcosˆ 1B ‰
"'
lim

1#
)
"ˆ " ‰
' $B#Î$
1 ‰
cosa1Bbsinˆ 1"'B ‰ ˆ "'
sina1Bbcosˆ 1"'B ‰
#
œ
"ˆ " ‰
' "#
#
1)
œ
"
Þ
*1 #
Quindi il limite cercato è *1" # .
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione
le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
a "b 8 8 &
8# &8 #
8œ"
"
_
_
_
a "b 8 8 &
8
"
8
" #
œ "a "b #
&" #
Þ
8 &8 #
8 &8 #
8 &8 #
8œ"
8œ"
8œ"
_
La prima serie è definitivamente a segni alterni, perché 8# &8 # ā ! definitivamente (ad
es., per 8 ā &). Inoltre
,8 œ
8
"
µ
Ä !.
8# &8 #
8
Controlliamo che ,8 sia monotona decrescente. Posto 0 aBb œ
0 w aBb œ
aB# &B #b a#B &bB
aB#
&B #b
#
œ
aB#
B
B# &B# ß
B# #
&B #b
#
si ha:
! per B ā È#,
quindi e,8 f è definitivamente decrescente e per il criterio di Leibniz la serie
! a "b 8
_
8œ"
8
8# &8#
converge. Quanto alla seconda serie,
8#
"
"
µ #
&8 #
8
serie a termini positivi, converge per il criterio del confronto asintotico, in base al confronto
con la serie armonica generalizzata di esponente ! œ #.
Pertanto la serie di partenza converge.
4
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°2
_________________________________________________________________________________
5. Calcolare il seguente integrale definito:
B# $B "
.BÞ
(
#
# B %B &
%
B# $B "
'B
'B
œ" #
œ"
#
aB "baB &b
B %B &
B %B &
'B
+
,
Ba+ ,b a&+ ,b
&
""
œ

œ
Ê + œ ß, œ Þ
aB "baB &b
B" B&
aB "baB &b
'
'
(
%
#
&
""
%
B# $B "
'
'
.B
œ
"

.B œ
(

B# %B &
B

"
B

&
#
%
&
""
&
""
*
œ ”B logkB "k logkB &k• œ # log$ log Þ
'
'
'
'
(
#
6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato,
giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati:
(
Per B Ä !:
º
_
!
cosaB# bsinB sinˆ B" ‰cosB

–
—.Bà
B$Î#
B#Î$
cosaB# bsinB
sinB
B
"
º Ÿ $Î# µ $Î# œ È integrabile;
$Î#
B
B
B
B
sinˆ B" ‰cosB
"
Ÿ #Î$ integrabile.
»
»
#Î$
B
B
Quindi per i criteri de confronto, del confronto asintotico e dell'assoluta integrabilità la
funzione è integrabile in un intorno di zero.
Per B Ä _:
cosaB# bsinB
"
º
º Ÿ $Î# integrabile;
$Î#
B
B
"
sinˆ B" ‰cosB
sinˆ B" ‰
"
B
Ÿ
µ
œ
integrabile.
»
»
&Î$
B#Î$
B#Î$
B#Î$
Quindi per i criteri de confronto, del confronto asintotico e dell'assoluta integrabilità la
funzione è integrabile in un intorno di infinito.
Pertanto l'integrale generalizzato assegnato converge.
5
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Punti
Ingegneria Elettronica
Politecnico di Milano
A.A. 2013/2014. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n°3
1. Derivabilità. Della seguente funzione 0 aBb si chiede di: determinare l'insieme di
definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).
0 aBb œ Š/
$
È
BaB"b
"‹alogkB "kb#Î$
Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo
esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non
derivabilità di una funzione".
Definita per B Á ". Può avere punti di non derivabilità dove BaB "b œ !, cioè
B œ !ß B œ "ß e per logkB "k œ !, cioè B "=„"ß B œ !ß B œ #. Quindi 0 è certamente
derivabile se
B Á !ß B Á "ß B Á #
e in questo caso
0 w aBb œ /
$
È
BaB"b
#B "
$cBaB "bd
#Î$
alogkB "kb#Î$ Š/
$
È
BaB"b
"‹
#
$alogkB "kb
"Î$
†
"
Þ
B"
Per B Ä !ß
/
Š/
$
È
BaB"b
$
È
BaB"b
$cBaB "bd
"‹
quindi esiste 0 w a!b œ ".
Per B Ä "ß
0 w aBb µ
"
$a B " b
#Î$
#B "
#Î$
alogkB "kb#Î$ µ
#
$alogkB "kb
"Î$
$
alog#b#Î$ È
BaB "b
†
" #Î$
"
B œ à
#Î$
$B
$
"
#
#
$
µÈ
BaB "b "Î$ µ
B"
$B
$
#
$alog#b
"Î$
†
"
"
µ
alog#b#Î$ Ä _ß
#Î$
#
$aB "b
quindi B œ " è punto di flesso a tangente verticale, ascendente.
Per B Ä #„ ß
0 w aBb µ /
$
È
'
$
&
#
È
aB #b#Î$ Š/ ' "‹
µ
#Î$
$†'
$aB #b"Î$
1
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°3
_________________________________________________________________________________
µ Š/
$
È
'
"‹
#
$aB #b"Î$
Ä „_ß
quindi B œ # è punto di cuspide verso il basso.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in
particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e
minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della
derivata seconda.
$
0 aBb œ È
B/
Definita per B Á #.
Per B Ä #„ ß
$
0 aBb µ È
#/
$ ‰
ˆ B#
ˆ B"
‰
B#
Äœ
_
!
B œ # asintoto verticale da destra.
Per B Ä „_ß
$
0 aBb µ /È
B Ä „_ con crescita sottolineare (senza asintoto obliquo).
Probabile punto di flesso a tangente verticale in B œ !, dove si annulla il radicando.
Anzi, la stima asintotica per B Ä ! dà
$
0 aBb µ È
B /"Î#
quindi effettivamente B œ ! è punto di flesso a tangente verticale, ascendente.
Calcoliamo:
0 w aBb œ /
ˆ B"
‰
B#
a B #b aB " b
"
*B aB #b#
ˆ B"
‰
$
È
B#
B
†

œ
/
ā
ā
Ÿœ
$B#Î$ Ÿ
a B #b#
$B#Î$ aB #b#
/ˆ B# ‰
B"
œ
$B#Î$ aB
0 w aBb è definita per B Á !ß B Á #ß
#b
#
ˆB# "$B %‰
0 w aBb ! per B# "$B % !ß B
Bœ
"$È"&$
#
"$È"&$
#
"$ È"&$
"$ È"&$
ßB Ÿ
#
#
punto di minimo relativo;
Bœ
punto di massimo relativo;
B œ ! punto di flesso a tangente verticale, ascendente.
2
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°3
_________________________________________________________________________________
Grafico:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli
strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor MacLaurin):
Sha#Bb ChB /#B
BÄ! loga" Bb sinB
lim
Sha#Bb ChB /#B
!
lim
œ ” •Þ
BÄ! loga" Bb sinB
!
Applichiamo gli sviluppi di MacLaurin:
"
"
Sha#Bb ChB /#B œ #B 9ˆB# ‰ " B# 9ˆB# ‰ Œ" #B a#Bb# 9ˆB# ‰ œ
#
#
$
$
œ B# 9ˆB# ‰ µ B# Þ
#
#
"
"
"
loga" Bb sinB œ B B# 9ˆB# ‰ B 9ˆB# ‰ œ B# 9ˆB# ‰ µ B#
#
#
#
0 aBb µ
$# B#
œ $ß
"# B#
e il limite cercato è $.
3
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°3
_________________________________________________________________________________
4. Serie numeriche. Discutere la convergenza semplice e assoluta della seguente serie,
giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
a "b 8 8
8# $8log8 &
8œ"
"
_
Convergenza assoluta:
k+8 k œ
k 8#
8
"
µ ,
$8log8 &k
8
serie divergente. Perciò, per il criterio del confronto asintotico, la serie non converge
assolutamente.
Convergenza semplice: la serie è (almeno definitivamente) a segni alterni in quanto
8
,8 œ #
ā ! definitivamente.
8 $8log8 &
Inoltre ,8 µ
Posto
"
8
Ä !. Verifichiamo che ,8 sia monotona decrescente (almeno definitivamente).
0 aBb œ
0 aBb œ
w
B#
B
ß si ha:
$BlogB &
aB# $BlogB &b Ba#B $logB $b
aB# $BlogB &b#
œ
aB# $B &b
aB# $BlogB &b#
e per B Ä _ß 0 w aBb µ BB%
!. Quindi 0 w aBb ! definitivamente, e e,8 f è
definitivamente decrescente. Pertanto per il criterio di Leibniz la serie di partenza converge
semplicemente.
#
5. Calcolare il seguente integrale definito:
#B
( / kcosBk.BÞ
1
!
( /
1
!
#B
kcosBk.B œ ( /
1
#
!
cosB.B ( /#B cosB.B œ E FÞ
1
#B
1
#
M œ ( /#B cosB.B œ /#B sinB #( /#B sinB.B œ
œ /#B sinB #Œ /#B cosB #( /#B cosB.B œ /#B sinB #/#B cosB %M
Mœ
" #B
ˆ/ sinB #/#B cosB‰ &
4
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°3
_________________________________________________________________________________
1
#
" #B
" #B
E F œ ” / asinB #cosBb• ” / asinB #cosBb• œ
&
&
1
!
1
#
œ
" 1
"
#
e/ #f ˜/#1 # /1 ™ œ ˆ/1 " /#1 ‰Þ
&
&
&
6. Calcolare il seguente integrale definito:
(
(
1
$
!
1
$
!
.B
Þ
$ #sinB
È$
.B
B
#>
#.>
œ > œ tan à sinB œ
à
.B
œ
à
>
−
!ß

$ #sinB
#
" >#
" >#
$
œ(
È$
$
!
œ
"
#.>
œ #(
%> " >#
$ ">#
!
#
(
$ !
È$
$
È$
$
"
#
.> œ (
#
$> %> $
$ !
È$
$
>#
"
.> œ
%$ > "
È$
$
"
# $
$
#
.> œ †
arctan–
> —— œ
Œ
–
#
È&
$ È&
$
ˆ> #$ ‰ &*
!
œ
È$ #
#
#
arctan
arctan
Þ

È&
È&
È&
5
Es.
1
2
3
4
5
6
Tot.
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1
Punti
Ingegneria Elettronica
Politecnico di Milano
A.A. 2013/2014. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n°4
1. Derivabilità. Della seguente funzione 0 aBb si chiede di: determinare l'insieme di
definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di
cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).
$
$
0 aBb œ ¹ˆB# *‰ˆÈ
B "‰È
B "¹
Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo
esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non
derivabilità di una funzione".
Definita per ogni B. Può avere punti di non derivabilità dove si annullano l'argomento del
modulo o i radicandi, quindi è certamente derivabile per
B Á „$ß B Á !ß B Á „"ß
e in tal caso
0 w aBb œ sgn÷ˆB# *‰aB "baB "b‘ †
" $
"
$
$
$
† ā#BˆÈ
B "‰È
B " ˆB# *‰ #Î$ È
B " ˆB# *‰ˆÈ
B "‰
ŸÞ
$B
$aB "b#Î$
Per B Ä !ß
0 w aBb µ a *b
"
Ä _ß
$B#Î$
quindi B œ ! è punto di flesso a tangente verticale, discendente.
Per B Ä $„
$
$
0 w aBb µ sgnaB $b † š'ŠÈ
$ "‹È%› Ä „š'ŠÈ
$ "‹È%›ß
$
e B œ $ è punto angoloso.
Per B Ä $„
$
$
$
$
$
0 w aBb µ sgnaB $b † š'ŠÈ
$ "‹ È
#› Ä „š'ŠÈ
$ "‹È
#› ß
e B œ $ è punto angoloso.
1
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°4
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Per B Ä "„ ß
" $
) $
0 w aBb µ sgnaB "b † œa )b È#, Ä „ È#ß
$
$
e B œ " è punto angoloso.
Per B Ä "„ ß
0 w aBb µ sgnaB "b † āa )ba #b
"
$aB "b#Î$
Ÿ Ä „_ß
e B œ " è punto di cuspide, verso il basso.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in
particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali
asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e
minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della
derivata seconda.
0 aBb œ logkBk
Definito per B Á !ß B Á "Î%Þ
Per B Ä !
B œ ! asintoto verticale.
Per B Ä a"Î%b„ ß
0 aBb µ logkBk Ä _ß
0 aBb µ
B œ "Î% asintoto verticale.
Per B Ä „_ß
B"
%B "
$Î%
Ä …_
%B "
0 aBb µ logkBk Ä _
con crescita sottolineare (senza asintoto obliquo).
Calcoliamo
"
a%B "b %aB "b
"
$
a%B "b# $B
0 aBb œ
œ
œ
œ
B
B a%B "b#
a%B "b#
Ba%B "b#
w
œ
Bœ
Bœ
"'B# ""B "
""È&(
$#
""È&(
$#
Ba%B "b#
! per: B !ß
punto di minimo relativo,
punto di massimo relativo.
2
"" È&(
"" È&(
ŸBŸ
$#
$#
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°4
_________________________________________________________________________________
Grafico:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli
strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor MacLaurin):
lim
BÄ"
lim
BÄ"
ârctanB 1% ‰tana1Bb
#
$
ˆÈ
B "‰
ârctanB 1% ‰tana1Bb
$
ˆÈ
B "‰
#
!
œ ” •Þ
!
Applichiamo il teorema di De L'Hospital:
lim
BÄ"
"
"B# tana1Bb
"
"B# tana1Bb
ârctanB 1% ‰1a" tan# a1Bbb
!
œ ” •Þ
"
$
!
#ˆÈB "‰ $B#Î$
ârctanB 1% ‰1a" tan# a1Bbb
µ
$
#ˆÈ
B "‰ "#Î$
"
"B# tana1Bb
$B
ârctanB 1% ‰1a" tan# a1Bbb
Þ
# ˆÈ
$
‰
B

"
$
Calcoliamo il limite dell'ultimo quoziente ancora con De L'Hospital:
lim
BÄ"
#B
a"B
tana1Bb
# b#
#
"B# 1a"
tan# a1Bbb ˆarctanB 1% ‰1#tana1Bb1a" tan# a1Bbb
# "
$ $B#Î$
3
œ
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°4
_________________________________________________________________________________
œ
1
#
*
œ
*
1ß
#
e questo è il limite cercato.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione
le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
"
_
88
a8x /8 b$8
8œ"
Serie a termini positivi.
+8 µ
88
´ ,8 .
8x$8
Studiamo la convergenza di e,8 f col criterio del rapporto.
ˆ" 8" ‰8
,8"
a8 "b8" 8x$8
a8 "b8" "
a8 "b8
/
œ
† 8 œ
† 8 œ
œ
Ä
8"
8
,8
a8 "bx$
8
a 8 "b$ 8
$8
$
$
"Þ
Quindi per il criterio del rapporto la serie di ,8 converge, e per il criterio del confronto
asintotico la serie di partenza converge.
5. Calcolare il seguente integrale indefinito:
(
(
#B#
#B#
B"
.BÞ
%B &
B"
"
%B %
"
.B œ (
.B #(
.B œ
#
%B &
% #B %B &
#ˆB# #B &# ‰
œ
œ
"
%B %
"
.B #(
.B œ
(
#
% #B %B &
#’aB "b# $# “
"
#
#
logˆ#B# %B &‰ Ê arctan–Ê aB "b— -Þ
%
$
$
6. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, studiando il
comportamento della funzione integranda nell'intorno di ogni punto in cui risulta illimitata, e
giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati:
loga#Bb
( – $
—.B.
$
ˆÈB "‰È
B#
!
#
La funzione integranda è illimitata per B Ä ! ß B Ä "ß B Ä #Þ
4
2a prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svolgimento Tema n°4
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Per B Ä #
0 aBb µ
log%
integrabile;
$
B#
Š È # "‹ È
$
per B Ä ! ß
0 aBb µ
(ad esempio, è ¹ logB
¹Ÿ
$
È
#
Per B Ä "
"
ÈB
logB
integrabile
$
È
#
definitivamente per B Ä !).
0 aBb µ
log#
log#
µ "
non integrabile.
$
ˆÈ
‰
B"
$ a B "b
$
(Per scrivere l'ultima stima si è linearizzata la funzione 1aBb œ È
B " per B Ä ").
Pertanto l'integrale generalizzato diverge.
(Per concludere questo fatto era sufficiente analizzare il comportamento in B œ ", ma il
testo dell'esercizio chiedeva esplicitamente di esaminare anche gli altri).
5

Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 1

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