Transcript 08-Matrici, determinante e rango

Universit`
a degli Studi di Palermo
Facolt`
a di Economia
CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale
Appunti del corso di Matematica
08 - Matrici,
Determinante e Rango
Anno Accademico 2013/2014
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
1. Definizione di matrice
1. Definizione di matrice
Siano m, n ∈ N. La tabella A composta da m×n numeri reali, disposti
su m righe ed n colonne, `e detta matrice m × n in R, e si rappresenta
come segue:

a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 

A=

 ...
am1 am2 · · · amn

Utilizzeremo le lettere maiuscole dell’alfabeto latino per indicare
una matrice: A, B, C, ... I numeri reali aij , con i = 1, ..., m e j =
1, ..., n, sono detti elementi della matrice A, i e j sono detti indice di
riga e indice di colonna, in quanto i identifica la riga della matrice dove
trovare l’elemento aij e j ne identifica la colonna. Ad esempio con a13 si
indica l’elemento posto all’incrocio tra la prima riga e la terza colonna
di una matrice.
Una matrice pu`o essere indicata come segue:
[A]ij , ∀i = {1, ..., m}, j = {1, ..., n}, Am,n , oppure Am×n
Indicheremo con Ai∗ la i-esima riga di A,
Ai∗ = [ai1 ai2 · · · ain ]
e con A∗j la j-esima colonna di A:

a1j
 a2j 
.
A∗j = 
 ...


amj
Esempio 1.1
Sia A una matrice 2 × 3:
A=
1
−1/2
2
.
3
1/3 4
In questo esempio l’elemento a11 della matrice `e a11 = 1 e l’elemento
a23 `e a23 = 4. Gli elementi della terza colonna sono:
2
A∗3 =
.
4
e quelli della prima riga sono:
A1∗ = [1 − 1/2 2] .
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
3
1. Definizione di matrice
Definizione Una matrice Am×n con m = n si dice quadrata di ordine
n e si indica con An .
Sia An una matrice quadrata di ordine n.
Definizione Gli elementi a11 , a22 , ... , ann sono detti elementi diagonali e costituiscono la diagonale principale di An .
Definizione Gli elementi a1n , a2(n−1) , a3(n−2) , ... , an1 costituiscono
invece la diagonale secondaria di An .
Definizione La somma degli elementi diagonali di una matrice si dice
traccia: T r[An ] = a11 + a22 + · · · + ann .
Definizione Una matrice quadrata A con tutti gli elementi fuori dalla
diagonale principale nulli, aij = 0, ∀i 6= j, si dice matrice diagonale.
Definizione Una matrice diagonale A con tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali, aij = k ∈ R, ∀i = j, si dice matrice scalare.
Definizione Una matrice diagonale A con tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali a 1, aij = 1, ∀i = j, si dice matrice unit´a o
identit´a.
Definizione Una matrice quadrata A con tutti gli elementi sotto (sopra) la diagonale principale nulli, aij = 0 ∀i > j(aij = 0 ∀i ≤ j), si
dice matrice triangolare superiore (matrice triangolare inferiore).
Esempio 1.2
Si considerino le seguenti matrici:



−1
2 −1 0

0

3 1 ; B =  0
A=
0 −1 2
0



5 0 0
1
 0 5 0
0
C=
 ;I=
0 0 5
0



2 −1 8
−1
0


3 1 ; E =  2
D=
0
0 2
1
0
1/3
0
0
1
0

0
0
;
4

0
0
;
1

0 0
3 0
.
5 4
Sono tutte matrici quadrate di ordine 3.
B `e una matrice diagonale, C `e una matrice scalare, I `e la matrice identit´a o unit´a, D ´e una matrice triangolare superiore e E una
matrice triangolare inferiore.
Definizione Siano Am×n e Bp×q due matrici. Diremo che le due matrici sono uguali e scriveremo
A=B
4
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
2. Operazioni fra Matrici
se: m = p e n = q, cio´e le due matrici sono dello stesso ordine, e
aij = bij , ∀i, j, cio´e sono uguali gli elementi che occupano le medesime
posizioni nelle rispettive matrici.
Definizione Una matrice i cui elementi sono tutti nulli si dice matrice
nulla.
Definizione Sia Am×n una matrice. Chiameremo matrice trasposta di
A e la indicheremo con AT , la matrice che si ottiene scambiando le
righe e le colonne di A, quindi:
ATm×n = An×m .
Definizione Una matrice A si dice simmetrica se A = AT .
Definizione Una matrice A di ordine 1 × n `e anche detta vettore riga
di ordine n, mentre una matrice A di ordine n × 1 `e anche detta vettore
colonna di ordine n.
Quando parleremo di vettore senza indicare se riga o colonna, assumeremo che si tratti di un vettore colonna.
Esempio 1.3


1 π


A =  0 1
3 2

1 2
2 3
E=
1 4


1 π
1 0
 0 1
;B=
 ;C=
π 1
3 2
 

π
1


4 ; F =  1
 ; G = [ 1 6 e]
4
0
3
0 0
;D=
;
2
0 0


9 0 0


; H =  0 5 0 .
0 0 e
Come si pu`o verificare, A = B; C = AT ; D `e una matrice quadrata
nulla di ordine 2; E `e una matrice simmetrica (E = E T ); F `e un
vettore colonna; G `e un vettore riga; H `e una matrice diagonale (e
quindi simmetrica) di ordine 3.
2. Operazioni fra Matrici
Definizione Siano A e B due matrici di ordine m × n. Si definisce
matrice somma di A e B e si indica con A + B la matrice C ottenuta
sommando gli elementi di A e B che occupano la stessa posizione nelle
rispettive matrici:
Cm×n = Am×n + Bm×n ,
con cij = aij + bij , ∀i, j.
E’ evidente che due matrici si possono sommare se sono dello stesso
ordine.
Date due matrici, A e B, dello stesso ordine, la somma tra matrici gode
delle seguenti propriet`a:
(1) A + B = B + A.
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
5
2. Operazioni fra Matrici
(2) (A + B) + C = A + (B + C).
(3) A + O = O + A = A, dove O `e la matrice nulla dello stesso
ordine di A.
Definizione Sia A una matrice di ordine m × n. Si definisce prodotto
scalare-matrice il prodotto di uno scalare k ∈ R per la matrice A. La
nuova matrice si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per k.
Definizione Sia A una matrice di ordine m × n. Si definisce matrice
opposta di A e si indica con −A, la matrice che si ottiene invertendo il
segno di tutti gli elementi di A. −A si ottiene moltiplicando tutti gli
elementi di A per −1.
Vale allora anche la seguente propriet´a della somma:
A + (−A) = (−A) + A = O.
Dalle propriet`a precedenti si pu`o definire la differenza di A e B come
la somma di A e della matrice opposta di B:
A − B = A + [−B]
Esempi 2.1
Calcolare le seguenti matrici:
A + B ; 2C ; A + B − 2C
dove
2
A=
4
−1
1
3
1
4
;B=
9
9
16
a
16
;C=
25
3
−1
b
2
.
4
Si ha:
2
A+B =
4
−1
1
3
4
+
1
9
2a
2C =
6
6
8
A + B − 2C =
13 17
2(3 − a)
=
7
9
16
16
6
=
25
13
−2 4
,
2b 8
2a −2
19
−
26
6
2b
10
15
.
17 − 2b 18
8
17
19
,
26
4
=
8
Definizione Sia A una matrice di ordine m × p e B una matrice di
ordine p × n. Il prodotto A · B `e la matrice C di ordine m × n i cui
elementi cij sono definiti come:
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj =
p
X
aik bkj .
k=1
In altri termini, il generico elemento cij della matrice
6
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
2. Operazioni fra Matrici

c11
 c
 21

 ..
 .
C=
 ci1

 .
 .
 .
cm1
c12
c22
..
.
ci2
···
···
c1j
c2j
···
···
···
cij
···
cm2
···
cmj
···

c1n
c2n 





cin 




cmn
prodotto tra la matrice A e la matrice B si ottiene facendo la somma
dei prodotti di ogni elemento della riga i-esima della matrice A

a11
 a
 21

 ..
 .
A=
 ai1

 .
 .
 .
am1
a12
a22
..
.
ai2
···
···
a1j
a2j
···
···
···
aij
···
am2
···
amj
···

a1p
a2p 





aip 




amp
per il corrispondente elemento della colonna j-esima della matrice B
b11
b
 21

 ..
 .
B=
 bi1

 .
 .
 .
b12
b22
···
···
b1j
b2j
···
···
bi2
···
bij
···
bp1
bp2
···
bpj
···

D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio

b1n
b2n 




.
bin 




bpn
7
2. Operazioni fra Matrici
Esempio 2.2
Determinare il prodotto delle matrici
A2×3 =
2
1
1
−1

1
−1
 −1
e B3×3 = 
1
1
1
2
−1

0
1
.
0
La prima cosa da fare `e verificare che sia possibile effettuare il prodotto, quindi verificare che il numero di colonne di A sia uguale al
numero di righe della matrice B. In questo caso la dimensione di A `e
[2 × 3], mentre quella di B `e [3 × 3], quindi numero di colonne di A =
numero di righe di B = 3. La dimensione della matrice prodotto sar´a
[2 × 3]. Accertato che `e possibile effettuare il prodotto, gli elementi di
C2×3 si ottengono attraverso il prodotto riga per colonna. L’elemento
c11 si ottiene come la somma dei prodotti degli elementi della prima
riga della matrice A per i corrispondenti elementi della prima colonna
della matrice B:
c11 = 2 · 1 + 1 · (−1) + (−1) · 1 = 0
Allo stesso modo, ad esempio, l’elemento c13 sar`a calcolato come la
somma dei prodotti degli elementi della prima riga della matrice A
per i corrsipondenti elementi della terza colonna della matrice B:
c13 = 2 · 0 + 1 · 1 + (−1) · 0 = 1
Continuando in questo modo per ogni riga i = 1, 2 di A e ogni colonna
j = 1, 2, 3 di B si ottiene la matrice del prodotto A · B:
0
5
1
C2×3 =
.
3 −2 −1
Il prodotto tra due matrici non `
e commutativo. Ci`o `e evidente nel
caso di matrici non quadrate. Infatti, se A = Am×p e B = Bp×n allora
il il prodotto B × A `e impossibile per ragioni dimensionali se n 6= m,
mentre il prodotto A × B `e dimensionalmente possibile e si ottiene una
matrice C di dimensione m × n.
In generale, anche per le matrici quadrate, per cui `e sempre possibile
calcolare sia il prodotto A × B che il prodotto B × A, si pu`o avere che
A × B 6= B × A.
Quindi, in generale e a differenza degli insiemi numerici, la moltiplicazione definita nell’insieme delle matrici NON `e communitativa.
Fanno eccezione alla non commutabilit´a del prodotto tra matrici, il prodotto di una matrice quadrata A per la matrice identit´a dello stesso
ordine,
An × In = In × An = An ;
8
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
2. Operazioni fra Matrici
di una matrice quadrata A per la matrice nulla dello stesso ordine
An × 0n = 0n × An = 0n ;
di una matrice quadrata A per la sua matrice inversa (che definiremo
pi´
u avanti),
−1
An × A−1
n = An × An = In .
La prima espressione, inoltre, dimostra che In `e l’elemento neutro per
la moltiplicazione fra matrici.
Vi sono altre differenze con gli insiemi numerici.
Per esempio `e noto che, per la legge di annullamento del prodotto, dati
α e β ∈ R, pu`o essere α · β = 0 solo se α = 0, oppure β = 0, oppure
α = β = 0.
Anche questa propriet`a non `e vera, in generale, per le matrici. Per
esempio, siano
2 4
2
A2 =
e B2 =
1 2
−1
−4
.
2
Entrambe le matrici sono diverse dalla matrice nulla O2 . Tuttavia si
ha:
2 4
2
A2 × B2 =
1 2
−1
−4
0
=
2
0
0
= O2 .
0
Questo esempio mostra quanto sia problematico definire il rapporto tra
matrici, visto che il prodotto tra matrici a) non `e commutativo e b) pu`o
essere uguale alla matrice nulla, nonostante entrambe le matrici a prodotto siano diverse dalla matrice nulla. Si possono tuttavia dimostrare
le seguenti propriet`a:
(1)
(2)
(3)
(4)
(A B) C = A (B C).
A (B + C) = A B + A C.
(A + B) C = A C + B C
A O = O A = O, dove O `e la matrice nulla dello stesso ordine
di A.
(5) A (k B) = k A B, dove A e B sono matrici e k `e un generico
scalare.
Definite le operazioni di somma e prodotto tra matrici, possiamo occuparci di alcune interessanti propriet´a della matrice trasposta rispetto a
tali operazioni.
Date due matrici, A e B, di ordine n e uno scalare α ∈ R, risulta che
(1)
(2)
(3)
(4)
(A + B)T = AT + B T
(α A)T = α AT
(A B)T = B T AT
(AT )−1 = (A−1 )T
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
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3. Matrice Inversa
3. Matrice Inversa
3.1. Definizione di Invertibilit`
a e Inversa. Sia A un matrice
di ordine n. Si dice che A `e invertibile se esiste una matrice A−1 , di
ordine n, tale che
−1
An × A−1
n = An × An = In .
Esiste un teorema che pone la condizione perch´e esista l’inversa
di una matrice. Tale teorema fa uso del concetto di determinante
della matrice e quindi dobbiamo rinviarne lo studio ad un momento
successivo.
Possiamo invece introdurre il seguente teorema.
Teorema 3.1 (Unicit`a dell’inversa di una matrice). Sia A una
matrice di ordine n. Se A `e invertibile allora la sua matrice inversa,
A−1 , `e unica.
Dimostrazione. Si ipotizzi per assurdo l’esistenza di due matrici
inverse, B e C, della matrice A. Dalla definizione di matrice inversa
segue che
A × B = B × A = In ;
A × C = C × A = In .
Consideriamo la prima uguagliaza e moltiplichiamo ambo i membri
di questa equazione per C a sinistra 1. Si ottiene
C × (A × B) = C × In ;
Per la propriet`a associativa della moltiplicazione tra matrici (punto 1
delle propriet`a sopra elencate) possiamo scrivere
(C × A) × B = C × In
Poich´e, per ipotesi, C ´e matrice inversa di A, C × A = In , e quindi
possiamo riscrivere l’ultima equazione
In × B = C × In
da cui segue
B = C.
Concludiamo quindi che se la matrice A ammette inversa, questa ´e
unica.
Teorema 3.2. Siano A e B due matrici di ordine n invertibili.
Allora
(1) (A−1 )−1 = A
(2) (A B)−1 = B −1 A−1 .
1Si
noti che per le matrici `e importante indicare se si moltiplica a destra (postmoltiplicazione) o a sinistra (pre-moltiplicazione), mentre negli insiemi numerici ci`o
era irrilevante.
10
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
4. Determinante di una matrice
4. Determinante di una matrice
Un concetto associato a tutte (e solamente) le matrici quadrate ´e
quello di determinante.
Prima per´o di addentrarci in tale argomento, vediamo alcuni concetti
propedeutici.
Definizione Sia n un numero intero positivo. Si definisce permutazione degli interi 1, 2, ..., n, la sequenza di interi i1 , i2 , ..., in ottenuta
scambiando di posto uno o pi`
u elementi della sequenza 1, 2, ..., n.
Esempio 4.1
Dato l’insieme 1, 2, 3 le possibili permutazioni sono:
1, 2, 3;
2, 3, 1;
3, 1, 2;
1, 3, 2;
2, 1, 3;
3, 2, 1.
Definizione Una permutazione si dice pari se il numero di inversioni
rispetto alla sequenza di partenza `e pari. Altrimenti la permutazione
si dice dispari.
Per determinare se una permutazione `e pari o dispari `e sufficiente costruire un diagramma in cui sia tracciato un segmento tra ogni elemento
della sequenza di partenza e lo stesso elemento nella sequenza di arrivo
e verificare se il numero di intersezioni (incroci) tra i segmenti `e pari o
dispari.
Esercizio 4.1
Nei casi seguenti la prima riga rappresenta la sequenza (o insieme)
di partenza e la seconda una permutazione. Calcolare il numero di
incroci ed indicare se la permutazione `e pari o dispari:
1 2 3
1 2
3
1 2
3
;
3
2
1
;
2
3
1
1
2
3
Definizione Si definisce segno di una permutazione e si indica con
sign(i1 , i2 , ..., in ) il valore +1 se la permutazione `e pari e −1 se la permutazione `e dispari.
Teorema 4.1. Sia n > 1, allora le permutazioni di n elementi, il
cui numero totale ´e pari a n!2, saranno met`a pari e met`a dispari.
Definizione Sia A una matrice di ordine n. Il determinante di A `e
uno scalare definito come segue:
X
|A| = det (A) =
sign(i1 , i2 , ..., in ) a1i1 a2i2 · · · anin
i1 ,i2 ,...,in
2n! si legge n
fattoriale ed ´e pari al prodotto degli n numeri interi positivi minori
o uguali a tale numero. In altre parole, n! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) . . . 3 · 2 · 1.
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
11
4. Determinante di una matrice
In altri termini, il determinante di una matrice di ordine n si ottiene
sommando i prodotti degli elementi della matrice stessa, dove la somma `e estesa a tutte le possibili n! permutazioni degli n elementi. Si noti
che nella precedente espressione del determinante l’indice della colonna
`e dato dalle permutazioni.
Dalla definizione di determinante si evince quanto possa essere complicato calcolare il determinante di una matrice quando la dimensione, n,
`e moderatamente alta. Per esempio con n = 10 `e necessario sommare
10! = 3.628.800 prodotti di 10 elementi!
Definizione Una matrice quadrata di ordine n con determinante nullo, |An | = 0, si dice singolare.
Se A ´e una matrice di ordine non superiore a 3, allora ´e possibile far uso
di alcune semplici regole per il calcolo del determinante della matrice.
Sia A1 = a11 , cio´e una matrice composta da un solo elemento. Allora
|A1 | = a11 , cio´e il determinante ´e pari al valore dell’unico elemento
della matrice.
Sia
a11 a12
A2 =
a21 a22
una generica matrice di ordine 2. Poich´e n = 2, n! = 2 sono il numero
di permutazioni di 2 elementi, specificamente 1, 2 e 2, 1.
La prima permutazione `e pari (0 incroci), quindi sign(1, 2) = 1 e la
seconda `e dispari (1 incrocio), quindi sign(2, 1) = −1.
Utilizzando la definizione di determinante si ha che:
|A2 | = sign(1, 2)a11 a22 + sign(2, 1)a12 a21 = a11 a22 − a12 a21 .
Quindi il determinante di una matrice di ordine 2 `e la differenza dei
prodotti incrociati degli elementi di A:
a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 .
|A2 | = a21 a22 Per le matrici di ordine 3 esiste una regola che semplifica il calcolo del
determinante, detta Regola di Sarrus.
Secondo tale regola, si riportano gli elementi delle colonne della matrice e, alla destra degli elementi della terza colonna, si accostano
ordinatamente, la prima e la seconda colonna ottenendo
12
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
4. Determinante di una matrice
Si calcolano quindi i prodotti degli elementi della diagonale principale
e delle due diagonali complete ad essa parallele e se ne fa la somma
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
.....
a11
.....
....
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
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.....
.....
.
.....
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.....
.....
.....
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.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
..
.
e si sottrae la somma dei prodotti degli elementi della diagonale secondaria e delle due diagonali complete ad essa parallele
−(a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
....
....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
....
.....
.....
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.....
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.....
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....
....
.....
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.....
.....
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.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
Il determinante della generica matrice A di ordine 3 `e dunque pari a
|A| = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a13 a22 a31 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33
Esempio 4.2
Sia B una matrice di ordine 3:


1 2 1
 3 1 1 .
2 0 1
Il determinante calcolato con la regola di Sarrus sar`a
|B| = b11 b22 b33 +b12 b23 b31 +b13 b21 b32 −b11 b23 b32 −b12 b21 b33 −b13 b22 b31 .
Sostituendo gli elementi di B si ottiene
1 · 1 · 1 + 2 · 1 · 2 + 1 · 3 · 0 − 1 · 1 · 0 − 2 · 3 · 1 − 1 · 1 · 2 = −3.
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
13
4. Determinante di una matrice
Esercizio 4.2
Calcolare il determinante delle seguenti matrici:
A2 =
1 −1
1 1
; B2 =
−1/2 −1
1
2


1
2 1
; C3  −1 0 4  .
1 −2 0
Per il calcolo del determinante di una matrice quadrata A di ordine
superiore a 3, si pu´o applicare il primo teorema di Laplace. Per poter enunciare tale teorema abbiamo per´o bisogno di introdurre alcune
deifinizioni.
Definizione Sia A una matrice quadrata di ordine n. Si definisce
minore di ordine k il determinante di una qualsiasi sottomatrice di A
che si ottiene rimuovendo n − k righe e n − k colonne da A.
Definizione Data una matrice rettangolare Am×n e dati h, k ∈ Z+ , si
definisce sottomatrice di A di ordine h × k la matrice composta dagli
h · k elementi della matrice Am×n , ottenuti dall’intersezione di h righe
e k colonne scelte a piacere dalla matrice Am×n .
Definizione Si definisce minore complementare (i,j), e si indica (tipicamente) con Mij , il determinante di ordine n − 1 della sottomatrice
di A che si ottiene rimuovendo l’i-esima riga e la j-esima colonna di A.
Definizione Si definisce minore principale di ordine k il determinante
di qualsiasi sottomatrice di A che si ottiene eliminando n − k righe e
le corrispondenti n − k colonne da A.
Definizione Si definisce minore principale dominante di ordine k il
determinante della sottomatrice di A che si ottiene eliminando le ultime
n − k righe e le ultime n − k colonne da A.
Si noti che mentre i determinanti si possono calcolare solo per matrici
quadrate i minori possono essere calcolati anche per matrici rettangolari
m × n con m 6= n.
Definizione Sia Mij un minore complementare di una matrice quadrata di ordine n. Si definisce complemento algebrico o cofattore relativo
alla posizione (i,j), e si indica con αij , il minore complementare Mij
avente segno (−1)i+j :
αij = (−1)i+j Mij .
Definizione Data la matrice An di ordine n,
An la matrice

α11 α21 ...

α12 α22 ...
Aa = aggA = 
 .
.
.
α1n α2n ...
14
si definisce aggiunta di

αn1
αn2 

. 
αnn
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
4. Determinante di una matrice
avente per elementi i complementi algebrici dei corrispondenti elementi
della trasposta di An .
A partire dunque dalla matrice quadrata An , se ne determina prima di
tutto la trasposta ATn . La matrice aggiunta di Aan si ottiene sostituendo
ad ogni elemento di ATn il corrispondente complemento algebrico.
Esempio 4.3
Data la matrice rettangolare

A3×4
2
1
=
1
1
−1
1
−1
1
0

3
0

2
costruire tutte le sottomatrici di ordine 2 × 3 della matrice data.
2
1
1
−1
1
1
2
1
1
1
1
0
−1
2
;
1
1
1
1
−1
1
;
0
1
3
1
;
2
1
−1
1
0
2
;
2
1
−1
1
0
1
;
2
−1
3
1
;
0
1
−1
1
−1
1
−1
0
1
0
2
;
1
3
2
;
0
1
1
−1
−1
0
3
−1
;
2
1
3
;
0
3
;
2
1
0
0
.
2
Il numero totale di sottomatrici di ordine 2 × 3 estraibili dalla matrice
A3×4 ´e quindi 12.
Data una matrice Am×n composta da m righe e n colonne, il numero
totale di sottomatrici di ordine h × k, con h ≤ m e k ≤ n, estraibili
dalla matrice Am×n si ottiene dalla formula
m!
n!
·
h! · (m − h)! k! · (n − k)!
Teorema 4.2 (I teorema di Laplace). Sia An una matrice di ordine n, allora, scelta una riga qualsiasi (o una colonna qualsiasi) della matrice, il determinante si calcola facendo la somma dei prodotti
degli elementi della riga (colonna) scelta per i rispettivi complementi
algebrici.
P
|An | = nk=1 aik · Aik (sviluppo per riga)
|An | =
Pn
k=1
akj · Akj
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
(sviluppo per colonna)
15
4. Determinante di una matrice
Lo sviluppo di Laplace consente quindi di calcolare un determinante di
ordine n tramite il calcolo di determinanti di ordine n − 1, tale `e infatti
l’ordine dei cofattori. In generale questo approccio non `e pi`
u efficiente
del metodo implicito nella definizione di determinante. Tuttavia, in
taluni casi, la struttura della matrice pu`o facilitare lo sviluppo del
determinante rispetto ad una certa riga o colonna.
Esempio 4.4
Sia A una matrice 3 × 3 definita come segue:


1 2 3
A =  4 5 6 .
7 8 9
I minori di ordine 2 corrispondono ai minori complementari in quanto
dobbiamo eliminare n − k = 3 − 2 = 1 riga ed n − k = 3 − 2 = 1
colonna.
Essi sono:
4 5 4 6 5 6 ; M12 = M11 = 7 9 ; M13 = 7 8 ;
8 9 1 2 1 3 2 3 ; M22 = M21 = 7 9 ; M23 = 7 8 ;
8 9 1 2 1 3 2 3 ; M32 = M31 = 4 6 ; M33 = 4 5 ;
5 6 Chiaramente il minore di ordine 3 coincide con il determinante di A.
Si lascia allo studente di calcolare i minori di ordine 1.
I minori principali di ordine 2 sono i determinanti di sottomatrici che
si ottengono eliminando una riga e la corrispondente colonna. Quindi,
se si inizia eliminando la prima riga allora si deve eliminare la prima
colonna e cos`ı via. Quindi i minori principali di ordine 2 saranno M11 ,
M22 e M33 .
Il minore principale di ordine 3 sar`a il determinante di A stessa.
Lo studente determini i minori di ordine 1.
E’ possibile dimostrare che il numero totale di minori principali di
una matrice di ordine n `e 2n − 1, in questo caso pari a 7.
Il numero totale di minori principali dominanti di una matrice di
ordine n `e pari a n, quindi a 3 nel nostro esempio.
I minori principali dominanti di ordine 3, 2 e 1 sono rispettivamente:
1 2 , |1|.
|A| , 4 5 16
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
5. Propriet´
a dei determinanti
Corollario 4.3. Sia A una matrice diagonale di ordine n. Allora
n
Y
|An | =
akk .
k=1
Il corollario appena visto ha un valore pi`
u generale, in quanto esso si
applica anche alle matrici triangolari.
Esempio 4.5
Calcolare il determinante della matrice


0 1 0
A =  0 2 3 .
1 4 5
Tenendo a mente lo sviluppo di Laplace, conviene calcolare questo
determinante sviluppandolo rispetto alla prima riga oppure rispetto
alla prima colonna. Sviluppiamolo rispetto alla riga i = 1. Si ha:
1+1 2 3 1+2 0 3 1+3 0 2 |A| = 0 · (−1) + 1 · (−1) + 0 · (−1) 4 5
1 5
1 4 = −(0 · 5 − 3) = 3
E’ lasciato allo studente mostrare che allo stesso risultato si pu`o pervenire sviluppando, ad esempio, rispetto alla colonna j = 1, oppure
col metodo di Sarrus.
Esercizio 4.3
Verificare che il determinante di una matrice triangolare n × n `e
uguale a:
n
Y
akk .
|A| =
k=1
5. Propriet´
a dei determinanti
Sia An una matrice quadrata di ordine n.
1. Se ogni elemento di una “linea” (riga o colonna) della matrice
An `e zero, il determinante `e nullo.
Infatti basta applicare Laplace rispetto alla linea avente tutti
gli elementi uguali a zero.
2. Se nella matrice An si scambiano due righe, o colonne, tra loro
il determinante cambia di segno.
3. Se nella matrice An gli elementi di una riga, o colonna, vengono moltiplicati per una costante k ∈ R, il determinante risulta
moltiplicato per k.
4. Se nella matrice An tutti gli elementi vengono moltiplicati per
una costante k ∈ R, il determinante risulta moltiplicato per
kn.
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
17
5. Propriet´
a dei determinanti
5. Se nella matrice An due righe, o colonne, sono uguali, il determinante `e nullo.
D’altra parte per la propriet`a 2. dei determinanti lo scambio due righe, o colonne, modifica il segno del determinante e
dunque deve aversi:
|A| = −|A|
e ci`o accade solo se |A| = 0.
6. Se nella matrice An due righe, o colonne, sono proporzionali,
allora il determinante della matrice `e uguale a zero.
7. Se nella matrice An due righe, o colonne, sono combinazione
lineare di altre righe, o colonne, della matrice, il determinante
della matrice `e uguale a zero.
8. La matrice quadrata An e la sua trasposta ATn hanno lo stesso
determinante: |A| = |AT |.
Teorema 5.1 (Teorema di Binet). Siano An e Bn due matrici
quadrate di ordine n. Il determinante della matrice prodotto, An × Bn ,
`e uguale al prodotto dei determinanti
det(An · Bn ) = det(An ) · det(Bn )
Questo risultato pu`o essere generaizzato al prodotto di k matrici
det (A1 · A2 · · · Ak ) = det (A1 ) · det (A2 ) · · · det (Ak ) .
Teorema 5.2 (II teorema di Laplace). Sia An una matrice quadrata di ordine n, ´e nulla la somma dei prodotti degli elementi di una
riga, o colonna, per i complementi algebrici di un’altra riga, o colonna,
della matrice.
Formalmente
n
X
aik · Ajk = 0, ∀i 6= j (elementi della riga i-esima per i complementi
k=1
algebrici della riga j-esima);
n
X
akj · Akj = 0 ∀i 6= j (elementi della riga i-esima per i complementi
k=1
algebrici della riga j-esima).
Teorema 5.3 (Teorema di esistenza della matrice inversa). Condizione necessaria e sufficiente affinch`e una matrice quadrata An ammetta inversa `e che risulti det(An ) 6= 0.
18
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
5. Propriet´
a dei determinanti
Dimostrazione. Condizione necessaria (esiste la matrice inversa
di An )
Dalla definizione di matrice inversa di una matrice data sappiamo che
−1
An × A−1
n = An × An = In
Se prendiamo l’espressione An × A−1
n = In e calcoliamo il determinante
a primo e secondo membro
det(An × A−1
n ) = det(In )
otteniamo, per il teorema di Binet,
det(An ) × det(A−1
n ) = det(In )
e cio´e
det(An ) × det(A−1
n ) = 1
equazione possibile solo se det(An ) 6= 0.
Condizione sufficiente (det(An ) 6= 0)
Dal secondo teorema di Laplace deriva che
An × Aan = Aan × An = det(An ) × In
Se prendiamo l’espressione An × Aan = det(An ) × In e dividiamo primo
e secondo membro per det(An ) (operazione possibile perch´e per ipotesi
det(An ) 6= 0), otteniamo
An ×
Aan
= In
det(An )
in cui Aan /det(An ) d´a proprio l’espressione analitica della matrice inversa di An , cio´e
A−1
n =
Aan
.
det(An )
Per determinare la matrice inversa di An , si deve allora
1) verificare che la matrice An sia non singolare (det(An ) 6= 0),
2) trovare la matrice aggiunta di An , Aan
3) dividere ogni elemento della matrice aggiunta Aan per |A|.
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
19
6. Rango di una matrice
6. Rango di una matrice
Definizione (Rango di una matrice)Una matrice Am×n ha rango r, se
r `e l’ordine massimo delle sue sottomatrici quadrate non singolari.
Esempio 6.1
Si calcoli, se esiste, la matrice inversa della matrice


2 −3 1
4 7 
A3 =  −1
1
1 9
Il determinante della matrice data ´e
|A| = 72 − 21 − 1 − (4 + 14 + 27) = 50 − 45 = 5
Essendo det(A) 6= 0 la matrice A ammette inversa. La trasposta di An ´e


2 −1 1
4 1 
AT =  −3
1
7 9
La matrice aggiunta sar´
a quindi

 4 1 −3 1 −3 4 −
 7 9 1 9 1 7 




 
 −1 1 2 1 2 −1 
=
aggA = 
−  − 7 9 1 9 1
7 





 2 1 2 −1 
 −1 1 4 1 − −3 1 −3
4 

29 28 −25
15 
=  16 17
5 −5
5
La matrice inversa sar´
a quindi

A−1
29
 5


 16
=
 5


 5
−
5
28
5
17
5
−
5
5

25
−
5 


15 

−
5 


5 
5
La verifica della correttezza dei calcoli si pu´o fare procedendo al prodotto
della matrice inversa appena trovata con la matrice An di partenza. Il
risultato dovr´
a essere una matrice identit´a dello stesso ordine di An .
20
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
7. Orlati di una sottomatrice quadrata
Equivalentemente possiamo dire che una matrice Am×n ha rango r
se tutte le sottomatrici quadrate di ordine (r + 1) estratte da A (se
ne dovessero esistere) sono singolari, mentre almeno una sottomatrice
quadrata di ordine r `e non singolare.
Da quanto detto risulta evidente che rank(Am×n ) ≤ min{m, n}
Se tutti gli elementi della matrice sono nulli allora rank(Am×n ) = 0.
7. Orlati di una sottomatrice quadrata
Sia Am×n una matrice e sia r ∈ Z+ con r ≤ {m, n}. Sia Mr una sottomatrice quadrata di ordine r estratta da A . Si chiamano orlati di Mr
in A le sottomatrici di ordine (r + 1) estratte da A che si ottengono
orlando Mr con una delle rimanenti (m − r) righe ed una delle rimanenti (n − r) colonne di A. Quindi una sottomatrice Mr di Am×n ha
un numero di orlati uguale a (m − r)(n − r).
Esempio 7.1
Sia


a11 a12 a13 a14 a15
A3×4 =  a21 a22 a23 a24 a25 
a31 a32 a33 a34 a35
una matrice e
a11 a12
M2 =
a21 a22
una sua sottomatrice.
Si costruiscano tutti gli orlati di M in A.
Il numero di orlati di M `e (m − r)(n − r) = (3 − 2)(5 − 2) = 1 · 3 = 3
Indichiamo con O31 la sottomatrice del 3◦ ordine, che si ottiene orlando
M in A mediante la 3◦ riga e la 3◦ colonna, con O32 la sottomatrice
del 3◦ ordine che si ottiene orlando M in A mediante la 3◦ riga e la
4◦ colonna e con con O33 la sottomatrice del 4◦ ordine che si ottiene
orlando M in A mediante la 3◦ riga e la 5◦ colonna.
Gli orlati
richiesti sono






a11
O31 =  a21
a31
a12
a22
a32
a13
a11
a23  ; O32 =  a21
a33
a31
a12
a22
a32
a14
a11
a24  ; O33 =  a21
a34
a31
a12
a22
a32
a15
a25  .
a35
La costruzione degli orlati ´e alla base del teorema di Kronecker (o dei
minori orlati o semplicemente degli orlati) che permette di calcolare il
rango di una matrice Am×n in maniera meno onerosa rispetto al calcolo
del determinante di tutte le sottomatrici quadrate estraibili dalla stessa.
Secondo tale teorema, data una matrice Am×n , e considerata una sua
sottomatrice quadrata Mr di ordine r con determinante diverso da zero,
se tutti gli orlati di M in A, di ordine r+1, hanno determinante nullo,
allora rank(Am×n ) = r. Grazie al teorema di Kronecker quindi non
occorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma solo
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
21
7. Orlati di una sottomatrice quadrata
quelli otteibili a partire da una sottomatrice di Am×n di ordine r non
singolare.
Esempio 7.2
Si consideri la matrice

A4×4

1
2 −1
0
 2 −1 −3
3 

=
 −3 −1
4 −3 
3
1 −4
3
Determinare il rango della matrice A4×4 .
Applichiamo il teorema di Kronecker.
Cerchiamo una sottomatrice quadrata di ordine r non singolare.
Scegliamo r = 2 ed estraiamo la sottomatrice composta dalle prime 2
righe e dalle prime 2 colonne
1 2 = −1 − 4 = −5.
|S2 | = 2 −1 Ovviamente se tale sottomatrice dovesse essere singolare se ne individuer´a un’altra (se possibile) con determinante diverso da zero.
Nel caso in esame, la matrice S2 `e non singolare, e quindi
rank(A4×4 ) ≥ 2.
` possibile orlare S2 in A in (4 − 2)(4 − 2) = 4 modi.
E
Gli orlati di S2 sono




1
2 −1
1
2 0
O31 =  2 −1 −3  ; O32 =  2 −1 −3  ;
−3 −1
4
−3 −1 −3




1
2
0
1
2 −1
3 .
O33 =  2 −1 −3  ; O34 =  2 −1
3
1 −4
3
1 3
I rispettivi determinanti sono
|O31 | = −4 + 18 + 2 + 3 − 3 − 16 = 0
|O32 | = 3 − 18 + 0 + 0 + 3 + 12 = 0
|O33 | = 4 − 18 − 2 − 3 + 3 + 16 = 0
|O34 | = −3 + 18 + 0 + 0 − 3 − 12 = 0.
Quindi tutti gli orlati del terzo ordine hanno determinante nullo, mentre la sottomatrice di A4×4 del secondo ordine da cui siamo partiti ´e
non singolare.
Per il teorema di Kronecker il rando dalla matrice A4×4 ´e due.
Se per il calcolo del rango della matrice avessimo applicato il metodo
delle sottomatrici, avremmo dovuto calcolare il determinante delle 16
sottomatrici del 3◦ ordine estraibili da A4×4 .
22
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
7. Orlati di una sottomatrice quadrata
Esempio 7.3
Si consideri la matrice


2 1 −2
3
 2 1 −1
1 



B5×4 =  4 2 −3 −3 

 3 1 −4
3 
7 0 −5
1
determinarne il rango col teorema di Kronecker.
Sia B2 la sottomatrice quadrata di ordine 2 ottenuta considerando le
prime 2 righe e le prime due colonne di B
2 1 = −2 − 2 = 0.
|B2 | = 2 1 Questa sottomatrice ´e singolare quindi non possiamo sceglierla per
applicare il teorema di Kronecker.
Sia allora B2 la sottomatrice di B ottenuta dall’intersezione degli
elementi della 1◦ e 2◦ riga con quelli della 2◦ e 3◦ colonna
1 −2 = −1 + 2 = 1.
|B2 | = 1 −1 Questa sottomatrice `e non singolare, e quindi rank(B5×4 ) ≥ 2.
` possibile orlare B2 in B5×4 in (5 − 2)(4 − 2) = 6 modi.
E
Costruiamo tutti gli orlati del terzo ordine.






2
1 −2
1 −2
3
2
1 −2
1 −1  ; O32 =  1 −1
1  ; O33 =  2
1 −1  ;
O31 =  2
4
2 −3
2 −3 −3
3
1 −4






1 −2
3
2
1 −2
1 −2
3
1  ; O35 =  2
1 −1  ; O36 =  1 −1
1 .
O34 =  1 −1
1 −4
3
7
0 −5
0 −5
1
|O31 | = 0 perch`e la terza riga `e la somma delle prime due (vedi
propriet`a dei determinanti).
|O32 | = 3 − 4 − 9 − [−6 − 3 + 6] = −10 + 3 = −7 6= 0.
Ed allora rank(B5×4 ) ≥ 3. Potrebbe essere al pi`
u pari a 4.
2
` possibile orlare
A partire da O3 si riapplica il teorema di Kronecker. E
2
◦
◦
◦
◦
O3 in due modi (4 riga 1 colonna e 5 riga 1 colonna).
I due orlati sono



2 1

2 1
O41 = 
 4 2
3 1
2 1
−2
3


−1
1  2  2 1
;O =
−3 −3  4  4 2
−4
3
7 0
−2
3
−1
1 

−3 −3 
−5
1
Il determinante |O41 | = 7 6= 0 (i calcoli relativi all’applicazione del I
teorema di Laplace si lasciano come esercizio allo studente).
Tale risultato ´e sufficiente per poter dire che rank(B5×4 ) = 4.
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
23
8. Operazioni elementari sulle matrici
8. Operazioni elementari sulle matrici
Teorema 8.1 (Operazioni elementari). Sia An una matrice quadrata di ordine n e sia Bn una matrice dello stesso ordine ottenuta da
An tramite una delle seguenti operazioni per riga.
(1) Scambiare la i-esima riga con la j-esima riga.
(2) Moltiplicare la i-esima riga per α 6= 0.
(3) Sommare all’i-esima riga α volte la j-esima riga.
Allora il determinante di Bn , |Bn | `e dato da:
(1) |Bn | = −|An |.
(2) |Bn | = α|An |.
(3) |Bn | = |An |.
I risultati di tale teorema valgono anche se tali operazioni sono applicate
alle colonne di An e sono conseguenza delle propriet´a dei determinanti.
L’utilit´a di tali operazioni sta nella possibilit´a di utilizzarle per trasformare la matrice iniziale in una matrice triangolare, il cui determinante
`e di facile calcolo.
Il processo che, tramite operazioni elementari, trasforma una matrice
qualsiasi in una triangolare `e detto risoluzione di Gauss.
Il processo che, tramite operazioni elementari, trasforma una matrice
(con determinante diverso da zero) in una identit´a `e detto Risoluzione
di Gauss-Jordan.
I due processi sono mostrati rispettivamente negli esercizi 8.1 e 8.2.
24
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
8. Operazioni elementari sulle matrici
Esempio 8.1
Calcolare il determinante della seguente matrice


2 1 −1
An =  3 −1 2  .
0 1
1
Non `e possibile stabilire a priori quale operazione elementare ci condur`a pi`
u facilmente ad una matrice triangolare. E’ necessario un po’
di intuito e di esperienza. Per esempio si scambi la riga 2 con la riga
3, pertanto
2 1 −1 2 1 −1 3 −1 2 = − 0 1
1 .
0 1
3 −1 2 1 Il nostro prossimo obiettivo `e di trasformare gli elementi a31 e a32 in
zeri. Conviene sempre iniziare a trasformare gli elementi da sinistra.
Consideriamo quindi l’elemento a31 = 3. Possiamo trasformare questo
elemento in 0 sommando alla terza riga della matrice α volte la prima
riga con α tale che αa11 + a31 = 0. Quindi α = −3/2. Questa
trasformazione non altera il valore del determinante. Quindi:
2 1 −1 1 .
|A| = − 0 1
0 −5 7 2
2
Non resta quindi che annullare l’elemento a32 = −5/2. Per far questo
conviene modificare la riga 3 usando solo la riga 2, in modo da non
alterare il valore di a31 = 0. Si potrebbe procedere come in precedenza
e sommare alla riga 3 β volte la riga 2 con β tale che βa22 + a32 = 0.
Il valore di β cercato ´e β = 2/5. Per mantenere l’uguaglianza il
determinante di A andr`a moltiplicato per 1/β = 5/2. Otteniamo
2 1 −1 5
1 .
|A| = − 0 1
2 0 −1 7 5
Sommando, a questo punto, alla riga 3 la riga 2 non si altera il
valore del determinante e si ottiene il risultato desiderato, ovvero una matrice triangolare di cui sappiamo calcolare facilmente il
determinante
2 1 −1 5 5
12
|A| = − 0 1 1 = − · 2 · 1 ·
= −12.
2 0 0 12 2
5
5
Si osservi che, tramite ulteriori operazioni per riga, `e possibile trasformare la matrice triangolare appena trovata in una matrice identit`a se,
come nel nostro caso, il determinante risulta diverso da 0. I passaggi
sono mostrati nell’esercizio successivo.
D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio
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8. Operazioni elementari sulle matrici
Esempio 8.2
Sia data la matrice triangolare A3 dell’esercizio precedente
2 1 −1 5
|A| = − 0 1 1 .
2 0 0 12 5
Indichiamo con Ri la riga i-esima della matrice. Abbiamo
2 1 −1 R1 − R2
2 0 −2 R1 + 5 R3
6
=
=
− 25 0 1 1 |A| = − 52 0 1 1 0 0 12 0 0 12 5
5
2 0
5
= −2 0 1
0 0
0
1
12
5
R2 − 5 R3
2 0
12
5
=
− 2 0 1
0 0
1 0 0
12 5
= −2 · 2 · 5 0 1 0
0 0 1
1 0 0
= −12 · 0 1 0
0 0 1
0
0
12
5
R1 · 1
2
=
R3 · 5
12
= −12 · |I3 | = −12,
visto che il determinante della matrice identit`a `e pari a 1.
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D. Provenzano, M. Tumminello e A. Consiglio