Transcript Soluzioni - Dipartimento di Matematica

Universit`
a degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Tutorato di GE220
A.A. 2013-2014 - Docente: Prof.ssa Lucia Caporaso
Tutore: Enrica Gonzalez
Soluzioni Tutorato 4 (11 Marzo 2014)
1. Sia X uno spazio topologico discreto e {xn } una successione in X. Verificare che {xn } converge in
X ⇔ {xn } `e definitivamente costante.
Soluzione:
Ricordiamo che una successione {xn } converge ad un punto x ∈ X ⇔ per ogni intorno N ⊆ X di
x esiste un n ∈ N tale che xn ∈ N per ogni n ≥ n.
(⇒): Nella topologia discreta un sottoinsieme della forma {x} `e un intorno di x, dunque se xn
converge ad x ⇒ ∃ n ∈ N tale che xn ∈ {x} per ogni n ≥ n ⇒ xn = x definitivamente.
(⇐): Viceversa, se la successione `e definitivamente costante, allora esiste n ∈ N tale che xn = x per
ogni n ≥ n. Ma allora la successione converge ad x ∈ X poich´e per ogni intorno U di x si ha che
xn = x ∈ U , se n ≥ n.
2. Si consideri l’insieme R dei numeri reali. Sia T la famiglia di sottoinsiemi di R definita come
T := {∅, R} ∪ {(−a, a)|a ∈ R+ } ⊂ P(R).
(a) Si dimostri che T `e una topologia su R.
(b) Esibire una base numerabile per T .
(c) Determinare, in (R, T ) gli eventuali limiti della successione { n1 }n∈N+ .
(d) Dire se (R, T ) `e uno spazio T1 e/o di Hausdorff.
(e) Si dimostri che (R, T ) non `e omeomorfo a (R, is ), dove is := {∅, R} ∪ {(−∞, a)|a ∈ R} `e la
topologia degli aperti illimitati a sinistra.
Soluzione:
(a) T `e una topologia, infatti:
• ∅, R ∈ T ;
• Sia I un insieme diSindici e ai ∈ R+ per ogni i ∈ I. Sia s := supi∈I {ai } (eventualmente
s = +∞). Allora: i∈I (−ai , ai ) = (−s, s) ∈ T ;
• (−a, a) ∩ (−b, b) = (−min{a, b}, min{a, b}) ∈ T .
(b) Come esempio di base numerabile si pu`o considerare B := {(−q, q)|q ∈ Q+ }. Infatti ogni
elemento di B `e chiaramente un aperto; inoltre, essendo Q numerabile B `e numerabile. Per
concludere, B `e una base poich´e dato (−a, a) ∈ T (eventualmente a = +∞) e preso x ∈ (−a, a)
allora esiste q ∈ Q+ tale che |x| < q ≤ a, e dunque x ∈ (−q, q) ⊆ (−a, a).
(c) La successione { n1 }n∈N+ converge ad ogni punto di R. Infatti, sia x ∈ R; ogni intorno di x
contiene per definizione un aperto che contiene x, ovvero un insieme della forma (−a, a) con
|x| < a. Ma allora per ogni n > a1 si ha che n1 < a ovvero n1 ∈ (−a, a). Quindi limn→+∞ n1 = x.
(d) R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) che non `e aperto, dato che ogni aperto di T (tranne l’insieme
vuoto) contiene lo zero. Perci`
o {0} non `e un chiuso e quindi (R, T ) non `e uno spazio T1 . A
maggior ragione, (R, T ) non `e neanche uno spazio di Hausdorff.
(e) Supponiamo per assurdo che esista un omeomorfismo f : (R, T ) → (R, is ).
Allora (−∞, f (0)) ∈ is ⇒ f −1 ((−∞, f (0))) ∈ T . Ma poich´e f (0) ∈
/ (−∞, f (0)), allora
0 ∈
/ f −1 ((−∞, f (0))), dunque necessariamente deve esere vuoto visto che ogni aperto non
vuoto di T contiene lo zero. Ma questo `e assurdo perch´e avevamo supposto che f fosse un
omeomorfismo, ed in particolare deve essere biiettivo.
3. Dimostrare che se X `e uno spazio infinito con la topologia cofinita allora ogni successione costituita
da infiniti punti converge a qualsiasi punto dello spazio. Dimostrare che ci`o non `e vero se non si
suppone che la successione sia costituita da infiniti punti.
Soluzione: Sia x ∈ X ed A un intorno aperto di x. Allora A `e della forma A = X \ {a1 , . . . , at }. Sia
{xn } una successione costituita da infiniti termini; allora al pi`
u un numero finito t di elementi della
successione appartiene ad X \ A = {a1 , . . . , at }, e da un certo indice n in poi si avr`a che xn ∈ A.
Dunque x ∈ limn→+∞ xn .
Se invece si suppone che la successione sia costituita da un numero finito di punti, essi potranno
cadere tutti in X \ A, e dunque la successione non pu`o convergere ad x ∈ A.
4. Dare un esempio di uno spazio che sia T1 e soddisfi il primo assioma di numerabilit`a ma che non
sia T2 .
Soluzione:
Prendiamo un insieme X infinito e numerabile con la topologia cofinita. Allora X soddisfa il primo
assioma di numerabilit`
a, infatti un sistema fondamentale di intorni di x `e dato da K \ F, dove
F = {X \ F : x ∈ F `e finito} (`e numerabile poich´e X lo `e).
Inoltre `e T1 perch´e ogni punto `e chiuso ma non `e T2 poich´e due suoi aperti non sono mai disgiunti.
5. Dimostrare che la compattezza `e una propriet`a topologica.
a si dice topologica se `e invariante tramite omeomorfismo, cio`e se dato
Soluzione: Una propriet`
f : X → Y omeomorfismo X `e compatto se e solo se Y lo `e. Poich´e l’inverso di un omeomorfismo
`e ancora un omeomorfismo sar`
a sufficiente provare che se f : X → Y `e un omeomorfismo e X `e
compatto allora Y `e compatto. Il viceversa seguir`a considerando f −1 : Y → X.
Sia quindi f : X → Y un omeomorfismo con X compatto. Poich´e sappiamo che l’immagine tramite
una funzione continua di un compatto `e compatta ed f `e suriettiva segue che f (X) = Y `e compatto.
6. Stabilire se il disco aperto Dr (x) ⊂ Rn , con n ≥ 2 e x ∈ Rn , `e compatto; in caso contario esibire
un ricoprimento aperto di Dr (x) che non possiede un sottoricoprimento finito.
Soluzione: Il disco aperto Dr (x) non `e compatto, perch´e ad esempio il ricoprimento aperto U =
= {Dρ (x)|0 < ρ < r} non possiede un sottoricoprimento
finito. Se infatti si potesse estrarre un
S
sottoricoprimento finito, allora avremmo Dr (x) = 1≤i≤n Dρi (x), con Dρi (x) ∈ U . Ma ρn+1 < r,
quindi esiste y ∈ Dr (x) tale che y ∈
/ U.
7. Sia [a, b] un intervallo chiuso di R (con b ∈ R, a < b). Dire se [a, b] `e compatto rispetto alle topologie
E (euclidea), is (illimitati a sinistra), K (cofinita) , js (con base Bs = {(a, b], a, b ∈ R, a < b}) su R.
Soluzione: Innanzitutto osserviamo questo fatto: sia X uno spazio topologico e T , T 0 due topologie
su X, con T T 0 ; allora se C ⊂ X `e compatto in T 0 `e compatto anche in T , ma non vale in generale
il viceversa. Infatti potrebbero esserci in T 0 ricoprimenti composti da aperti che non appartengono
a T e che non possiedono un sottoricoprimento finito.
Ora, nel nostro caso abbiamo che [a, b] `e compatto in R con la topologia euclidea per Heine-Borel,
e di conseguenza anche in is e in K, poich´e is , K E. In js (che ricordiamo `e pi`
u fine di E) [a, b]
non `e compatto. Infatti {(a + n1 , b]}n≥1 `e un ricoprimento aperto di [a, b] che non possiede un
sottoricoprimento finito.
8. Sia X uno spazio topologico. Dimostrare o trovare un controesempio:
(a) L’unione di un numero finito di compatti `e compatto.
(b) L’unione numerabile di compatti `e un compatto.
Soluzione:
(a) Siano C1 , . . . , Cn sottoinsiemi compatti di X e sia C = C1 ∪ . . . ∪ Cn . Sia U un ricoprimento
aperto di C. Allora, per ogni i = 1, . . . , n esiste Ui sottoricoprimento finito di U che ricopre
Ci , e U1 ∪ . . . ∪ Un `e un sottoricoprimento finito di U che ricopre C. Dunque C `e compatto.
(b) Un’unione
S numerabile di compatti non `e in generale compatta, infatti se ad esempio consideriamo n≥1 [−n, n] ⊂ R non `e compatto in R poich´e non `e limitato.