Transcript Esponenziale e logaritmi

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CORSO DI PREPARAZIONE AI TEST DI AMMISSIONE ALL’UNIVERSITA’
Maria Teresa Cappagli
Esponenziale e logaritmi
Esponenziali
Si definisce espressione esponenziale una espressione in cui compaiono una o più
all’esponente:
la forma esponenziale ax volendo che sia definita per ogni x reale deve avere base a>0
Ricordiamo che :
an am = am+n
an : am ? am-n
(an)m = anm
a
m
n
n
am
I grafici delle funzioni esponenziali sono i seguenti
Poiché la funzione esponenziale è biunivoca possiamo affermare che se ax=ay allora x = y
questa proprietà è molto utile per risolvere le equazioni esponenziali.
1) E’ data l’espressione 2 x
A) 2, 2
B) 2
C) 4
D)
E)
2
16 . L’insieme di tutte le sue soluzioni reali è:
log 2 8
1
1
ln 16; ln 16
2
2
3) Si consideri la seguente equazione per i valori della variabile x
8
x
1
3
3x 1
2
42
incognite
2
L’equazione data ha :
A) quattro soluzioni
B) una soluzione
C) nessuna soluzione
D) due soluzioni
E) infinite soluzioni
2)Indicare tutti e soli i valori del parametro reale a per i quali il seguente sistema ammette soluzioni
reali nelle incognite x e y.
2x
3y
a
x
y
1
2
3
A) a>1
B)a 1
C)a>-1
D) a 1
E) ogni valore di a
Logaritmi
Definizione : logax= b
x = ab
cioè il logaritmo di un numero è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento
Proprietà:
dalla condizione che nell’esponenziale la base è positiva otteniamo anche che per il
logaritmo la base a deve essere positiva. inoltre non ha significato la scrittura log1x , quindi
la base di un logaritmo deve essere anche diversa da unologaxy = logax + logay
logax/y = logax - logay
logaxn= n loga x
log b x
logax =
log b a
I grafici delle funzioni logaritmiche sono i seguenti:
NOTA BENE. Queste proprietà sono applicabili se e solo se TUTTI gli argomenti sono positivi
3
QUESITI
1) L’espressione y = logbx significa che:
A)
B)
C)
D)
E)
y è l’esponente di una potenza in base b e di valore x
x è l’esponente da dare a b per ottenere y
x è la base di una potenza che vale y
x è il valore di una potenza di base y ed esponente b
x è l’esponente da dare a y per ottenere b
2) log 1 23 =
2
A) -3
B) 3
C) 3/2
D)-3/2
3) log 4 2342 =
A) 3/2
B) -1
C) 5
D) 7/2
4) log2160-log25=
A) log2155
B) log2165
C) 5
D) 32
5) log 1 93 =
3
A)-6
B)-5
C)-3/2
D)-2/3
6)l’equazione
log 1 x
16
A) x= -1/2
B) x = 4
1
4
ha soluzione
4
C) x= 2
D) x = ¼
E) x = ½
7) Quale dei seguenti numeri ha logaritmo in base 10 strettamente compreso tra 5 e 7?
A) 102 + 104
B) -10-6
C) 12345
D)107 -104
E) -106
8) L’espressione 7 2
A) 49x
B) 72+x
C) 49 + log7x
D) 49 log7x
E) 7x
log 7 x
è uguale a:
9) log159 + log15 25 =
A) log15 34
B) 2
C) -2
D) nessuna delle precedenti
10 ) se log4a=64 allora a =
A)
B)
C)
D)
16
644
464
1/16
11) log 1 163 =
4
A) -2/3
B)-3/2
C) -5
D) -6
12) log9(35 92) =
A)9/2
B) 7
C)-3
D) 5/2
5
13) Quale delle seguenti relazioni sussiste tra x = log23 e y = log32
A)
B)
C)
D)
x+y=0
x+y = 1
xy=0
xy=1
14)
Quale dei seguenti numeri è uguale a log5 125
A)
B)
C)
D)
E)
3/2
4/3
0
2
3
15) il logaritmo naturale di un numero compreso tra 1 ed e è:
A) minore di 0
B) compreso tra -1 e 0
C) compreso tra 0 e 1
D) maggiore di e
16) qual è la funzione inversa della funzione f(x) =log10
a) g(x) = 3 10 x 1
b) g(x) = 30x -1
c)g(X) = 3(10X -1)
d)g(x) = 3 10 x 1
x 1
?
3
6
Risposte ai quesiti
Esponenziali
1
A
2
A
3
C
Logaritmi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
A
D
C
A
E
D
A
B
C
C
A
D
A
C
D
7
Goniometria
Definizione di misura di un angolo in radianti:
un angolo misura un radiante se, considerata una qualsiasi circonferenza con centro nel vertice
dell’angolo, la misura dell’arco individuato dall’angolo coincide con il raggio,
ovvero la misura in radianti di una angolo è il rapporto tra la lunghezza dell’arco individuato
dall’angolo su una qualsiasi circonferenza di centro il vertice dell’angolo e il raggio stesso.
e’ facile calcolare allora la corrispondente misura in radianti degli anglo più noti:
misura in gradi misura in radianti
0°
0
30°
6
45°
4
60°
3
90°
2
180°
270°
3
2
360°
2
Seno, coseno sono funzioni periodiche di 360° - la tangente è una funzione periodica di
180°
cioè
sen( +k360°) = sen
cos( +k360° = cos
tg +k180°) = tg
con k numero relativo
il seno e il coseno di un angolo sono numeri compresi tra -1 e 1
8
Tabella dei valori delle principali funzioni goniometriche di angoli particolari:
angolo seno coseno
0°
0
1
30°
½
3
2
45°
2
2
2
2
½
60°
3
2
90°
1
0
180°
0
-1
270°
-1
0
360°
0
1
tangente
0
3
3
1
3
non è definita
0
non è definita
0
Principali formule della goniometria:
Formule fondamentali:
sen2 + cos2 = 1
tg =
sen
cos
Angoli associati:
sen(
) sen
cos( - ) = -cos
tg( - ) = -tg
sen( + ) = -sen
cos( + )=-cos
tg( + )=tg
sen(
- )=cos
sen(
- ) = sen
cos(
cos(
tg(
2
2
2
- ) = 1/tg
tg(
2
2
2
+ )= cos
+ ) = - sen
+ ) = -1/tg
sen(2 - ) = sen(- ) = - sen
cos( 2 - ) = cos(- ) = cos
tg(2 - ) = tg(-a) = - tg
9
Formule di somma e sottrazione
sen( + ) = sen cos +cos sen
cos( + ) = cos cos -sen sen
tg
tg
tg( + ) =
1 tg tg
sen( - ) = sen
cos( - ) = cos
tg
tg( - ) =
1 tg
cos – cos sen
cos + sen sen
tg
tg
Formule di duplicazione
sen2 = 2sen cos
cos2 = cos2 -sen2 ù
2tg
tg2 =
1 tg 2
Quesiti
1) Se x e y sono due angoli compresi tra 0° e 90° quale delle seguenti affermazione è vera?
a) sin(x+y) = sinx + siny
b) sin(x+y)
sin x + siny
c) sin(x+y) > sinx + siny
d) sin(x+y) sinx+siny
2) cos 120°-cos60° =
a) cos 60°
b) cos 180°
Nota: cos 120° = -cos60° = -1/2
c) 0
d) -1
10
3) tg(-120°) =
a)
1
3
b) -
1
3
c)
3
d) - 3
nota: è sufficiente applicare la relativa formula tra quelle degli angoli associati osservando che
tg(- 120) = -tg 120 = -tg ( 180-60) = - (-tg60) = tg 60 oppure utilizzando la periodicità della
tangente tg(-120) = tg(-120+180) = tg 60
4) tg300° =
a)
1
3
b) -
1
3
c)
3
d) -
1
3
5)si considerino le tre espressioni numeriche
I) log2(sin26 )
a)
b)
c)
d)
e)
II) log2 ( cos26 )
III) log2 ( tg26 )
la I ha significato e la II non ha significato
la I ha significato e la III non ha significato
la I e la II sono entrambe prive di significato
la I non ha significato e la II ha significato
la I e la II hanno entrambe significato
Nota: l’attenzione va posta sul fatto che il logaritmo di un numero deve avere argomento maggiore
di zero.
poiché il seno e la tangente di angoli multipli di è sempre zero la I sicuramente non ha significato
e lo stesso la III. Invece il coseno in tali angoli è 1 e si può calcolarne il logaritmo.
la risposta è la D
11
6) Il valore della somma
a) -1
b) 0
cos 40° + cos 140° é
c) irrazionale
d) negativo ma diverso da -1
e) positivo
Nota: osserviamo che 140 e 40 sono angoli supplementari perciò cos 140 ° = - cos 40°
7) se un angolo misura 15° la sua misura in radianti è:
a) maggiore di 1 rad
b) minore di ¼ rad
d) compredsa tra ¾ rad e 1 rad
c) compresa tra ¼ rad e ½ rad
e) compresa tra ½ rad e ¾ rad
Nota : è sufficiente risolvere la seguente proporzione 15° : 180° = x rad :
da cui x =
15
=
180
12
1
3
=
4 12
12
4 1
=
12 3
8) la condizione a cui deve soddisfare il parametro k affinché l’equazione
4senx = 3k
abbia soluzione è :
a) k
b)
4
3
c) k =
4
3
k
4
3
4
3
d) non c’è nessuna limitazione ai valori d k
e) k
4
3
12
9)e tg =
a)
3
3 e
b) -
3
3
,0
2
c) -
2
3
allora =
d) -
4
3
Nota:
l’intervallo indicato comprende il II , III e IV quadrante quindi l’unico in cui la tangente è positiva
è il terzo. L’angolo che appartiene a questo quadrante fra quelli suggeriti nelle risposte è quello
della risposta c.
10) per quali valori di x vale la relazione senx < sen2x?
a) x = 80° b) 250°
c) 350°
d) 170°
e) nessuno di questi
Nota: Sembra una equazione invece è un esercizio da fare come verifica.
E’ sufficiente determinare il quadrante al quale appartengono gli angoli e il loro doppio per vedere
che 250° è un angolo che ha estremo nel III quadrante per cui sen 250<0 mentre l’angolo di 500°
ha estremo nel II quadrante per cui il suo seno è un numero positivo
Risposte ai quesiti
quesito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
soluzione
B
D
C
D
D
B
C
B
C
B