Transcript Esercizi di Geometria 1, foglio 7 (dicembre 2014) 1. i) Per la matrice

Esercizi di Geometria 1, foglio 7 (dicembre 2014)
1. i) Per la matrice unitaria (a anche ortgonale)

1
0,
0

0 0

A= 1 0
0 1
trovare la forma normale unitaria (diagonale) di A, poi indicare anche la forma normale
ortogonale. La matrice A definisce una rotazione di R3 : qual’`e l’asse di questa rotazione?
Descrivere l’azione di A su R3 in modo geometrico.
ii) Per la matrice unitaria (ortogonale)
0
1
A=
0
0

0
0
1
0
0
0
0
1

1
0
,
0
0
trovare gli autovalori di A e la forma normale unitaria (diagonale) di A. Trovare una
matrice unitara S e la sua inversa tale che S −1 AS sia diagonale. Poi indicare anche la
forma normale ortogonale di A.
iii) Sia f : Cn → Cn l’automorfismo definito da f (e1 ) = e2 , f (e2 ) = e3 , . . . , f (en−1 ) =
en , f (en ) = e1 . Trovare la matrice A di f rispetto alla base standard (una matrice
unitaria), gli autovalori di f e la forma normale unitaria (diagonale) di A.
2. i) Per la matrice ortogonale (e allora unitaria)
A=
cos α
sen α
−sen α
cos α
,
trovare una matrice unitaria S e la sua inversa tale che S −1 AS `e diagonale (quale
matrice diagonale?).
ii) Per la matrice ortogonale
A=
cos α
sen α
sen α
−cos α
,
trovare una matrice ortogonale S e la sua inversa tale che S −1 AS `e una matrice diagonale. (Sia questa matrice diagonale sia A definiscono riflessioni in certe rette di R2 ;
paragonando, si puo trovare S subito in modo geometrico; poi si puo fare anche i conti
in modo algebrico come in i).)
3. i) Siano f, g : V → V endomorfismi di uno spazio vettoriale V che commutano
(f ◦ g = g ◦ f ). Sia Autf (λ) un autospazio di f . Dimostrare che g(Autf (λ)) ⊂ Autf (λ).
ii) Siano f, g : V → V automorfismi unitari di uno spazio unitario V di dimensione
finita che commutano. Utilizzando il teormea sulla forma normale per automorfismi
unitari, dimostrare che esiste una base ortonormale di V di autovettori communi di f e
di g (ovvero, f e g sono diagonalizzabili simultaneamente).
4. i) Data la matrice
1
0
A=
0
0

a
1
0
0
b
d
1
0

c
e
,
f
1
dare condizioni necessari e anche sufficienti per i coefficienti a, . . . , f tale che la forma
normale di Jordan di A ha un unico blocco di Jordan. Per questo caso, trovare una
matrice S del cambiamento di base tale che S −1 AS `e in forma normale di Jordan.
ii) Trovare la forma normale di Jordan della matrice

1 a

A= 0 1
0 0

1
b
1
(in dipendenza dai parametri a e b). Poi trovare la matrice del cambiamento di base in
ogni caso.