Transcript 23) Spin - antonio.zanasi.com

Spin - Wikipedia
Pagina 1 di 7
Spin
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In meccanica quantistica lo spin (letteralmente "giro
vorticoso" in inglese) è una grandezza, o numero quantico,
associata alle particelle, che concorre a definirne lo stato
quantico.
Lo spin è una forma di momento angolare, avendo di tale
entità fisica le dimensioni e, pur non esistendo una grandezza
corrispondente in meccanica classica, per analogia richiama
la rotazione della particella intorno al proprio asse (viene
anche definito come "momento angolare intrinseco"). A
differenza degli oggetti macroscopici però, per i quali il
momento angolare è associato alla massa, per lo spin questa
non è richiesta: ad esempio i fotoni, che hanno massa a riposo
zero, o particelle elementari come gli elettroni, che sono
considerate puntiformi, possiedono uno spin.[2][3] Inoltre,
contrariamente alla rotazione classica, nel caso di valore semi
-intero lo spin viene descritto da un oggetto a due componenti
(spinore) anziché da un vettore, rispetto al quale si trasforma
ruotando le coordinate con un procedimento differente.
Lo spin non è previsto dalla meccanica quantistica non
relativistica, dove è introdotto come grandezza ad hoc; è
invece previsto dalla versione relativistica tramite l'equazione
di Dirac.
Padre e Madre della serie Famiglia
Spin (2009) dello scultore ed ex fisico
Julian Voss-Andreae. I due oggetti
raffigurati illustrano le geometrie di un
oggetto con spin 5/2 (il “maschio” blu
sulla sinistra) e di un oggetto con spin
2 (la “femmina” rosa sulla destra). La
Famiglia Spin, in mostra
nell'esposizione d'arte "Quantum
Objects", paragona in modo scherzoso
i fermioni al genere maschile e i
bosoni al genere femminile,
immaginando i primi oggetti con spin
½, 1, 3/2, 2 e 5/2 come una famiglia di
cinque persone[1].
Indice
1 Storia
2 Spin e funzione d'onda
3 Spin come momento angolare
4 Caso di spin ½
4.1 Formalismo a due componenti di Pauli
4.2 Composizione di due spin ½
5 Applicazioni
6 Note
7 Bibliografia
8 Voci correlate
9 Collegamenti esterni
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin
30/01/2014
Spin - Wikipedia
Pagina 2 di 7
Storia
Lo spin venne scoperto nel contesto dell'emissione spettrale dei metalli alcalini. Nel 1924, Wolfgang
Pauli (probabilmente il più influente fisico nella teoria dello spin) introdusse ciò che chiamò un
"grado di libertà quantico a due valori" associato con gli elettroni del guscio esterno. Questo permise
di formulare il principio di esclusione di Pauli, che stabiliva che due elettroni non possono
condividere gli stessi valori quantici.
L'interpretazione fisica del "grado di libertà" di Pauli era inizialmente sconosciuta. Ralph Kronig,
uno degli assistenti di Alfred Landé, suggeri, agli inizi del 1925, che venisse prodotto dall'autorotazione degli elettroni. Quando Pauli venne a conoscenza dell'idea, la criticò severamente, notando
che l'ipotetica superficie dell'elettrone avrebbe dovuto muoversi più velocemente della velocità della
luce per poter ruotare abbastanza rapidamente da produrre il necessario momento angolare,
contravvenendo così alla teoria della Relatività.
Nell'autunno dello stesso anno, lo stesso pensiero venne a due giovani fisici olandesi, George
Uhlenbeck e Samuel Goudsmit. Su consiglio di Paul Ehrenfest, pubblicarono i loro risultati, che
incontrarono una risposta favorevole, specialmente dopo che L.H. Thomas riuscì a risolvere una
discrepanza tra i risultati sperimentali e i calcoli di Uhlenbeck e Goudsmit (e quelli non pubblicati di
Kronig). Questa discrepanza era dovuta alla necessità di prendere in considerazione l'orientamento
della microstruttura tangente all'elettrone, in aggiunta alla sua posizione. L'effetto aggiunto dalla
tangente è additivo e relativistico (ovvero svanisce se c va all'infinito); è pari a un mezzo del valore
ottenuto se non si considera l'orientamento dello spazio tangente, ma con segno opposto. Quindi
l'effetto combinato differisce da quest'ultimo per un fattore due (precessione di Thomas).
Nonostante le sue obiezioni iniziali, Pauli formalizzò la teoria dello spin nel 1927, usando la
moderna teoria della meccanica quantistica, proposta da Erwin Schrödinger e Werner Karl
Heisenberg. Egli introdusse l'uso delle matrici di Pauli come rappresentazione degli operatori di spin,
e una funzione d'onda a due componenti (spinore).
La teoria di Pauli era non-relativistica. Comunque, nel 1928, Paul Dirac pubblicò l'equazione di
Dirac, che descriveva l'elettrone relativistico. Nell'equazione di Dirac, uno spinore a quattro
componenti, conosciuto come spinore di Dirac, veniva usato per la funzione d'onda dell'elettrone.
Nel 1940, Pauli provò il teorema spin-statistica, che enuncia che i fermioni hanno spin semi-intero e
i bosoni spin intero.
Spin e funzione d'onda
Lo spin posseduto da ogni particella ha un valore s fissato che dipende solo dal tipo di particella e
che non può essere alterato in nessun modo. Inoltre, il teorema dello spin statistico enuncia che le
particelle con spin intero (i fotoni con spin=1 o l'ipotetico gravitone con spin=2) corrispondono ai
bosoni, e le particelle con spin semi-intero (spin=½ per elettroni, neutrini, quark) corrispondono ai
fermioni.
Per le particelle che possiedono spin la descrizione dello stato attraverso la funzione d'onda deve
poter determinare anche la probabilità che lo spin della particella abbia un valore determinato se
viene misurato, cioè abbia una direzione stabilita nello spazio. La funzione d'onda che descrive uno
comprende sia le variabili spaziali che di spin e si scrive:
stato
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin
30/01/2014
Spin - Wikipedia
Pagina 3 di 7
In accordo con l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda, il modulo quadro della funzione
d'onda:
rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione
dello spin . Pertanto
rappresenta la probabilità che la particella abbia posizione
normalizzazione si scrive:
con valore determinato
con spin determinato. La condizione di
Spin come momento angolare
Per approfondire, vedi momento angolare orbitale.
Quando vengono applicati alla rotazione spaziale, i principi della meccanica quantistica enunciano
che i valori osservati del momento angolare (autovalori dell'operatore del momento angolare) sono
ristretti a multipli interi o semi-interi di ħ (costante di Planck ridotta). Questo vale anche per lo spin:
essendo un momento angolare, esso possiede tutte le proprietà del momento angolare, e la trattazione
matematica sarà analoga.
L'operatore di spin viene indicato con il simbolo
sono:
dove
, e le relazioni di commutazione fondamentali
.
Dal momento che
e
commutano, essi hanno gli stessi autostati, che indichiamo con
,
dove si è scelta la componente lungo z perché possiamo sempre scegliere di porci con il sistema di
riferimento in modo opportuno. È possibile quindi scrivere le equazioni agli autovalori:
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin
30/01/2014
Spin - Wikipedia
Pagina 4 di 7
Dove s è un numero non negativo intero o semi-intero che può assumere i valori 0, ½, 1, 3/2, 2, ecc.
e: i valori -s, - s+ 1, ..., s-1, s, cioè ha 2s+1 valori.
Caso di spin ½
Per approfondire, vedi matrici di Pauli.
Il caso più importante è quello in cui il numero quantico di spin è ½, caratteristico di tutti i fermioni
conosciuti: una interpretazione intuitiva e semplicistica dello spin ½ è immaginare l'elettrone in
rotazione su un nastro di Möbius e che quindi ritrova la sua posizione dopo una rotazione di 720
gradi. Con spin 0 l'elettrone manterrà sempre la stessa direzione di rotazione mentre con spin 1 la
ritroverà dopo 360 gradi. Analogamente spin 3/2 dopo 240 gradi e spin 2 dopo 180 gradi.
Nel caso di spin ½ gli autovalori e valgono rispettivamente ½ e ±½, e dall'equazione agli
autovalori si trovano immediatamente le espressioni dei relativi operatori
e :
Per costruire le altre componenti si introducono, in analogia col momento angolare, gli operatori di
innalzamento e abbassamento:
che hanno espressione matriciale:
i quali innalzano o abbassano di
espressioni di
e :
l'autovalore di
. Dalla definizione di
si ottengono le
Si ottiene quindi che gli operatori di spin si scrivono:
dove
sono le matrici di Pauli.
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin
30/01/2014
Spin - Wikipedia
Pagina 5 di 7
Formalismo a due componenti di Pauli
Scelti come vettori di base nel caso di spin ½ i vettori
con i rispettivi bra di base:
per un vettore di stato arbitrario
si ha:
Si possono introdurre gli spinori di rango 2 come:
Composizione di due spin ½
Per approfondire, vedi Composizione di momenti angolari.
Se si vogliono combinare due momenti angolari di spin si definisce il momento di spin totale:
Vi sono quattro configurazioni possibili per la coppia di spin, una con
e
, detta
singoletto, e tre con
e componenti lungo l'asse z rispettivamente
, dette
tripletto. Il singoletto è caratterizzato da una funzione d'onda antisimmetrica e corrisponde allo stato:
Il tripletto è caratterizzato da una funzione d'onda simmetrica e corrisponde agli stati:
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin
30/01/2014
Spin - Wikipedia
Pagina 6 di 7
Applicazioni
In generale l'introduzione dello spin non agisce sulle variabili spaziali e quindi tutte le informazioni
relative ai moti unidimensionali e tridimensionali non vengono modificate: semmai lo spin introduce
una variabile interna al sistema e questa informazione in più si aggiunge alle informazioni sugli stati.
L'effetto dello spin tuttavia si fa sentire notevolmente quando si vogliono trattare i casi più realistici:
nella struttura fine l'interazione di spin-orbita mette in evidenza l'accoppiamento tra il momento
magnetico del momento angolare e quello legato allo spin.
Gli effetti dello spin sono legati a molti fenomeni quali:
■ l'effetto Stark, nel quale la dipendenza dallo spin è legata alla modifica dei livelli energetici
degli atomi per opera di un campo elettrico uniforme
■ l'effetto Zeeman, soprattutto quello denominato anomalo per gli effetti sui livelli energetici
degli atomi quando sono sottoposti ad un campo magnetico uniforme; qui la dipendenza dallo
spin è notevole essendo esso legato alle proprietà magnetiche degli atomi
■ l'effetto Paschen-Back, per campi magnetici molto intensi.
Un'altra possibile applicazione dello spin è quella di portatore di informazione binaria in uno spin
transistor. L'elettronica basata sugli spin transistor è chiamata spintronica.
Anche l'informatica quantistica, in alcune sue versioni, potrebbe basarsi sullo spin per realizzare un
qubit.
Note
1. ^ Ball, Philip (novembre 2009). Quantum objects on show
(http://www.nature.com/nature/journal/v462/n7272/pdf/462416a.pdf). Nature 462 (7272): 416.
DOI:10.1038/462416a (http://dx.doi.org/10.1038/462416a). URL consultato in data 12 gennaio 2009.
2. ^ Rolla, op. cit., p. 27
3. ^ Questo nel modello quantistico classico. Quando alle particelle elementari viene attribuita
un'estensione, come nella teoria delle stringhe, il concetto di spin diventa più intuitivo.
Bibliografia
■ Luigi Rolla, Chimica e mineralogia. Per le Scuole superiori, 29ª ed., Dante Alighieri, 1987.
■ Feynman, R.P., QED: La strana teoria della luce e della materia, Adelphi, ISBN 88-459-0719
-8
■ Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg, Photons and Atoms:
Introduction to Quantum Electrodynamics (John Wiley & Sons 1997) ISBN 0-471-18433-0
■ Jauch, J. M., F. Rohrlich, F., The Theory of Photons and Electrons (Springer-Verlag, 1980)
■ Feynman, R. P. Quantum Electrodynamics. Perseus Publishing, 1998. ISBN 0-201-36075-6
■ Luciano Maiani Omar Benhar Meccanica Quantistica Relativistica
(http://chimera.roma1.infn.it/OMAR)
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin
30/01/2014
Spin - Wikipedia
Pagina 7 di 7
Voci correlate
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
Matrici di Pauli
Molteplicità di spin
Momento angolare totale
Momento angolare orbitale
Composizione di momenti angolari
Bosone (fisica)
Fermioni
Magnone (fisica)
magnonica
spintronica
ghiaccio di spin
Vite(aeronautica)
Collegamenti esterni
■ Spin (http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=7466) in «Tesauro del Nuovo Soggettario
(http://thes.bncf.firenze.sbn.it/)», BNCF, marzo 2013.
■ Marcello Ciafaloni Complementi di Fisica Teorica: Introduzione alla teoria dei campi
(http://www3.unifi.it/clfisi/upload/sub/laurea_specialistica/dispense/CFT_Intro.pdf)
(Università di Firenze)
■ Roberto Casalbuoni Elettrodinamica Quantistica
(http://theory.fi.infn.it/casalbuoni/elettrodinamica.pdf) (Università di Firenze)
■ Roberto Casalbuoni Teoria dei campi: Storia e Introduzione
(http://theory.fi.infn.it/casalbuoni/filosofia.pdf) (Università di Firenze, 2001)
■ The Dirac Equation (http://www.mathpages.com/home/kmath654/kmath654.htm) at
MathPages
■ The Nature of the Dirac Equation, its solutions and Spin
(http://www.mc.maricopa.edu/~kevinlg/i256/Nature_Dirac.pdf)
■ Dirac equation for a spin ½ particle (http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm)
■ Pedagogic Aids to Quantum Field Theory (http://www.quantumfieldtheory.info) click on
Chap. 4 for a step-by-small-step introduction to the Dirac equation, spinors, and relativistic
spin/helicity operators.
Portale Meccanica quantistica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Meccanica
quantisticaNumeri quantici Spintronica | [altre]
Categorie:
■ Questa pagina è stata modificata per l'ultima volta il 28 gen 2014 alle 10:01.
■ Il testo è disponibile secondo la licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso
modo; possono applicarsi condizioni ulteriori. Vedi le Condizioni d'uso per i dettagli.
Wikipedia® è un marchio registrato della Wikimedia Foundation, Inc.
http://it.wikipedia.org/wiki/Spin
30/01/2014