Transcript Teoria di Yang - Mills

TEORIA DI YANG – MILLS E IL GAP DI MASSA
COME PROBLEMA DEL MILLENNIO
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show our think about “Yang – Mills’ Theory
as Millenium’s Problem
Riassunto
In questo breve lavoro divulgativo mostriamo le nostre
considerazioni sulla congettura di Yang – Mills come uno
dei sei Problemi del Millennio rimasti ancora insoluti.
Premessa
(comune a tutti i sei problemi del millennio)
Premettiamo che tre dei problemi del millennio ( Ipotesi di Riemann,
P = NP limitatamente al problema della fattorizzazione connessa alla
crittografia RSA , e Congettura di Birch e Swinnerton – Dyer
connessa alla crittografia ECC sulle curve ellittiche) hanno in comune
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i numeri primi e loro problemi ; mentre gli altri tre (congettura di
Hodge, Teoria di Yang – Mills con il gap di massa e le Equazioni di
Navier – Stokes) hanno in comune il difficile passaggio matematico ,
nelle rispettive equazioni, a dimensioni superiori, rispettivamente ad
infinite dimensioni, a quattro e a tre, per poterle risolvere. Ne
parleremo più in dettaglio nei rispettivi lavori in programma per
quest’anno: “I pezzi del puzzle – Le equazioni di Navier Stokes” e
titoli simili per gli altri due problemi. Non conterranno la soluzione
definitiva, ma soltanto un dossier di formule e argomenti matematici
utili a chi, bravo dilettante o professionista matematico che sia,
italiano o straniero, voglia cimentarsi nell’impresa di dimostrarne
qualcuno, possibilmente e sperabilmente, utilizzando il relativo dossier
tra quelli che prepareremo su ognuno dei problemi, mettendo al loro
posto i pezzi del puzzle proposti per risolverli .
Intanto vediamo le possibili connessioni tra di loro:
Connessioni tra tutti e sei i problemi del millennio e le teorie di stringa
Tre di essi sono basati sui numeri primi, gli altre tre su
problemi matematici n - dimensionali, e tutti connessi anche
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con le stringhe come possibile interfaccia matematica tra i due
tipi di problemi.
Il percorso da noi individuato è il seguente:
Numeri primi – numeri di Lie – gruppi di Lie –Simmetrie teorie di stringhe – dimensioni spaziali – relativa matematica –
soluzioni dei problemi.
Per esempio, si pensa che un particolare gruppo simmetrico
di Lie potrebbe risolvere la congettura di Yang – Mills.
Schema riepilogativo generale:
Ipotesi di Riemann
Funzione zeta e
Ipotesi di Birch e
Swinnerton – Dyer
Crittografia RSA
↓
Problema P = NP
(sottoproblema: fattorizzazione)
Numeri congruenti e
Crittografia ECC
↓
Ipotesi percentuale
e teorema fondamentale
della fattorizzazione veloce
↓
Numeri primi
↓
Equazione della geometria proiettiva e numeri di Lie
Gruppi di Lie e simmetrie in teoria di stringa
Numeri di Fibonacci e teorie di stringa
Infiniti triangoli di Tartaglia e infiniti ipercubi n-dimensionali
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Equazioni di Navier - Stokes e 3° dimensione
↑
(4° dimensione)
↓
Teorie di stringa
↑
(infinite dimensioni)
(3° dimensione)
Teoria di Yang – Mills Congettura di Hodge Equazioni di Navier -Stokes
I gruppi di Lie sono importanti per questo Problema, poiché Witten
lo ha brevemente formulato con
“Dimostrare l’esistenza del gap di massa della teoria quantistica
di Yang-Mills su R4, con il gruppo di gauge G di Lie, non
abeliano, semplice e compatto” .
Per la congettura di Poincarè, ormai risolta dal matematico russo
Grigory Perelmann, ma che ha rifiutato il milione di dollari in palio,
osserviamo brevemente che si trattava anche qui di un problema n –
dimensionale, con passaggio matematico dalla terza alla quarta.
Da K. Devlin “I problemi del millennio,, Longanesi & C. Editore,
pag. 19:
“ …D’altra parte, se immaginate che lo stesso elastico sia stato teso in modo
appropriato intorno ad una ciambella, allora non c’è modo di ridurlo a un punto
senza rompere l’elastico o la ciambella. Sorprendentemente, nessuno è stato in
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grado di rispondere a chi si chiede se la stessa idea dell’elastico che si contrae
possa servire a distinguere gli analoghi quadridimensionali di mele e ciambelle –
ed era proprio questo che interessava a Poincarè. La sua congettura afferma
che l’idea dell’elastico effettivamente identifica mele quadridimensionali…”
L’evidenza in rosso è nostra, per sottolineare il filo rosso
iperdimensionale anche in questo ormai ex-problema del
millennio, ma comune anche agli altri tre problemi di tipo
fisico ancora irrisolti. Tenendo in dovuta e competente
considerazione tale filo rosso da noi individuato, si potrebbe
avere qualche lume in una possibile futura dimostrazione di
almeno uno di essi, o di tutti e tre nel migliore dei casi.
Un accenno alle dimensioni superiori, coinvolte in quasi tutti i
Problemi del Millennio, lo citiamo dal libro di Keith Devlin “I
problemi del Millennio”Longanesi &C. (Rif.1), al quale
rimandiamo (e anche al Rif. 3 e al Rif. 4) per tutto il resto
riguardante tutti i problemi del Millennio, in particolare Yang
– Mills e congettura di Hodge (pag. 126):
“”... Il secondo problema del Millennio include una versione
matematica, formulata con precisione, della prime delle due, - ovvero,
dell’ipotesi del gap di massa: in particolare, il risolutore del secondo
problema del Millennio dovrà dimostrare che:
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per ogni gruppo di gauge semplice e compatto, le equazioni di Yang –
Mills quantistico nello spazio euclideo quadri-dimensionali hanno una
soluzione che prevede un gap di massa.
Cominciamo da Wikipedia :
Teoria quantistica di Yang-Mills (Rif.2)
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
(Reindirizzamento da Teoria di Yang-Mills)
Teoria quantistica dei campi
Diagramma di Feynman
Storia della teoria quantistica dei
campi
[mostra]Background
[mostra]Simmetria in fisica
[mostra]Strumenti
[mostra]Equazioni
[mostra]Modello standard
[mostra]Teorie incomplete
[mostra]Scienziati
Questo box: vedi • disc. • mod.
La teoria di Yang-Mills è una teoria di gauge basata sul gruppo SU(N).
È stata formulata da Chen Ning Yang e Robert Mills nel 1954[1], allo scopo di estendere il concetto
originale di teoria di gauge per un gruppo abeliano, come è l'elettrodinamica quantistica, al caso di
un gruppo non abeliano, in modo da fornire una formulazione invariante delle interazioni forti.
L'idea inizialmente non ebbe successo poiché per mantenere l'invarianza di gauge i quanti del
campo di Yang-Mills dovevano essere privi di massa, e di conseguenza avere effetto a lunga
distanza, cosa che non corrisponde alle evidenze sperimentali. Perciò la teoria fu accantonata fino
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all'inizio degli anni sessanta, quando fu introdotta, inizialmente da Jeffrey Goldstone, Yoichiro
Nambu e Giovanni Jona-Lasinio, l'idea di rottura spontanea di simmetria, grazie alla quale le
particelle teoricamente non massive acquistano massa in modo compatibile con l'invarianza di
gauge.
Questo implicò una significativa ripartenza degli studi della teoria di Yang-Mills, che si dimostrò di
successo nella formulazione sia dell'interazione elettrodebole che della cromodinamica quantistica
(QCD). La QCD è descritta dal gruppo SU(3), mentre la teoria elettrodebole è stata ottenuta
combinando SU(2) con U(1) (che è appunto il gruppo che descrive l'elettrodinamica quantistica),
così da ottenere il campo fotonico.
Il Modello Standard combina le interazioni forte, debole ed elettromagnetica attraverso il gruppo di
simmetria SU(2)xU(1)xSU(3). L'interazione forte non è al momento unificata con le altre due, ma
in un esperimento effettuato al LEP si è dimostrato che le costanti di accoppiamento convergono ad
un unico valore ad alte energie, assumendo che valga una simmetria di ordine superiore come la
supersimmetria.
La fenomenologia alle basse energie della cromodinamica quantistica non è inclusa in modo
completo nel Modello standard a causa delle difficoltà nel trattare tale teoria con forte
accoppiamento. Perciò il confinamento non è dimostrato teoricamente, ma solo visto negli
esperimenti. Questo è un problema matematico di grande rilevanza, tanto che è stato proposto
un premio dall'Istituto Matematico Clay a chiunque riesca a dimostrare che la teoria di YangMills ha una massa minima non nulla nello spettro a basse energie.
Conclusioni
Concludiamo brevemente con la speranza che con questo
lavoro divulgativo, i lettori appassionati di matematica e in
particolare di Problemi del Millennio, soprattutto giovani e
volenterosi ricercatori, possano fare qualche, anche piccolo,
passo avanti nella direzione di una dimostrazione risolutiva di
questo particolare problema noto come “gap di massa”.
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Riferimenti
1) Libro di Keith Devlin “I problemi del Millennio”,
Longanesi &C
2) Wikipedia, “Teoria quantistica di Yang – Mills”, con
accenno finale al relativo problema del millennio:
Questo è un problema matematico di grande rilevanza, tanto che è stato proposto un premio
dall'Istituto Matematico Clay a chiunque riesca a dimostrare che la teoria di Yang-Mills ha una
massa minima non nulla nello spettro a basse energie.
3) Congettura di Yang e Mills o del “gap di massa”
ing.Rosario Turco , prof. Maria Colonnse
sul sito www.rudimathematici.com/blocknotes/pdf/RTYM.pdf
4)”I grandi problemi della matematica” di Ian Stewart,
Einaudi
5) Tutti gli articoli, singoli o cumulativi, sugli altri “Problemi
del Millennio (Ipotesi di Riemann, P vs NP, congettura di
Birch e Swinnerton – Dier) pubblicati già su questo nostro
sito, e relativi riferimenti finali .
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