Transcript Accelerazione di gravità

CONOSCENZE RICHIESTE
MATEMATICA: algebra e calcolo
differenziale elementare.
FISICA: variabili scalari e vettoriali.
Spazio, velocità ed accelerazione.
Moto uniforme. Moto uniformemente
accelerato.
r
r ds
v=
dt
r
r dv
a=
dt
UNIFORME
UNIFORMEMENTE
ACCELERATO
s = v•t+s0
s = ½•a•t2+v0•t+s0
v = costante
v = a•t+v0
a = 0
a = costante
s
v
t
uniforme
a
t
s
t
v
t
a
t
t
uniformemente accelerato
ESEMPI (1)
Un corpo si muove lungo una linea retta: quale fra le cinque coppie di grafici
sotto disegnati, può rappresentare il moto?
A
B
C
D
E
v
v
v
v
v
t
a
t
a
t
t
a
t
t
a
t
t
a
t
t
ESEMPI (2)
Una studentessa esce di casa ed inizia a camminare a velocità costante.
Dopo un certo tempo si ferma per un po’
successivamente riprende a camminare con una velocità superiore a quella
di partenza.
Improvvisamente torna indietro e si incammina molto velocemente verso
casa.
Nei grafici s=0 corrisponde a quando la studentessa si trova a casa, il
massimo corrisponde all’istante nel quale essa inverte la marcia e la velocità
è la pendenza della curva punto per punto: maggiore pendenza, maggiore
velocità.
In C la studentessa non torna a casa; in E ci torna due volte.
Solo B riporta correttamente le quattro velocità successivamente tenute
dalla studentessa.
A
B
s
C
s
t
D
s
t
E
s
t
s
t
t
DINAMICA: studia il movimento
in funzione delle cause che lo hanno
generato
Accelerazione di gravità
Il moto dei proiettili
Concetto di forza
I principi della dinamica
La forza peso
La gravitazione universale
Lavoro di una forza ed energia
Teorema delle forze vive
Accelerazione di gravità (1)
E’ un dato sperimentale che gli oggetti, non sostenuti,
cadono verso la terra. Si nota che spesso la velocità di
impatto con il suolo cresce al crescere della altezza
dalla quale tali oggetti cadono.
Aristotele (384-322 a.C.) sosteneva che i corpi pesanti
cadono più velocemente di quelli leggeri.
Galileo (1564-1642) per mezzo di osservazioni fatte a
Pisa fra il 1589 ed il 1592, trascurando l’effetto
dell’aria, affermò:
1. l’accelerazione di gravità è la stessa, per tutti gli
oggetti che cadono, qualunque sia la loro grandezza
o natura
2. l’accelerazione di gravità è costante
Accelerazione di gravità (2)
1. l’accelerazione di gravità è la stessa, per
tutti gli oggetti che cadono, qualunque sia la
loro grandezza o natura
2. l’accelerazione di gravità è costante
Queste due affermazioni non sono banali.
Infatti l’esperienza di tutti i giorni dice che
le monete cadono più velocemente dei pezzi di
carta (disaccordo con 1)
oggetti fatti cadere da grandi altezze
raggiungono una velocità massima o velocità
limite (disaccordo con 2)
Accelerazione di gravità (3)
Tutto dipende dall’aria. Utilizzando un cilindro nel
quale sia possibile fare il vuoto (Tubo di Newton)
si possono dimostrare le due affermazioni:
1. l’accelerazione di gravità g è la stessa, per
tutti gli oggetti che cadono, qualunque sia la
loro grandezza o natura
2. l’accelerazione di gravità è costante
g = 9.8 ms
al livello del mare
−2
T D N
U I E
B W
O T
O
N
Accelerazione di gravità (4)
Supponiamo di avere un corpo che venga fatto cadere,
da fermo, da un’altezza h=84 m. Calcolare il tempo di
arrivo e la velocità di impatto.
Poiché agisce l’accelerazione di gravità g, il moto sarà
uniformemente accelerato e quindi, nel nostro caso,
possiamo scrivere
1 2
h = gt
2
2h
2h
2 ⋅ 84 m
2
2
=
s
= 4.1 s
t =
⇒ t=
=
17
.
1
−2
g
g
9.8 ms
v = gt = 40.6 ms −1 = 146.1 Km / h
Moto dei proiettili (1)
Trascurando l’attrito dell’aria, si y
osserva, sperimentalmente, che il
moto di un proiettile è bidimensionale, cioè avviene in un
piano.
L’unica accelerazione presente è g
ed essa è diretta lungo l’asse y.
r
v0
θ
x
Lungo l’asse delle x non vi sono accelerazioni e quindi,
lungo l’asse delle x, il moto è rettilineo uniforme,
mentre lungo l’asse delle y, grazie alla costanza di g,
sarà uniformemente accelerato.
Moto dei proiettili (2)
Dimostriamo che la traettoria è y
una parabola
x = v0 x t
v0 x = v0 cosθ
1 2 dove
y = v0 y t − gt
v0 y = v0 sin θ
2
r
v0
θ
x
Ricaviamo t dalla prima e lo sostituiamo nella seconda
v0 y
2
x
1 x
t=
⇒ y=
x− g 2
v0 x
v0 x
2 v0 x
PARABOLA
Moto dei proiettili (3)
y
r
v0
parte con velocità orizzontale e
verticale nulle
h
parte con velocità verticale
r
nulla ed orizzontale v0
x
x=0
x = v0t
1
y = h − gt 2
2
1
y = h − gt 2
2
Cadono nello stesso tempo
Il tempo di caduta è quello che
serve ad azzerare la quota
1
y = 0 = h − gt 2
2
1 2
gt = h
2
2h
sia
t=
g
per che per
Moto dei proiettili (4)
IL PROBLEMA DELLA SCIMMIA
y
Parte il proiettile e nello stesso h
istante la scimmia inizia a cadere
da altezza h. Calcolare la quota
h’ di impatto fra il proiettile e la
h’
scimmia.
y=
v0 y
2
1 x
x− g 2
v0 x
2 v0 x
d
1
d2
⇒ h = dtgθ − g 2
2 v0 cos 2 θ
'
x=d
v0 → ∞
θ
r
v0
h ' = dtgθ = d
h
=h
d
x
h ' = 0 ⇒ velocità minima per l' impatto
1
d2
1
d2
dtgθ = g 2
⇒ v0 min =
g
2 v0 min cos 2 θ
2 h cos 2 θ
v0 > v0min si incontrano per h’>0 e con h’<h
v0 = v0min si incontrano per h’=0
v0 < v0min non si incontrano
Il movimento: dal come al perché
Per mettere in moto un corpo fermo
Per fermare un corpo in moto
Per variare un moto
bisogna intervenire dall’esterno
Variazione di moto
Causa esterna
Solo l’intervento di una causa esterna può
far iniziare un moto
far cessare un moto
far variare un moto (variando la velocità)
Una causa esterna non può essere altro che
una interazione con un “altro corpo”
es. interaz. a contatto sforzo muscolare, attrito, ecc.
interaz. a distanza gravità, attraz.magnetica, ecc.
Le Forze
E’ di Newton (1642-1727) l’idea che le cause dei moti
siano le forze.
Sperimentalmente si nota che la forza è un vettore.
Quando si spinge o si tira un oggetto si esercita su di
esso una
r
forza F
I principi della dinamica (1)
Galileo ha scoperto il Io Principio della Dinamica (detto
principio di inerzia), la cui formulazione attuale è
dovuta a Newton
Un corpo non soggetto a
forze o è fermo o si muove di
moto rettilineo uniforme
Principio d’inerzia
Un corpo “naturalmente” è fermo
o si sta muovendo di moto rettilineo uniforme ( v = costante)
Questo non è intuitivo!
Esperienza: un corpo in moto dopo un po’ si ferma.
Ma sulla Terra nessun corpo è isolato: c’è sempre attrito.
Riducendo l’attrito si prolunga il moto.
Se non ci fosse attrito il moto continuerebbe all’infinito.
Es.
No forza No variazione stato di moto
No variazione di velocità No accelerazione
Quiete o moto rettilineo uniforme
I principi della dinamica (2)
Le spiegazioni scientifiche, nella opinione di Newton, non
sono più legate ai semplici concetti di moto, ma sono
pensate piuttosto come relazioni fra più elementi che
possono essere misurati (le osservabili).
Newton, per produrre il proprio lavoro, non ha una
matematica sufficiente e quindi inventa il calcolo
differenziale connettendo, in maniera anche formalmente
corretta, le tre osservabili cinematiche:
spazio, velocità ed accelerazione
I principi della dinamica (3)
Quando ad un oggetto è applicata una forza l’oggetto
acquista una accelerazione nella stessa direzione della
forza (IIo Principio della Dinamica). Le intensità di F e
di a sono proporzionali, se si raddoppia F, raddoppia a.
r
r
F = ma
[]
r
−2
F = kg m s = N
MKS
[]
r
−2
F = g cm s = dyne cgs
Newton e dyne
forza = massa • accelerazione
SI:
Newton
1 N
dyne
N
= 1 kg • 1 m/s2
100000
cgs:
F= ma
1000
100
1 dyne = 1 g • 1 cm/s2
1 N
= forza che, applicata a un corpo di massa 1 kg,
produce un’accelerazione di 1 m/s2
1 dyne = forza che, applicata a un corpo di massa 1 g,
produce un’accelerazione di 1 cm/s2
Es.
1 N = 1 kg • 1 m/s2 = 103 g • 102 cm/s2 = 105 dyne
1 dyne = 1 g • 1 cm/s2 = 10-3 kg • 10-2 m/s2 = 10-5 N
F = ma
Forza e accelerazione
sono grandezze vettoriali
direttamente proporzionali.
Il loro rapporto è la massa,
costante dipendente dal corpo in esame.
F = ma
equazione fondamentale della Dinamica
F/a = costante
MASSA
dipendente dal tipo (natura, forma, dimensioni) di corpo
PROPRIETA’ INTRINSECA DEL CORPO
GRANDEZZA SCALARE FONDAMENTALE
Kg
(MKS),
g
(cgs)
I principi della dinamica (4)
Se la forza è costante, dal IIo Principio della Dinamica,
l’accelerazione è costante e quindi il moto deve essere
uniformemente accelerato, infatti (in una dimensione per
semplicità
F
= cos t
m
dv
F
=a=
dt
m
F
F
F
dv = dt ⇒ ∫ dv = ∫ dt ⇒ v = t
m
m
m
dx
F
=v= t
dt
m
F
F
1F 2
dx = t dt ⇒ ∫ dx = ∫ t dt ⇒ x =
t
m
m
2m
a=
1 2
x = at
2
Equazione
oraria del
moto
uniformemente
accelerato
I principi della dinamica (5)
IIIo Principio della Dinamica
(principio di azione e reazione)
Se un corpo A esercita una forza
r
FAB su di un corpo B, quest’ ultimo
r
esercita su A una forza FBA che ha lo
stesso modulo e la stessa direzione
r
di FAB , ma verso opposto
Principio di azione e reazione
FAB = - FBA
r
F
Es.
Esempi quotidiani:
- sostegno pavimento/sedia
- spinta “all’indietro”
- rinculo
- camminare, correre
- mezzi di trasporto
r
−F
I principi della dinamica (6)
Le forze di azione e di reazione sono applicate su corpi
diversi e quindi, in generale, i loro effetti non si
annullano.
Lo stato di moto di un oggetto è determinato solo dalle
forze che agiscono su di esso ed in generale le forze
esercitate da un oggetto influenzano il moto di altri
oggetti.
r
o
III Principio ⇒ ∑ Fint = 0
I principi della dinamica (7)
Newton, usando il principio di semplicità, definisce il
sistema fisico come il
minimo numero di corpi ed
interazioni capaci di
descrivere il dato
sperimentale
Forza peso
Ogni corpo di massa m soggetto alla accelerazione di gravità g
risente della forza peso diretta verticalmente verso il basso.
F = mg = p
modulo
|p| = m g
direzione verticale
verso
basso
MOTO DI CADUTA
sempre uniformemente accelerato
con accelerazione g = 9.8 m/s2
v = g t
h = ½ g t2
forza peso
linee di forza
h
→
90°
p
Tempo di arrivo al suolo: t = √ 2h/g
Velocità di arrivo al suolo: v = √ 2gh
suolo
La gravitazione universale (1)
Poiché le forze sono responsabili del moto, se
sappiamo scrivere la forza e conosciamo le
condizioni al contorno (spazio e velocità iniziali),
si può risolvere il moto.
Quindi la COSMOLOGIA (problema fondamentale
della fisica da Aristotele in poi), cioè il moto dei
pianeti è risolto se si scrive la forza con cui
interagiscono due corpi fra loro.
La gravitazione universale (2)
I gravi in caduta libera con moto accelerato, ma pure i
pianeti costretti a muoversi intorno al Sole e la Luna
intorno alla Terra, provano l'esistenza di cause (le forze)
che deviano i corpi materiali dalla condizione di moto
rettilineo uniforme.
Newton dedusse il dato sperimentale che questa forza
fosse unica e la chiamò di
Gravitazione Universale
ipotizzando che la stessa forza che provoca la caduta dei
gravi fosse anche quella che costringe la Luna a percorrere
un'orbita chiusa intorno alla Terra ed i pianeti a
descrivere le orbite ellittiche intorno al Sole.
La gravitazione universale (3)
Il livello di generalizzazione è eccezionale
la luna “cade” sulla terra
come la mela
L’universo è fatto della stessa materia
della terra e tutti i corpi materiali,
terrestri e celesti, subiscono l’azione
della stessa forza:
la gravitazione universale
La gravitazione universale (4)
Due corpi, dotati di massa, sono
attratti da una forza diretta lungo la
congiungente dei loro centri ed il cui
modulo vale
M1M 2
F =G
2
r
G = 6.67 10
−11
2
Nm Kg
−2
G è la costante di gravitazione universale
La gravitazione universale (5)
Tra due corpi di massa m1 e m2,
posti a distanza r,
si esercita sempre
non solo sulla Terra!
una forza di attrazione
m1
→
r
-diretta lungo la congiungente tra i due corpi
-proporzionale alle due masse
-inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza
m2
LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
F = - G m1 m 2 r
2
r
r
attrazione
G = 6.67•10–11 N•m2/kg2
... troppo piccola per essere osservata tra corpi “normali” ...
La gravitazione universale (6)
La Luna è in perpetua
caduta sulla Terra.
Velocità di fuga = 11.2 km/s ~ 40000 km/h
~1920 E. Hubble, con il telescopio di 2m di Wilson Mount,
riuscì a risolvere in singole stelle la nebulosa Andromeda
e comprese l’esistenza delle galassie.
Terra-Sole ~ 150 milioni di km
Diametro ~ 12 miliardi di km ~
0.0013 anni luce
1 anno luce = 9000 miliardi di km
Il Sole è una stella di dimensioni medio-piccole costituita
essenzialmente da idrogeno (circa il 92% del suo volume) ed elio. È
classificata come una nana gialla di tipo spettrale G2 V: G2 indica che
la stella ha una temperatura superficiale di ~6000 °C, caratteristica
che le conferisce un colore bianco, che però spesso può apparire
giallognolo, a causa della diffusione della luce da parte dell'atmosfera
terrestre. Il sole irraggia ogni secondo ~3×1026 J.
Il sole ha un periodo di
rotazione equatoriale
di ~28 giorni
Dalla
corona
solare si
irradiano
30
Msole=2x10 kg 7 miliardi
di
rappresenta ~99,8% tonnellate
della massa totale
di materia
del sistema solare
all’ora
Diametro ~ 100000 anni luce
1 anno luce = 9000 miliardi di km
Posizione
relativa del
sistema
solare
all’interno
della Via
Lattea
27000 a.l.
1 a.l. = 9000 miliardi di km
Questo disegno in scala rappresenta in scala i dintorni della nostra Galassia
1 anno luce = 9000 miliardi di km
2.5 milioni
di anni luce
Il sistema solare è
~108 volte = (0.000 000 01)
più piccolo della Via Lattea.
1 anno luce = 9000 miliardi di km
1 anno luce = 9000 miliardi di km
Pisces-Cetus
Supercluster
Complex
1 miliardo di
a.l.
La seconda più
grande struttura
scoperta
nell’Universo.
A circa un
miliardo di a.l.
da essa c’è la
Grande
Muraglia di
Sloan (1.3
miliardi di a.l.)
1 anno luce =
9000 miliardi di
km
•
•
•
•
~ 1 milione di a.l. galassie
~ 10 milioni di a.l. gruppi locali
~ 100 milioni di a.l. superammassi
~ 1000 milioni di a.l. Pisces-Cetus
Supercluster
Complex e
Grande
Muraglia di
Sloan
1 anno luce = 9000 miliardi di km
Ammasso di galassie
lontano da noi
circa 13 miliardi di
anni luce.
Limite attuale dei
telescopi