Transcript Nota su teorema di Gauss (L.Gualtieri)

Teorema di Gauss per il campo gravitazionale
(Questo argomento far`
a parte dei complementi.)
1
Enunciato e dimostrazione del teorema di Gauss
Dato un campo vettoriale ~v che attraversa una superficie
S, dato il versore n
ˆ normale all’infinitesimo di superficie
dS,
n
v
S
si definisce il flusso del vettore ~v attraverso la superficie
S il valore
Z
Φ~v ≡ ~v · n
ˆ dS .
S
Il teorema di Gauss dice che il flusso del campo gravitazionale uscente da una superficie chiusa non dipende
dalla superficie n`e dalla posizione dei corpi che lo generano, ma dipende solo dalla massa contenuta all’interno
della superficie.
Dimostrazione. Consideriamo inizialmente il campo
gravitazionale generato da una massa M puntiforme. M
generer`a nello spazio un campo gravitazionale
~g (~r) = −
GM
rˆ = −gˆ
r
r2
1
dove ~r = rˆ
r `e il raggio vettore del generico punto, con
primo estremo nell’origine posta sulla massa M. Calcoliamo il flusso di ~g attraverso S, dove S `e una qualsiasi
superficie chiusa che ha M al suo interno.
Φ~g =
Z
S
~g · n
ˆ dS = −
Z
S
gˆ
r·n
ˆ dS
(spesso il suffisso ~g sotto Φ si sottintende).
Sia θ `e l’angolo che il versore radiale rˆ forma con la normale n
ˆ alla superficie - e che naturalmente dipende dal
punto di S considerato. Allora rˆ · n
ˆ = cos θ, e
Φ=−
Z
s
g cos θdS =
dS
Z
S
GM
cos θdS .
r2
r n
θ
dS
S
M
Osserviamo ora che
cos θdS = dS⊥
proiezione dell’elemento di superficie dS sul piano perpendicolare a rˆ, poich`e θ `e l’angolo tra rˆ e n
ˆ . Esso, a
2
meno di infinitesimi di ordine superiore, `e quindi l’infinitesimo
di superficie della sfera intercettata dal cono di centro M
che intercetta anche la superficie dS.
r
dS
M
Infatti, cos`ı come per un angolo infinitesimo la lunghezza
della corda `e uguale a quella dell’arco a meno di infinitesimi di ordine superiore, cos`ı la superficie dS⊥ ortogonale
a rˆ intercettata da un cono `e uguale alla superficie della
sfera intercettata dallo stesso cono, a meno di infinitesimi
di ordine superiore.
Facciamo una parentesi, in cui vi anticipiamo una propriet`a che vi verr`a dimostrata pi`
u avanti, nei corsi di
matematica del secondo anno. Dato un cono, la superficie della sfera di raggio r intercettata da esso, dSn , `e
proporzionale a r2 :
dSn1
r1
dSn2
r2
3
dSn2
dSn1
=
≡ dΩ .
r12
r22
Questo rapporto dΩ misura l’ampiezza angolare del cono,
ed `e detto angolo solido del cono. Questo naturalmente
vale anche per coni finiti, e l’angolo solido totale, dell’intera
sfera, `e
4πr2
= 4π .
r2
Detto questo, `e chiaro che il flusso del campo gravitazionale generato dalla massa M `e
Z
Z
dS⊥
Φ = −GM
= −GM dΩ = −4πGM :
S r2
un valore indipendente dalla forma della superficie S e
dalla posizione di M dentro S, dipende solo da M, e anzi
`e proporzionale a M.
Se invece M si trova all’esterno della superficie chiusa
S, il flusso attraverso S `e nullo:
S1
S2
M
si pu`o dividere S in due superfici S1 ed S2 tali che gli
angoli solidi con centro in M che insistono su S1 ed S2
4
sono uguali, per cui i flussi attraverso queste due superfici sono uguali in modulo, e di segno opposto; infatti il
teorema di Gauss si riferisce al flusso uscente dalla superfice S, quindi il versore normale punta verso l’esterno
della superficie S, e quindi rispetto al punto M ha orientazioni opposte per S1 ed S2 ; nel caso in figura, n
ˆ · rˆ `e
positivo per S1 , negativo per S2 .
Lo stesso ragionamento pu`o essere fatto se invece di
un punto materiale ve ne sono diversi, di masse Mi (i =
1, ·, n); la risultante delle forze `e la somma delle forze
generate dai singoli punti, quindi il campo gravitazionale
totale `e la somma di quelli generati dai singoli punti,
quindi il flusso totale `e la somma di quelli generati dai
singoli punti:
X
Φ = −4πG Mi .
i
Consideriamo ora un corpo esteso di massa M; esso pu`o
essere considerato come suddiviso in tante parti piccole
a piacere; nel limite in cui queste parti diventano di dimensioni infinitesime, e quindi punti materiali, potremo
scrivere
Z
Φ = −4πG
dM = −4πGM .
M
Il teorema di Gauss `e cos`ı dimostrato.
5
2
Sfruttiamo il teorema di Gauss per calcolare il campo
gravitazionale terrestre in un punto P al di sopra della
superficie terrestre.
r P
g
S
O
Consideriamo la superficie sferica S passante per P concentrica con la terra; per simmetria, in ogni punto di
questa superficie il campo gravitazionale ~g ha lo stesso
modulo, ha la direzione del raggio vettore e verso opposto. Quindi ~g (~r) = −g(r)ˆ
r, e
Φ=
Z
S
~g (~r)·ˆ
ndS = −g(r)
Z
S
rˆ·ˆ
n = −g(r)
Z
S
dS = −g(r)4πr2
ma il teorema di Gauss ci dice che
Φ = −4πGM
quindi
−g(r)4πr2 = −4πGM
e
~g (~r) = −
6
⇒
GM
rˆ .
r2
g(r) =
GM
r2
Possiamo concludere che il campo gravitazionale in un
punto al di sopra della superficie della terra, o pi`
u in
generale di qualsiasi corpo sferico la cui densit`a ρ dipenda
solo da r, `e uguale a quello che si avrebbe se tutta la
massa fosse situata al suo centro.
Calcoliamo ora il campo gravitazionale in un punto P
all’interno della superficie terrestre (o del corpo sferico).
Consideriamo la superficie sferica S passante per P concentrica con la terra; per simmetria, in ogni punto di
questa superficie il campo gravitazionale ~g ha lo stesso
modulo, ha la direzione del raggio vettore e verso opposto. Quindi ~g (~r) = −g(r)ˆ
r, e, ripetendo i passaggi di
prima, troviamo che
Φ = −g(r)
Z
S
dS = −g(r)4πr2 .
Tuttavia in questo caso solo la materia all’interno della
superficie contribuisce al flusso:
Φ = −4πGm(r)
con m(r) massa contenuta in S. Se consideriamo che la
terra abbia densit`a uniforme ρ e raggio R,
4
M = ρV = ρ πR3
3
mentre
r3
4
m = ρ πr3 = M 3
3
R
Quindi,
Φ = −g(r)4πr2 = −4πGm(r) = −4πGM
per cui
g(r) =
GM
r,
R3
7
r3
R3
varia linearmente con r. L’andamento di g(r) con r,
all’interno e all’esterno della superficie, `e mostrato in
figura.
g(r)
r
R
8