Transcript Appunti di Analisi Economica 2013#2014 (II)

Appunti di Analisi Economica 2013-2014 (II)
Teoria del consumatore I (Funzioni di utilità indiretta e di costo,
Equazione di Slutsky)
Alessandro Vaglio
Università degli Studi di Bergamo
Gennaio 2014
Alessandro Vaglio (Institute)
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Gennaio 2014
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Sommario sulla funzione di utilità indiretta
max u (x)
s.t.
px
m
Soluzione : xM (p,m ) ! Funzione di utilità indiretta
V (p,m ) = u xM (p,m )
non crescente in pi , crescente in m, quasi convessa in p.Inoltre
xiM (p,m ) =
∂V
∂p i
∂V
∂m
(Identità di Roy)
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Funzione di spesa
max
px
u (x)
u
s.t.
Soluzione : xH (p,u ) ! Funzione di spesa
E (p,u ) = pxH (p,u )
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Proprietà della funzione di spesa
Concavità in p: λE (p1 ,u ) + (1 λ) E (p0 ,u )
Prova:
p1 xH (p1 ,u ) p1 x
p0 xH (p0 ,u ) p0 x
λp1 xH (p1 ,u )
λ) p0 xH (p0 ,u )
(1
E (λp1 + (1
λ) p0 ,u )
λp1 x
( 1 λ ) p0 x
Sommando
λp1 xH (p1 ,u ) + (1
Se x = xH (λp1 + (1
λ) p0 xH (p0 ,u )
[λp1 + (1
λ) p0 ] x
λ) p0 ,u )
λE (p1 ,u ) + (1
λ) E (p0 ,u )
E (λp1 + (1
λ) p0 ,u )
QED
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Proprietà della funzione di spesa (II)
Omogeneità di grado 1
E (λp,u ) = λE (p,u )
Prova:
λE (p,u ) = λpxH (p,u ) λpxH ((λp) ,u )
E (λp,u ) = (λp) xH ((λp) ,u ) (λp) xH (p,u )
Ma le due ultime disequazioni sono vere solo se E (λp,u ) = λE (p,u )
QED
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Lemma di Shepard:
xH
i (p ,u ) =
∂E (p,u )
∂pi
Prova
g (p,u ) = E (p,u )
pxH (p ,u )
0
ed è 0 solo se p = p . Pertanto p = p è un massimo di g (p,u ) e quindi
∂E (p,u )
∂g (p,u )
=
∂pi
∂pi
xH
i (p ,u ) = 0
QED
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Relazioni tra funzione di utilità indiretta e funzione di
spesa:
V (p,E (p,u )) = u
E (p,V (p,m )) = m
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Prova:
Se fosse V (p,E (p,u )) > u vorrebbe dire che utilizzando una somma pari
a E (p,u ) si può conseguire una utilità superiore a u. e quindi u si
potrebbe conseguire spendendo meno di E (p,u ) (contraddice la
de…nizione di E (p,u ))
Se fosse V (p,E (p,u )) < u vorrebbe dire che una somma pari a
E (p,u )non basta a conseguire una utilità pari a u. (contraddice la
de…nizione di E (p,u ))
Se fosse E (p,V (p,m )) > m vorrebbe dire che la somma minima
necessaria a conseguire u = è superiore a m, (contraddice la de…nizione di
V (p,m ))
Se fosse E (p,V (p,m )) < m vorrebbe dire che la somma minima
necessaria a conseguire u = è minore di m, il che signi…ca che utilizzando
m si può raggiungere un’utilità maggiore di V (p,m ) (contraddice la
de…nizione di V (p,m ))
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Equazione di Slutsky
Sfruttiamo l’eguaglianza:
x H (p,u ) = x M (p,E (p,u ))
Di¤erenziamo rispetto a pi
∂x M (p,E (p,u )) ∂x M (p,E (p,u )) ∂E (p,u )
∂x H (p,u )
=
+
∂pi
∂pi
∂m
∂pi
Trasformiamo tutto in elasticità
∂x H (p,u )
pi
H
∂pi
x (p,u )
∂x M (p,E (p,u ))
m
pi x M (p,E (p,u ))
=
∂m
m
x M (p,E (p,u ))
εH
i
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M
εM
m wi = ε i
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Il segno di
∂x H (p,u )
∂p i
Per il Lemma di Shephard
∂x H (p,u )
∂
=
∂pi
∂pi
∂E (p,u )
∂pi
ma dato che E (p,u ) è concava, la matrice Hessiana di E (p,u ) deve essere
negativa semide…nita
2
6
6
6
6
4
∂2 E (p,u )
∂p 1 ∂p 1
∂2 E (p,u )
∂p 2 ∂p 1
∂2 E (p,u )
∂p 1 ∂p 2
∂2 E (p,u )
∂p 2 ∂p 2
∂2 E (p,u )
∂p 1 ∂p n
∂2 E (p,u )
∂p 2 ∂p n
∂2 E (p,u )
∂p n ∂p 1
∂2 E (p,u )
∂p n ∂p 2
∂2 E (p,u )
∂p 1 ∂p n
3
7
7
7
7
5
Pertanto i termini sulla diagonale principale (own e¤ects) devono essere
negativi.
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L’equazione di Slutsky con il teorema della funzione
implicita
Questo è il metodo tradizionale per ricavare l’equazione di Slutsky.
Considerate un caso con due beni
λ (M
p1 x1
∂u (x1, x2 )
∂x1
∂u (x1, x2 )
∂x2
+ p2 x2 ) = 0
λp1 = 0
λp2 = 0
Di¤erenziando si ottiene la matrice Hessiana orlata
2
dove M
6
Hb = 4
p1 x1 + p2 x2 )
p1
(M
p2
λp1
∂u (x1, x2 )
∂x1 ∂x1
∂u (x1, x2 )
∂x2 ∂x1
p1 x1 + p2 x2 = 0
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λp2
∂u (x1, x2 )
∂x1 ∂x2
∂u (x1, x2 )
∂x2 ∂x2
3
7
5
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Supponiamo che vari il prezzo del bene 1: il sistema rilevante è
2
da cui:
6
4
0
p1
p2
λp1
λp2
∂u (x1, x2 )
∂x1 ∂x1
∂u (x1, x2 )
∂x2 ∂x1
h
λx1
∂x1
=
∂p1
∂u (x1, x2 )
∂x1 ∂x2
∂u (x1, x2 )
∂x2 ∂x2
32
3 2
dλ
74
5 dx1 5 = 4
dx2
∂u (x x )
p1 ∂x2 1,∂x22
+
∂u (x1, x2 )
∂x1 ∂x2 p2
det Hb
i
3
λx1
λ 5 dp1
0
(λp2 )2
Notando che
∂x1
=
∂m
λ
h
p1
∂u (x1, x2 )
∂x2 ∂x2
+
∂u (x1, x2 )
∂x1 ∂x2 p2
det Hb
i
Risulta chiara l’analogia con la precedente derivazione.
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Money-metric Utility functions
De…nite:
m (p, x) = E (p,u (x))
(Money-metric diretta)
Invece
µ (p; q, m) = E (p,V (q, m))
Money-metric indiretta
Base per la costruzione di un sistema di compensazione
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Un esercizio con la funzione di utilità indiretta (tassazione
ottimale)
max V (p + t,m )
s.t.
txM (p + t,m )
G
Condizione del 1 ordine per il bene i-esimo
"
#
M p + t,m
n
∂x
(
)
∂V (p + t,m )
j
+ µ xiM (p + t,m) + ∑ tj
=0
∂pi
∂pi
j =1
Per il lemma di Roy
xiM
"
#
M p + t,m
n
∂x
(
)
∂V (p + t,m )
j
+ µ xiM (p + t,m) + ∑ tj
=
(p + t,m)
∂m
∂pi
j =1
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De…nendo
xiM
∂V (p+t,m )
∂m
(p + t,m) (µ
=λ
"
∂xjM (p + t,m )
∂xiM (p + t,m )
λ) + µ ti
+ ∑ tj
∂pi
∂pi
j 6 =i
#
=0
Se riscriviamo tutto in termini di elasticità I
+µ
h
(µ
λ)
i
∂x M (p+t,m )
p i +t i
+µ pi t+i ti i ∂pi
xiM (p+t,m )
tj x M (p+t,m )
∂x M (p+t,m )
p i +t i
∑j 6=i (pi +tji )x M (p+t,m ) j ∂pi
xjM (p+t,m )
i
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=0
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E in…ne:
(µ
λ)
µ
"
tj xjM (p + t,m )
ti
M
+
ε +∑
εM
M (p + t,m ) ji
pi + ti ii
p
+
t
x
(
)
i
i
i
j 6 =i
#
=0
Pertanto
ti
=
pi + ti
1
εM
ii
"
(µ
λ)
µ
+∑
j 6 =i
tj xjM (p + t,m )
(pi + ti ) xiM (p + t,m)
εM
ji
#
Se tutte le elasticità incrociate fossero nulle, la regola semplice è che
vanno tassati di più i beni la cui domanda è più rigida
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