Transcript Programma dettagliato

Programma di Analisi Non Lineare
Marco Gipo Ghimenti
a.a. 2013/2014
1
Teoria
Per tutta la parte di teoria le referenze sono state [1, 2, 3] per la teoria su aperti
limitati e [7, 8, 9] per i problemi non compatti.
1.1
Preliminari
Differenziale di Fr´echet e di Gateaux in spazi di Banach e principali propriet`a.
Gradiente in spazi di Hilbert. Definizione di soluzione debole. Risoluzione
variazionale dell’equazione di Laplace (Pb. 1).
Definizione dell’operatore di Nemitskij, continuit`a e differenziabilit`a. Gradiente dell’operatore di Nemitskij definito su H 1 . Primi esempi di equazioni alle
derivate parziali ellittiche nonlineari (Pb. 2 e 3). Metodo di bootstrap per la
regolarit`
a delle soluzioni di un’equazione alle derivate parziali ellittica.
1.2
Idee fondamentali dei metodi topologici
Definizioni di sottolivelli, retratto di deformazione, retratto di deformazione
forte. Lemma di deformazione. Definizione di successione di Palais-Smale.
Condizione di Palais-Smale (compattezza delle successioni di Palais Smale)
Conseguenze del Lemma di deformazione: esistenza di livelli critici in corrispondenza dei cambi di topologia dei sottolivelli. Richiami di geometria: teorema di Brouwer in dimensione finita e impossibilit`a del teorema di Brouwer in
dimensione infinita.
Teorema della Sella. Teorema di Passo Montano di Ambrosetti e Rabinowitz. Applicazione del teorema del passo montano ad un’equazione ellittica
non lineare: nonlinearit`
a di tipo potenza (Pb. 4) e nonlinearit`a generale con
condizione di Ambrosetti Rabinowitz (Pb. 5). Applicazione del teorema della
sella ad un’equazione ellittica con nonlinearit`a asintoticamente lineare (Pb. 6).
Teorema di allacciamento, o linking (senza dimostrazione)
1.3
Problemi vincolati
Variet`
a di Hilbert o di Banach: definizioni fondamentali, carte, parametrizzazioni, spazio tangente. Accenni alla struttura Riemanniana su una variet`a di
Hilbert. Teorema del valor medio di Lagrange in spazi di Banach. Teorema di
inversione locale in spazi di Banach e variet`a definite implicitamente (di codimensione uno). Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Soluzione alternativa
del Problema 4 con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
1
Vincoli naturali. La variet`a di Nehari: definizione, regolarit`a e prinicipali
propriet`
a. Metodi per caratterizzare la variet`a di Nehari. Esistenza di due
soluzioni, usando la teoria dei vincoli naturali, per il problema nonlineare con
un termine nonomogeneo 7.
1.4
Problemi in Rn
Problemi non compatti: principali difficolt`a. Regolarit`a dell’operatore di Nemitskij in Rn . Immersioni di sobolev in Rn (richiamo). Simmetrizzazione di
Scwharz e immersione compatta delle funzioni radiali. Esistenza di ground states per l’equazione di Schroedinger non lineare, a norma L2 fissata (Pb. 8) e
a frequenza fissata (Pb. 9). Identit`a di Pohozaev. Lemma di concentrazione
compattezza. Un problema non locale: modello di stella rotante (Pb. 10). Un
problema nonlineare del quart’ordine in dimensione 1 (Pb. 11).
1.5
Categoria di Lusternik Schnirelmann
Definizione, prime propriet`
a della categoria di Lusternik Schnirelmann. Propriet`
a di estensione per una variet`a Hilbertiana. Variante del Lemma di deformazione: Se c `e un livello critico, e U un intorno dei punti critici, l’insieme
J c+ε rU si retrae nel sottolivello J c+ε , per ε sufficientemente piccolo. Il teorema
di Lusternik Schnirelmann: Se J `e un funzionale C 1 limitato dal basso su M
variet`
a C 1,1 e se vale la condizione di PS, allora il numero di punti critici `e maggiore od uguale alla categoria di M in s´e. k-categoria e metodo di minimassimo
collegato alla categoria. s-categoria (o categoria simmetrica). Applicazioni: Un
risultato di molteplicit`
a per un equazione ellittica nonlineare (Pb. 12).
2
Applicazioni
In questa sezione le referenze per ogni problema sono indicate in parentesi quadre
alla fine degli enunciati
Problema 1. Sia Ω ⊂ Rn aperto limitato, connesso, regolare. Allora l’equazione
−∆u = h
h ∈ Lp
u=0
su ∂Ω
ammette un’unica soluzione per p ≥
per n = 2. [3]
n+2
2n
per n ≥ 3, p > 1 per n = 2 o p ≥ 1
Problema 2. Sia Ω ⊂ Rn aperto limitato, connesso, regolare. Si consideri
l’equazione
−∆u = g(u) + h
in Ω
u=0
su ∂Ω
∗0
∗
dove per n > 2 si prende h ∈ L2 , |g(s)| ≤ a + b|s|2 −1 , per n = 2 si prende
h ∈ Lp , p > 1 e |g(s)| ≤ a + b|s|q , q ≥ 1 e per n = 1 si prende h ∈ L1 e
|g(s)| ≤ a + b|s|q , q ≥ 1. Qui a, b > 0 e g di Carath´eodory.
Se g `e non crescente l’equazione ammette un’unica soluzione. [1, 3]
2
Problema 3. Nelle stesse ipotesi del Problema 2 si sostituisca l’ipotesi g `e non
crescente con
gsgng ≤ C ovvero g(s) ≤ C per s ≥ 0; g(s) ≥ C per s < 0.
Allora l’equazione ammette almeno una soluzione. [1, 3]
Problema 4. Sia Ω ⊂ Rn aperto limitato, connesso, regolare. L’equazione
−∆u = |u|p−2 u
in Ω
u=0
su ∂Ω.
con 2 < p < 2∗ ammette almeno una soluzione. [1, 3]
Problema 5. Sia Ω ⊂ Rn , n ≥ 3, aperto limitato, connesso, regolare. Si
consideri
−∆u + q(x)u = g(u)
in Ω
u=0
su ∂Ω.
con q ∈ L∞ (Ω), q ≥ 0, g continua e tale che
• |g(s)| ≤ C(|s|p−1 + 1).
g(s)
= 0.
s→0 s
• lim
Z
τ
• Esistono M >, µ > 2 tali che g(s)s ≥ µG(s) se |t| > M , dove G(s) =
g(τ )dτ .
0
• Esiste s0 con |s0 | > M tale che G(s0 ) = 0.
Allora l’equazione ammette almeno una soluzione. [1, 3]
Problema 6. Sia Ω ⊂ Rn , aperto limitato, connesso, regolare. Si consideri
−∆u = g(x, u)
in Ω
u=0
su ∂Ω.
con g : Ω × R → R di Carath´eodory e tale che
• |g(x, s)| ≤ a(x) + b|s|, con a ∈ L2 (Ω) e b > 0.
• lim inf
|s|→∞
g(s)
= α(x) > λi .
s
• lim sup
|s|→∞
g(s)
= β(x) < λi+1 .
s
dove λi `e l’i-esimo autovalore del Laplaciano su Ω. Allora l’equazione ammette
almeno una soluzione. [3]
Problema 7. Sia Ω ⊂ Rn , aperto limitato, connesso, regolare. Si consideri
−∆u + q(x)u = |u|p−2 u + h(x)
in Ω
u=0
su ∂Ω.
con q ∈ L∞ (Ω), q ≥ 0, 2 < p < 2∗ , e h ∈ L2 (Ω). Allora l’equazione ammette
almeno due soluzioni distinte. [3]
3
Problema 8. Si consideri l’equazione di Scrh¨odinger non lineare
−i
∂ψ
1
ψ
= − ∆ψ + F 0 (|ψ|) +
∂t
2
|ψ|
(NLS)
dove ψ(t, x) : R × Rn → C, n ≥ 2, F ∈ C 2 (R, R) pari, F (0) = F 0 (0) = F 00 (0) =
0, tale che |F (s)| < |s|p per 2 < p < 2∗ ed esista s0 tale che F (s0 ) < 0.
Si vogliono studiare le soluzioni stazionarie di (NLS), ovvero le soluzioni
della forma ψ(x, t) = u(x)e−iωt .
• Se F (s) ≥ −c|s|q per qualche q < 2 + 4/n allora l’equazione (NLS) ammette una soluzione stazionaria diversa da zero, di energia minima (detta
di ground state) con |u|2 = ρ quando ρ `e sufficientemente grande.
• Se F (s) ∼ −c|s|2+ε per qualche 0 < ε < 4/n per |s| << 1 allora (NLS)
ammette una soluzione di ground state con |u|2 = ρ per ogni ρ > 0. [6]
Problema 9. Si consideri l’equazione (NLS) del problema precedente. Si cerca
una soluzione stazionaria e si considera F ∈ C 2 (R, R) pari, tale che |F (s)| < |s|p
per 2 < p < 2∗ , esista s0 tale che ω2 − F (s0 ) > 0 e 2F (s) − F 0 (s)s > 0 per ogni
s ∈ R. Allora per ogni ω < 0 esiste una soluzione stazionaria di (NLS). [5]
Problema 10. Sia λ > 0, α > 1. Si cerchi una soluzione del problema
Z
Iλ = inf E(ρ), ρ(x) > 0,
ρ(x)dx = λ
R3
dove
E(ρ) =
1
α
Z
R3
ρα (x)dx −
1
2
ZZ
R3 ×R3
ρ(x)ρ(y)
dxdy.
|x − y|
Il problema `e ben posto se α > 6/5. Se 6/5 < α < 4/3 allora Iλ = −∞ e se
α = 4/3 esiste un λc tale che Iλ > −∞ se 0 < λ < λc . Inoltre, se α > 4/3,
Iλ > −∞ per ogni λ e tale estremo inferiore `e in realt`a un minimo (quindi il
problema ammette soluzione). [8]
Problema 11. L’equazione
0000
u − βu00 + ωu = |u|2 u
u(±∞) = 0
in R
β, ω > 0
ha almeno una soluzione non banale in H 2 (R).
Problema 12. Sia Ω ⊂ Rn , aperto limitato, connesso, regolare. Si consideri
−ε2 ∆u + u = |u|p−2 u + h(x)
in Ω
(Pε )
u > 0 in Ω
u = 0 su ∂Ω.
con n ≥ 3, 2 < p < 2∗ e ε > 0.
Per ε abbastanza piccolo l’equazione (Pε ) ammette almeno catΩ soluzioni di
bassa energia. [4]
4
Riferimenti bibliografici
[1] A. Ambrosetti, A. Malchiodi, Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic
Problems, Cambridge University Press
[2] A. Ambrosetti, G. Prodi, A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge
University Press
[3] M. Badiale, E. Serra, Semilinear Elliptic Equations for Beginners, Springer
[4] V. Benci and G. Cerami, The effect of the domain topology on the number
of positive solutions of nonlinear elliptic problems, Arch. Rational Mech.
Anal. 114 (1991), 79–93.
[5] H. Berestycki, P.L. Lions, Nonlinear scalar field equations. I. Existence of
a ground state. Arch. Rational Mech. Anal. 82 (1982), 313–345
[6] T. Cazenave, P.L. Lions, Orbital Stability of Standing Waves for Some Non
linear Schr¨
odinger Equations, Commun. Math. Phys. 85 (1982), 549–561
[7] P.-L. Lions, Sym´etrie et compacit´e dans les espaces de Sobolev, J. Funct.
Anal. 49 (1982), 315–334.
[8] P.-L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case. I, Ann. Inst. H. Poincar´e Anal. Non
Lin´eaire 1 (1984), 109–145.
[9] W.A. Strauss, Existence of solitary waves in higher dimensions, Comm.
Math. Phys. 55 (1977), 149–162.
5