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Corso di TRASMISSIONE DEL CALORE
Anno Accademico 2011/2012
‐ Lezione N.1 ‐
Prof. Ing. Renato RICCI
Introduzione
A differenza dello scambio termico conduttivo e convettivo quello radiativo non richiede la presenza di un mezzo interposto perché possa avvenire; esso non presenta attenuazione in presenza di vuoto ed avviene alla velocità massima possibile: quella della luce nel mezzo. In realtà ciò che viene scambiato fra due corpi soggetti a mutuo Irraggiamento non è calore bensì energia elettromagnetica che può, o meno, indurre un incremento di temperatura sui corpi alla stregua di un vero e proprio Scambio Termico.
Nel 1864 James Clerk Maxwell introdusse la Teoria delle Onde Elettromagnetiche, create dall’insieme di campi elettrici e magnetici prodotti da correnti alternate o da cariche accelerate; tali onde rappresentano l’energia emessa dalla materia in virtù del cambio della configurazione elettronica di atomi e molecole.
Nel 1887 Heinrich Hertz riusci a dimostrare sperimentalmente l’esistenza delle onde elettromagnetiche. Prima che Maxwell introducesse la sua teoria lo scambio termico associato all’irraggiamento veniva spiegato assumendo l’esistenza d
di un “etere luminifero” all’interno del quale potevano essere applicati i principi della Meccanica Classica e della “
l
f ” ll’
d l
l
l
d ll
l
d ll
Termodinamica per quantificare l’energia interna del sistema e le sue grandezze principali e, come tale, l’energia interna veniva quantificata dall’energia vibrazionale delle singole “particelle” e dalla frequenza di vibrazione delle stesse. Fu Lord Rayleigh che per primo arrivò alla determinazione dell’energia associata ad una vibrazione, legandola alla temperatura assoluta secondo le formule seguenti:
l
d l f
l
  K  T Energia media associata ad una vibrazione
E ( )  K  T  2  Energia associata ad ogni frequenza
K = costante di Boltzmann= 1.3805x10‐23 (J/K)
 = frequenza
A distanziarsi da tali relazioni fu Wilheim Wien che, partendo da considerazioni semiempiriche giunse ad una diversa formulazione dell’energia media associata ad una vibrazione:
  b  exp( a / T )
dove i parametri a e b dipendono dalla frequenza della vibrazione.
2
Se confrontate con i risultati sperimentali della radiazione emessa da una cavità radiante le relazioni di Rayleigh e di Wi portano alle curve in figura.
Wien
t
ll
i fi
Per alte frequenze (basse lunghezze d’onda) la curva di Rayleigh non approssima assolutamente il comportamento sperimentale prevedendo, diversamente, quella che venne chiamata la “Catastrofe Ultravioletta”, ll h
hi
t l “C t t f Ult i l tt ”
ossia un’energia infinita a lunghezze d’onda inferiori a quelle della luce visibile.
Per basse frequenze invece è la legge di Wien a non aderire al comportamento sperimentale; tutto ciò d i
l
t
t
i
t l t tt iò
rendeva tali leggi non estendibili a tutto lo spettro ma solo ad una parte di esso. La distribuzione sperimentale della radiazione emessa da una cavità fu ottenuta grazie agli esperimenti condotti nel 1900 da due gruppi di
agli esperimenti condotti nel 1900 da due gruppi di ricercatori (Lummer e Pringsheim, Rubens e Kurlhaum) presso il Technische Physikalische Reichsanstalt di Berlino; dopo che ognuno di essi aveva ampiamente contribuito negli anni precedenti a perfezionare e costruire opportuni
negli anni precedenti a perfezionare e costruire opportuni strumenti di misura. Nel dettaglio Pringsheim perfezionò un radiometro infrarosso nel 1881, Lummer nel 1889 costruì un fotometro di precisione, nel 1893 Kurlhaum
perfezionò un bolometro e pochi anni dopo Rubens
perfezionò un bolometro e pochi anni dopo Rubens costruì una termopila sensibilissima.
3
Eneergia emessaa La misura sperimentale
p
della radiazione di una cavità ((1900))
Lunghezza d’onda
Il Quanto di Energia
g di Planck
Partendo dai risultati sperimentali ottenuti a Berlino Planck cercò di trovare una relazione matematica che approssimasse al meglio l’energia emessa da una cavità radiante; egli fece un’ipotesi, risultata poi rivoluzionaria, quella dei QUANTI DI ENERGIA. Non bisogna pensare che Planck avesse scoperto l’aspetto quantistico della materia ma la sua ipotesi serviva solo a trovare una relazione matematica che si accordasse con i risultati sperimentali. Egli partì da un approccio termodinamico considerando l’energia emessa, ed il campo elettromagnetico indotto, come prodotto da un insieme di oscillatori e, come dai suoi scritti, “si considera l’energia come composta si considera l’energia come composta = h
h. Dividendo di un numero del tutto determinato di parti uguali finite, o elementi di energia = l’energia da ripartire tra gli oscillatori di frequenza l’energia da ripartire tra gli oscillatori di frequenza ––‐ otteniamo il numero N() degli elementi di energia [quanti] che sono da ripartire tra gli oscillatori
energia [quanti] che sono da ripartire tra gli oscillatori”.
Così facendo Planck riuscì ad approssimare la curva sperimentale ottenuta a Berlino con la seguente relazione che rappresenta l’Energia spettrale totale dei quanti: 8 h
3
E ( )  3 
c exp( / K T )  1

c0  2.998 108  Velocità della lucenel vuoto m/s 
i f  Indicedi rifrazione (i f =1 per l'aria; i f =1.5 per acqua e vetro)
Mentre l’energia di un singolo Quanto è data da:
h c h c0
  h  


if  
c0
 Lunghezza d'onda m
i f 
 J 
  Frequenza Hz = s‐1 
h  Costante di Planck  6.6256 1034
 Js 
Bisogna attendere la teoria quantistica di Niels Bohr (1912), l’effetto fotoelettrico di Einstein (anticipato in una sua memoria del 1905), la lunghezza d’onda di De Broglie
i d l 1905) l l
h
d’ d di D B li (1924) ed i fotoni di Lewis (1926) per avere un quadro più completo (1924) d i f t i di L i (1926)
d
iù
l t
della radiazione emessa da un corpo. 4
Lo spettro
p
di emissione elettromagnetica
g
(1)
( )
Dalla equazione di Planck sul Quanto di energia emerge come alle frequenze più alte sia affidata la quantità specifica maggiore di energia Dalla teoria dei Fotoni segue che quando un Quanto di
energia. Dalla teoria dei Fotoni segue che quando un Quanto di Energia, da ora in avanti chiamato Fotone, colpisce un corpo esso induce sullo stesso effetti diversi a seconda del livello energetico del fotone. Se il fotone è associato ad una lunghezza d’onda compresa
compresa fra 0.1 e 100 m allora l
fra 0 1 e 100 m allora l’effetto
effetto è visibile a livello è visibile a livello
molecolare con un incremento dell’energia interna del corpo. Tale incremento di energia molecolare si manifesta come modifica di energia cinetica, rotazionale, Colore
 (m)
traslazionale e vibrazionale
traslazionale e vibrazionale Violetto
0.40 - 0.44 (Energia sensibile) e quindi di Blu
0.44 - 0.49 temperatura. E’ evidente che Verde
0.49 - 0.54 tale incremento termico Giallo
0.54 - 0.60 equipara lo scambio radiante ad equipara lo scambio radiante ad
Arancio
0.60 - 0.63 un vero e proprio scambio Rosso
0.63 - 0.76 termico, ma lo stesso non può dirsi qualora la radiazione elettromagnetica incidente su un corpo fosse di lunghezza d
onda diversa dal range
fosse di lunghezza d’onda
diversa dal range citato in precedenza. In tal citato in precedenza In tal
caso i fotoni incidenti darebbero luogo ad effetti diversi, come lo spostamento di elettroni interni all’atomo o di nucleoni all’interno del nucleo ma non porterebbero ad un aumento di temperatura del corpo Per tale ragione la Radiazione fra 0 1 e 100 m viene chiamata
corpo. Per tale ragione la Radiazione fra 0.1 e 100 m viene chiamata RADIAZIONE TERMICA.
5
Lo spettro
p
di emissione elettromagnetica
g
(2)
( )
Così come dei Fotoni incidenti su di un corpo possono indurre effetti termici è vero anche il contrario, ossia che un corpo emette fotoni di lunghezza d’onda compresa fra 0.1 e 100 micron in virtù dello stato energetico molecolare dello stesso. Si ò i di ff
Si può quindi affermare che qualunque corpo purché sia ad una temperatura superiore a 0 [K] emette radiazioni h
l
hé i d
i
0 [K]
di i i
elettromagnetiche/fotoni nel campo di lunghezze d’onda della Radiazione termica.
L’emissione di “Fotoni Termici” è in genere un fenomeno superficiale
fenomeno superficiale, ossia riguarda solo le molecole presenti nei primi micron di materiale; f
fanno eccezione i gas in cui l’emissione è di tipo volumetrico. Bisogna così i
i
i
i l’ i i
è di i
l
i Bi
ì
ricordare che se ci troviamo davanti a due superfici di materiale diverso, ad esempio legno ed acciaio, che normalmente a parità di temperatura emettono quantità diverse di radiazioni, qualora le stesse fossero verniciate con un analogo prodotto emetterebbero uguali quantità di i i
l
d
bb
li
i à di
energia radiante. La ragione è che la radiazione essendo superficiale è emessa dalla vernice e non più dal materiale base, di conseguenza le due superfici sono identiche da un punto di vista radiante.
Poiché la radiazione termica emessa da un corpo è direttamente collegata alla sua temperatura assoluta, come quest’ultima, può essere assunta come una PROPRIETA’ dello stesso. Più in generale la radiazione emessa dipenderà da: temperatura del corpo, angolo di emissione, lunghezza p
p
p , g
,
g
d’onda e materiale di cui è costituita la superficie del corpo stesso; tale proprietà prende il nome di INTENSITA’ DELL’EMISSIONE SPETTRALE DIREZIONALE. 6
Intensità dell’emissione spettrale
p
direzionale ((1))
Così come dei Fotoni incidenti su di un corpo possono indurre effetti termici è vero anche il contrario, ossia che un corpo emette fotoni di lunghezza d’onda compresa fra 0.1 e 100 micron in virtù dello stato energetico molecolare dello stesso. Si ò i di ff
Si può quindi affermare che qualunque corpo purché si trovi ad una temperatura superiore a 0 [K] emette radiazioni h
l
hé i
i d
i
0 [K]
di i i
elettromagnetiche/fotoni nel campo di lunghezze d’onda della Radiazione termica.
La radiazione emessa diventa così una proprietà della superficie e prende il nome di Intensità dell’Emissione Spettrale Direzionale (I,e). Tale grandezza dipende, oltre che dalla lunghezza d’onda, , anche dalla direzione angolare, più in generale dall’angolo solido. Angolo Solido
d 
dAn
r2
dAn  (r  sen  d )  (r  d )  r 2  sen  d  d
Angolo Solido
7
d  sen  d  d
Intensità dell’emissione
dell emissione spettrale direzionale (2)
Se un osservatore è posto ad un determinato angolo solido rispetto alla superficie emittente esso intercetta solo la proiezione della stessa lungo la direzione di vista, ossia dA1 cos. La radiazione spettrale che l’osservatore riceverà sarà così data da: ’
à à
ì
dq  I,e (,, )  d   dA1  cos   d  W 
in tal caso la radiazione monocromatica totale emessa dalla superficie sarà:
E (  ) 

2  /2
dq

dA1  d 

0
I,e (,, )  sen  cos   d  d W / m 2  m 


0
e ad essa viene dato il nome di Potere Emissivo Spettrale. Allo stesso modo la radiazione totale proveniente dalla superficie per tutte le lunghezze d’onda di emissione è calcolabile come:

E

E  d   W / m 2 


e prende il nome di Potere Emissivo.
0
p
p
,
Un caso particolare si verifica se la superficie emette in modo DIFFUSO, ossia l’intensità dell’emissione spettrale è la stessa sotto qualunque angolo solido:
2  /2
E ( )  I,e ( ) 
  sesen  cos  d  d  I
0
8
0
 ,e (  )  
E    Ie
Esercizio N.1
N1
Una piccola superficie di area A1=10‐3 [m2] emette in modo diffuso con una Intensità spettrale direzionale pari a 7000 [W/m2 sr m]. La radiazione emessa viene intercettata da 3 superfici poste nelle vicinanze ad una distanza radiale di 0.5 m]. La radiazione emessa viene intercettata da 3 superfici poste nelle vicinanze ad una distanza radiale di 0.5
[m] e secondo lo schema angolare riportato in figura. Si calcoli: l’intensità dell’emissione della superficie emittente in ognuna delle 3 direzioni, si calcolino gli angoli solidi ed, infine, si determini l’entità della radiazione che colpisce ognuna delle 3 superficie irraggiate.
SOLUZIONE
Poiché l’emettitore è DIFFUSO l’intensità dell’emissione spettrale direzionale è costante in tutti le direzioni. d  21 
dA2  cos2
r
d  3 1 
dA3
d  4 1 
dA4
r
r
2
2

2


103
 0.5 
2
103
 0.5 
2
10 3  cos30
 0.5 
2
 3.46
3 46  103 [sr ]
 4  10 3 [sr ]
 4  103 [sr ]
d 12  I,e  d21  dA1  cos 1  7000  3.46
dq
3 46  103  103  cos 60  12
12.1
1 10 3 [W /  m]
dq13  I,e  d3 1  dA1  cos 3  7000  4  103  103  cos0  28  10 3 [W /  m]
dq1 4  I,e  d 4 1  dA1  cos 4  7000  4  103  103  cos 45  19.8  10 3 [W /  m]
9
Intensità dell’irradiazione spettrale
p
direzionale
Come per la radiazione emessa da un corpo possiamo parlare di radiazione incidente verso un corpo, essa dipende dalle caratteristiche della radiazione, ossia dalla Intensità dell’Irradizione Spettrale Direzionale (I,i), dalla lunghezza d’onda, , e dalla direzione angolare. Procedendo come fatto in precedenza per il Potere Emissivo, è possibile introdurre una d ll di i
l
P
d d
f
i
d
il P
E i i è
ibil i
d
grandezza integrale, chiamata Irradiazione, con la quale è possibile determinare il flusso radiante, monocromatico e totale, che incide su di una superficie.
I di i
Irradiazione Spettrale
S tt l
2  /2
G ( ) 

0
I,i (,, )  sen  cos  d  d W / m 2  m 


0
Irradiazione Totale


G  G  d   W / m 2 


0
Un caso particolare si verifica se la superficie viene irradiata in modo DIFFUSO, ossia l’intensità
DIFFUSO, ossia l
intensità dell
dell’irradiazione
irradiazione spettrale è la stessa sotto spettrale è la stessa sotto
qualunque angolo solido:
2  /2
G ( )  I,i ( ) 
  sen  cos  d  d  I
0
10
0
 ,i (  )  
G    Ii
La Radiosità
L’energia radiante totale che lascia una superficie è data dalla somma dell’energia EMESSA dalla stessa e dalla porzione di Irradiazione RIFLESSA; essa prende il nome di RADIOSITA’ SPETTRALE o di RADIOSITA’ TOTALE, a seconda che ’
’
se ne valuti il contributo monocromatico o meno.
Radiosità Spettrale
2  /2
J ( ) 

0
I,e  r (,, )  sen  cos   d  d W / m 2  m 


0
R di ità T t l
Radiosità Totale

J

J  d   W / m 2 


0
Un caso particolare si verifica se la superficie emette in modo DIFFUSO e contemporaneamente, RIFLETTE anche, in modo DIFFUSO; in questo caso l’intensità associata all’emissione ed alla riflessione spettrale, I,e+r , è la stessa sotto qualunque angolo solido:
2  /2
J ( )  I,e  r ( ) 
  sen  cos  d  d  I
0
11
0
 ,e  r ( )  
J    Ie  r
La radiazione del Corpo Nero
Per valutare l’emissione Spettrale di una superficie reale risulta conveniente introdurre una superficie ideale di riferimento che, a parità di temperatura e lunghezza d’onda, emette più di ogni superficie reale. A tale superficie viene dato il nome di “Corpo Nero”; le sua caratteristiche principali sono: 1.
quella di essere un emettitore diffuso, la cui emissione dipende solo dalla temperatura del corpo e dalla lunghezza d’onda di p
p
g
emissione
2.
ad una determinata temperatura e lunghezza d’onda nessuna superficie può emettere più di un corpo nero
3.
assorbe tutte le radiazioni incidenti, indipendentemente dalla direzione e dalla lunghezza d’onda.
I,i
I,e  I,e  r
G  E ,b
Benché “Ideale” un corpo nero può essere realizzato mediante una Cavità dotata di una piccola apertura La cavità è
una Cavità dotata di una piccola apertura. La cavità è mantenuta a temperatura costante, ed al suo interno le pareti sono in genere, annerite onde poter assorbire completamente T=costante
le eventuali radiazioni che, dall’esterno, entrano nella fessura. Poiché l’apertura del corpo nero è molto piccola l’Irradiazione
Poiché l’apertura del corpo nero è molto piccola l’Irradiazione incidente che riuscirà ad entrare attraverso essa verrà mano a mano assorbita completamente, grazie alle successive riflessioni ed assorbimenti progressivi contro le pareti della cavità.
Contemporaneamente tutte le pareti interne della cavità emetteranno, magari anche in modo NON diffuso, ma poiché il foro di uscita è di dimensioni ridotte la radiazione che fuoriesce dal corpo avrà perso ogni caratteristica di Direzionalità e sarà così
di uscita è di dimensioni ridotte la radiazione che fuoriesce dal corpo avrà perso ogni caratteristica di Direzionalità e sarà così di tipo DIFFUSO. Nel 1900 presso il Technische Physikalische Reichsanstalt di Berlino fu realizzato il primo Corpo Nero.
12
La legge di distribuzione di Planck
Intensità di emissione spettrale del corpo nero
2 h c 02
I  ,b ( ,T ) 
 hKc T0

5
  e
 1




W
 2

 m   m  sr 
Potere emissivo spettrale del corpo nero
C1
E  ,b ( ,T )    I  ,b ( ,T ) 
 W

 m 2  m 


 C 2 T

  e
 1


Ovviamente la Legge di Distribuzione fornisce l’equazione di una superficie tridimensionale in un sistema di riferimento E,b –  – T; qualora si comprimesse sul piano E,b
, –  l’insieme delle sezioni isoterme della curva il risultato è quello riportato in figura. La radiazione dell’isoterma 5800 [K] è particolarmente importante in quanto tale temperatura è pari alla temperatura del mantello esterno del nostro SOLE, che viene assimilato ad un corpo nero. Dal grafico si evince molto chiaramente che il picco di radiazione emessa dal sole ricade proprio nel campo della radiazione visibile.
5
C 1  2    h  c 02  3.742  108 W   m 4 / m 2 
C 2  h  c 0 / K  1.439  10 4   m  K 
K  Costante di Boltzmann  1.3805  10 23  J / K 
13
Importante - nell’irraggiamento la temperatura è espressa sempre in Kelvin
Legge dello spostamento di Wien
Nel 1894 Willy Wien riuscì a determinare il luogo dei massimi della curva dei Planck; egli arrivo alla sua equazione utilizzando un approccio basato sulla termodinamica classica ma allo stesso risultato si giunge derivando la Legge di Distribuzione rispetto alla lunghezza d’onda, lasciando costante la temperatura. Nacque così quella che venne chiamata la LEGGE dello SPOSTAMENTO: d
(E,b )  0    T
d
Emissione del filamento
di tungsteno
max
 C3  2897.8 [  m  K ]
Grazie alla legge di Wien risulta molto semplice il calcolo della lunghezza d’onda per la quale si raggiunge il massimo del Potere Emissivo Spettrale del Corpo Nero. Se, ad esempio, p
p
,
p ,
pensiamo al filo di tungsteno di una lampadina ad incandescenza ,la sua temperatura in condizioni operative è di circa 3000 [K]. Dalla legge di Wien si può così calcolare:
 max 
2897.8
2897
8
 1 [  m]
3000
che indica un massimo nel range del basso infrarosso; così anche se la luce emessa dal filamento è Bianca, ossia porta con sé tutte le frequenze del d l fil
t è Bi
i
t
é t tt l f
d l
VISIBILE, non è in tale banda di emissione che ricade il contenuto energetico più alto. Parimenti l’emissione di un corpo umano avviene a circa 300 [K] ed il massimo di emissione cadrà intorno ai 10 micron, alto infrarosso; diversamente d l
dal caso precedente però nemmeno una piccola frazione del potere emissivo d t
ò
i l f i
d l t
i i
spettrale ricadrà all’interno del range del visibile.
14
Legge di Stefan-Boltzmann
Stefan Boltzmann
La legge di Distribuzione di Planck ci fornisce il Potere Emissivo Spettrale del Corpo Nero ma nulla ci dice del Flusso Radiante Totale che lascia lo stesso. La conoscenza del Potere Emissivo Totale è dovuta a J. Stefan e L. Boltzmann che integrando su tutto il campo di lunghezze d’onda l’equazione di Planck ottennero una semplice relazione:
E (T ) 


E (,T )  d  
0


0
  5.67  108 [W / m 2 K 4 ]
C1
 C2

T


   e
 1



 d    T 4
5
a tale soluzione viene dato il nome di LEGGE di STEFAN‐BOLTZMANN. Bisogna però specificare che l’integrazione della legge di Planck è possibile solo se estesa a tutto il range di lunghezze d’onda (soluzione al limite) mentre non consente soluzioni in forma chiusa per estremi di integrazione definiti.; è per questo che qualora fosse necessario calcolare solo una frazione spettrale del Potere Emissivo totale bisogna affidarsi a tabelle che la riportano, mediante il parametro
una frazione spettrale del Potere Emissivo totale bisogna affidarsi a tabelle che la riportano, mediante il parametro chiamato FATTORE DI BANDA. Esso rappresenta il rapporto fra il flusso radiante emesso dal corpo nero fra zero e la lunghezza d’onda di interesse e la radiazione totale dello stesso. Poiché il Fattore di Banda è funzione del prodotto  T è sulla base di tale parametro che viene tabellato.
F(0 )




0

0
15
E (,T )  d 
E (,T )  d 



0
E (,T )  d 
 T
4



0
E (,T )
 T
5
 d (  T )
Fattore di Banda
Alcune volte può essere interessante conoscere la frazione di flusso radiante che ricade in un settore intermedio della banda di emissione totale; in tal caso è possibile applicare la:
F( 1 2 )  F(02 )  F(01 )
A titolo di esempio ipotizziamo che il corpo umano si comporti come un emettitore totale (corpo nero) a 300 [K] e che si è interessati a conoscere quanta radiazione viene emessa dallo stesso nel range di lunghezze d
emessa dallo stesso nel range
di lunghezze d’onda
onda comprese fra 4 e 6 micron. Si calcolano i prodotti:
1  T  4  300  1200 [  m K ]
2  T  6  300  1800 [  m K ]
dalla tabella dei Fattori di Banda si determina: F((02 )  0.039341
F(01 )  0.002134
F( 1 2 )  F(02 )  F(01 ) 
 0.039341  0.002134 
 0.037207
6

E (,T )  d   0
0.037207
037207    T 4  17
17.09
09 [W / m 2 ]
4
16
 T [m K ]
F(0 )
 T [m K ]
F(0 )
LL’emissione
emissione radiante di superfici reali
Solo per il Corpo Nero sono disponibili delle relazioni analitiche che consentono il calcolo della Radiazione
monocromatica e totale, a differenza da esso un corpo reale presenta un’emissione dipendente, più in generale,
d ll’
dall’angolo
l solido,
lid dalla
d ll lunghezza
l
h
d’ d e dalla
d’onda
d ll temperatura.
t
t
E’ evidente
id t cosìì che
h le
l equazioni
i i di Planck
Pl k e Stefan‐
St f
Boltzmann non sono direttamente applicabili ad un corpo reale. Per qualificare l’emissione del corpo reale è stata
introdotta una grandezza adimensionale, chiamata EMISSIVITA’, che rappresenta il rapporto fra l’emissione del corpo
reale e quello di un corpo nero a pari temperatura e lunghezza d’onda; è una sorta di efficienza radiante della superficie
che
h assume valore
l
unitario
it i per un corpo nero e cii qualifica
lifi la
l bontà
b tà radiante
di t della
d ll superficie
fi i reale.
l Nel
N l caso più
iù generale
l
l’EMISSIVITA’ sarà funzione dell’angolo solido, della lunghezza d’onda e della temperatura, dando origine a quella che è
chiamata :EMISSIVITA’ SPETTRALE DIREZIONALE.
Emissività Spettrale Direzionale Emissività Totale Direzionale
Emissività Totale Direzionale I (,,T )
 (,,T )  e
Ib (T )
Emissività Spettrale Emisferica
  (,T ) 
E (,T )
E,b (,T )
Emissività Totale Emisferica
 (T ) 
17
E (T )
Eb (T )
 , (,,,T ) 
I ,e (,,,T )
I,b (,T )
Emissività
Generalmente le superfici reali mostrano un comportamento radiante dipendente dall’angolo solido di emissione, la
dipendenza è influenzata dalla superficie del materiale in funzione della sua capacità di condurre o meno cariche
elettriche.
l
i h I materiali
i li CONDUTTORI mostrano una emissività
i i i à direzionale
di i
l quasii costante fino
fi ad
d un angolo
l di zenith
i h di
circa 40 gradi, per poi aumentare e, successivamente, decadere rapidamente a zero. I materiali NON CONDUTTORI
mostra una emissività direzionale costante fino a circa 70° per poi diminuire gradualmente fino a zero. Benché le
emissività dei due materiali siano sensibilmente diverse è però vero che il valore di ognuno di essi è per gran parte della
regione emisferica vicino al valore misurato per un angolo di zenith
i
if i
i i
l l
i
t
l di
ith
nullo; è ragionevole, pertanto assumere in prima approssimazione :  (,,T )   (,0,T )   n (,T )
Il valore “Normale” dell’Emissività, n ,
è disponibile nella maggior parte dei
testi specializzati, sia nella versione
monocromatica che in quella totale.
Molto interessante è la dipendenza
dell’emissività spettrale dai diversi tipi
di materiale, generalmente le superfici
non
conduttrici
presentano
un’emissività superiore; una stessa
superficie metallica, se ossidata
superficialmente,
aumenta
sensibilmente la sua emissività
(l’ossido è isolante).
18
Pelle umana
Cemento
Acciaio lucidato
Acciaio ossidato
Vernici
Carta bianca
Mattone rosso
Acqua
Neve
Legno
Suolo
0.98
0.95
0.07
0.79
0.8‐0.9
0.7‐0.9
0.93
0.96
0.85
0.90
0.92
Dipendenza spettrale e termica dell
dell’emissività
emissività
19
Corpo Grigio
Proprio a causa della forte variabilità dell’emissività dei corpi reali per calcoli pratici si assume che un corpo reale
presenta un’emissività spettrale costante. In questo modo il potere emissivo del corpo reale avrà un andamento simile a
quello
ll del
d l corpo nero, anche
h se scalato
l
di una quantità
i à proporzionale
i
l alla
ll temperatura.
Tale approssimazione non è
applicabile a tutte le
superfici in quanto molti
materiali, ad esempio la
pelle umana, sono selettivi,
presentano
cioè
alte
emissività in certe bande
spettralil e basse
b
in altre.
l
In
questo caso si assume che la
superficie
si
comporti
comunque come un corpo
grigio, ma la
l sua emissività,
à
benché costante all’interno
di una determinata banda,
varia da banda a banda di
l
lunghezze
h
d’ d
d’onda.
Più
praticamente
l’emissività
spettrale ha un andamento a
gradini.
20
Assorbimento Riflessione e Trasmissione
Assorbimento,
Quando una radiazione colpisce una superficie, parte di essa viene Assorbita, parte Trasmessa
Assorbita
Trasmessa e parte Riflessa
Riflessa. L’entità di tali contributi energetici dipendono: dalle caratteristiche della superficie e dal tipo di radiazione incidente
Radiazione Incidente (W/m2)
G
G  G rifl .  G tras .  G ass .    G    G    G
Ognuna delle porzioni energetiche può essere
descritta come prodotto di un “coefficiente” per
l’Irradianza incidente. Tali coefficienti sono in realtà
delle vere e proprie proprietà del materiale e ne
indicano la capacità dello stesso di Assorbire,
Riflettere o Trasmettere la radiazione incidente. E’
evidente che il comportamento del materiale può
essere “Selettivo” per cui, più in generale,
2
Radiazione Assorbita (W/m ) l’equilibrio energetico deve essere scritto come:
Radiazione Riflessa (W/m2)
G
G
G   G  ,rifl .  G  ,tras .  G  ,ass . 
    G     G      G 
G
Radiazione Trasmessa (W/m2)
21
1     
1        
Riflessione ed Assorbimento di diversi materiali
La maggior parte dei materiali risulta
spettralmente selettiva nell’Assorbire
come nel Riflettere la radiazione incidente.
La neve (snow) presente un’alta Riflettività
nel campo del Visibile ma è un Assorbitore
totale nell’Infrarosso, lo stesso vale per la
vernice Bianca. La vernice Nera,
diversamente, presenta un elevato
coefficiente di Assorbimento per tutte le
lunghezze d’onda. La foglia di granturco
(Corn Leaf) presenta un assorbimento
elevato nell’Ultravioletto ma uno scarso
assorbimento nel Rosso e nel Basso
Infrarosso, nel medio Infrarosso torna a
crescere ill Coefficiente
ff
d Assorbimento.
di
b
Comportamento analogo viene mostrato
dalla pelle umana che risulta mediamente
riflettente nel visibile ma assorbente
nell’Ultravioletto
ll’ l
l
e nell’Infrarosso.
ll’ f
22
Trasmissione selettiva ed Effetto Serra
La radiazione che incide sul vetro viene da questi trasmessa alla superficie che ne assorbe una parte e ne riflette il rimanente. Della porzione riflessa, che è alla stessa lunghezza d’onda di quella incidente, il vetro lascia passare quasi tutto (
(esso è infatti trasparente nel visibile). La radiazione emessa
èi f i
l i ibil )
di i
d ll
dalla superficie invece, essendo questa a 300 K, viene riflessa fi i i
d
i
ifl
dal vetro, che è opaco all’infrarosso; ciò porta ad un inevitabile riscaldamento della superficie stessa e dell’intercapedine di aria. A tale fenomeno si da il nome di EFFETTO SERRA.
T = 5800 K
 max 
2897, 8
2897
 0,5  m
5800
Vetro
Radiazione emessa
dalla superficie
Radiazione trasmessa dal
vetro
T=300 K
23
 max 
2897, 8
 9, 6  m
300
Legge di Kirchoff
Si immagini uno scambio radiante fra due superfici poste alla stessa temperatura, in equilibrio termico, di cui una delle due si comporta come un Corpo Nero. La quantità di radiazione che lascia la i‐esima superficie e che viene intercettata dalla j esima superficie sarà pari a
superficie e che viene intercettata dalla j‐esima superficie sarà pari a:
dqi , j  Ii  cos i  dAi  d  j ,i  Ii 
cos i  cos  j
R
2
 dAi  dA j
Se la superficie i‐esima è un corpo nero la relazione diventa: dqi , j  Ib (T ) 
Di cui però la superficie j‐esima ne assorbirà solo una porzione dipendente dal suo coefficiente di Assorbimento.
dqi , j
ass.
   , j (T j )  Ib (Ti ) 
cosi  cos  j
R2
 dAi  dA j
La radiazione emessa dalla superficie j‐esima è invece data da:
dq j ,i  Ie  cos  j  dA j  d i , j  Ie 
cos j  cos i
 dAi  dA j
R2
ricordando la definizione di Emissività spettrale
cosi  cos j
d j ,i    , j (T j )  Ib (T j ) 
dq
 dAi  dA j
2
R
Poiché le due superfici sono in equilibrio termico ed alla stessa temperatura si arriva alla LEGGE DI KIRCHOFF:
  (T )    (T )
24
cos i  cos  j
R
2
 dAi  dA j
Fattore di Vista
Come fatto in precedenza proviamo a calcolare la porzione di radiazione proveniente da una superficie i‐esima ed
incidente su di una superficie j‐esima concentrandoci nella determinazione del contributo globale e non infinitesimo.
qi , j 
 dq   I
i, j
er

cos i  cos  j
R2
 dAi  dA j
Se si assume che la superficie i‐esima emette e
riflette in modo DIFFUSO è possibile estrarre
dall’integrale l’Intensità della radiazione e,
ricordando la definizione di Radiosità, arrivare alla:
qi , j  J i 

cos i  cos  j
  R2
 dAi  dA j
Ricordando che la Radiosità è il flusso radiante totale che lascia una superficie, somma di quello emesso e di quello
riflesso, si ha che la radiazione massima che parte dalla superficie i‐esima ed incide sulla j‐esima è, in linea teorica, pari
alla Radiosità della prima superficie per l’area associata a tale Radiosità parte.
qi , j
 Ji  Ai
Dividendo il flusso reale per quello massimo si arriva a
max
definire un parametro di Efficienza che, a sua volta, dipende
qi , j
cos i  cos  j
1
solo da grandezze geometriche e che viene chiamato


 dAi  dA j  Fi , j
FATTORE DI VISTA (Fi,j):
A
q
  R2
qi , j  Ji  Ai  Fi , j
25
i , j max
a
i

Relazioni fra i Fattori di Vista
Se ripetiamo il discorso precedente per la superficie j‐esima avremo:
q j ,i  J j 

cos i  cos  j
 R
2
 dAi  dA j
q j ,i
max
 J j  Aj
1


Aj
F j ,i
Poiché l’integrale è lo stesso in ambedue le definizioni dei fattori di vista si avrà:
Chi
Chiamata
RELAZIONE DI RECIPROCITA’ dei
d i Fattori
F
i di Vista.
Vi

cos i  cos  j
  R2
 dAi  dA j
F j ,i  A j  Fi , j  Ai
Esiste un’altra importante relazione sui Fattori di Vista: la cosiddetta REGOLA DELLA SOMMA. Se immaginiamo uno
scambio radiante all’interno di una cavità si avrà che ogni superficie irradierà ognuna delle altre, oltre che se stessa,
qualora fosse concava. In tal caso la somma di tutte le frazioni di radiazione che lasciano la superficie ii‐esima
esima ed incidono
sulle altre superfici deve uguagliare la radiazione totale fuoriuscente dalla superficie stessa:
qi  Ji  Ai  Ji  Ai  Fi ,1  Ji  Ai  Fi ,2  Ji  Ai  Fi ,3        Ji  Ai  Fi ,N
F
i, j
j
L’insieme delle DUE relazioni sui Fattori di Vista permette di ridurre
sensibilmente il numero di incognite infatti se lo scambio avviene fra N
superfici per ognuna di essere bisogna conoscere N Fattori di Vista, così
che il numero di incognite totali è pari a N2. Dalla Regola della Somma
otteniamo però N equazioni e dalla RELAZIONE DI RECIPROCITA’ ne
otteniamo ben N (N‐1)/2 così che il numero di incognite finali si riduce a :
Ninc  N 2  N 
26
N 1
N 1
N 
N
2
2
1
Fattori di Vista
27
Fattori di vista fra lastre piane (forma grafica)
F12
F12
L2 / W
L2 / D
28
Fattori di vista fra dischi paralleli (forma grafica)
29
L Regola
La
R l della
d ll Sovrapposizione
S
i i
e della
d ll Simmetria
Si
i dei
d i Fattori
F
i di Vi
Vista
Molte volte, in particolari geometrie, non è possibile reperire grafici o relazioni sui fattori di vista; ci si può aiutare facendo uso della ;
p
Regola di SOVRAPPOSIZIONE che recita “il fattore di vista di una superficie i‐esima verso una superficie j‐esima è uguale alla somma dei fattori di vista dalla superficie i‐esima alle diverse parti della superficie j‐esima”.
p f
j
F
F
F
1 (2,3)
1 2
1 3
A1  F1 (2,3)  A1  F1 2  A1  F1 3  ( A2  A3 )  F (2,3)  1
A 2  F 2  1  A 3  F 3  1  ( A 2  A 3 )  F (2,3)  1
F (2,3) 1 
A 2  F 2 1  A 3  F 3 1
( A2  A3 )
Un’altra regola importante a cui rispondono i Fattori di Vista è quella della SIMMETRIA
per la quale “se due o più superfici sono simmetriche ad una terza esse avranno fattori di
vista identici dalla stessa”. Più precisamente se 2 superfici Ai e Ak sono poste
simmetricamente rispetto ad una superficie Aj si avrà che: Fj,i = Fj,k e, quindi, Fi,j = Fk,i .
Se applichiamo la regola, ad esempio, ad una geometria piramidale, ed ipotizziamo che le
superfici emettano e riflettano in modo diffuso, si avrà: F 12  F 13  F 14  F 15
Per la Regola della Somma si avrà:
5
F
i 1
30
1i
 F 11  F 12  F 13  F 14  F 15  1
F 12  F 13  F 14  F 15  0.25
F 11  0
Scambio radiante fra CORPI NERI e CORPI GRIGI
Si ipotizzi uno scambio radiante fra due corpi neri posti a temperatura diversa
l’uno dall’altro. La radiazione che lascia la superficie i‐esima e viene
intercettata dalla superficie j‐esima verrà assorbita completamente, così come
la sua reciproca. Si avrà pertanto:
qi , j  Ji  Ai  Fi , j
q j ,i  J j  A j  F j ,i


Qi , j  Ji  Ai  Fi , j  J j  A j  Fj ,i  (Ji  J j )  Ai  Fi , j

Qi , j  (Eb,i  Eb, j )  Ai  Fi , j    Ai  Fi , j  Ti 4  T j 4

[W ]
Nel caso di scambio radiante fra due corpi grigi la relazione è diversa dovuta
al parziale assorbimento della radiazione da parte di ognuno di essi.
qi  (Ji  Gi )  Ai
Gi 
Ji   i  Eb,i
1 i
Ji   i  Eb,i  i  Gi
qi  ( J i 
Qi , j  (Ji  J j )  Ai  Fi , j 
31
Ji  J j
1
Ai  Fi , j
Ji   i  Eb,i
1 i

Ji  J j
Ri , j
i  1   i  1   i
Eb,i  Ji Eb,i  Ji

1 i
Ri
 i  Ai
Eb, j  J j Eb,i  Ji
qj 

1  j
Rj
)  Ai 
 j  Aj
Radiazione fra più superfici (1)
Un corpo reale può essere rappresentato come un corpo nero rivestito superficialmente da una pellicola “reale”; in tal caso l
la radiazione del corpo nero nel giungere alla superfici di i
d l
l i
ll
fi i
esterna attraversa una resistenza radiante superficiale che è data nella figura a fianco. Q i 
N

j 1
Ji  J j
Ri , j
Eb.i  Ji   Ti 4  Ji   Ti 4  Ji

Qi 


[W ]
1 i
1 i
Ri
 i  Ai
 i  Ai
 [W ]
In condizioni stazionarie il flusso radiante che lascia la superficie i‐esima è uguale alla somma di tutti i flussi che da tale superficie giungono alle altre vicine.
Nel caso di scambio fra DUE sole superfici si avrà:
  Ti 4  Ji

Qi 
[W ]
1 i
 i  Ai
Q i , j
32
Ji  J j
Q i . j 
[W ]
1
Fi j  Ai
  T j 4  Ji

Qj 
[W ]
1  j
 j  Aj
  Ti 4    T j 4
  (Ti 4  T j 4 )


[W ]
1 i
1 i
1
Rtot


 i  Ai Fi j  Ai  i  Ai
Q i  Q i , j  Q j
Radiazione fra più superfici (2)
Grazie a quanto detto in precedenza è possibile arrivare alla determinazione dei Flussi radianti rilasciate dalle diverse superfici che concorrono allo scambio; si ricorda che le superfici devono comportarsi come emettitori e riflettori diffusi e che le temperature delle stesse non devono differire molto l’una dall’altra affinché valga la Legge di Kirchoff
che le temperature delle stesse non devono differire molto l’una dall’altra, affinché valga la Legge di Kirchoff.
Eb,1  J1
R1
Eb,2  J2
R2
Eb,3  J3
R3
Sfere Concentriche
A    (T14  T24 )
Q i , j  1
2
1 1   2  r1 

 
1
 2  r2 
33

J1  J2 J1  J3

0
R12
R13

J1  J2 J2  J3

0
R12
R23

J2  J3 J1  J3

0
R23
R13
Cilindri Concentrici di lunghezza infinita
A    (T14
Q i , j  1
1 1 2

1
2
 T24 )
r 
 1 
 r2 
Schermatura della Radiazione
Un settore interessante dello scambio termico radiante
è quello delle tecniche per la riduzione
dell’irraggiamento fra due superfici grigie.
grigie Ciò può
essere ottenuto interponendo fra le superfici dei sottili
strati di materiale a bassa emissività, in tal caso la
radiazione scambiata si ridurrà secondo le relazioni
riportate di seguito.
seguito
Q 1,2
senza schermo

  A  (T14  T24 )
1
1
Q 1,2
1 schermo
Q 1,2
N  schermi
34
1
2
1
  (T14  T24 )
  A  (T14  T24 )


1   3,1 1   3,2
1  1
1 2
1
1

1 1
  1
1







1



1
1  A1 F13  A1  3,1  A3  3,2  A3 F 32  A3  2  A2  1  2    3,1  3,2 


4
4
  A  (T1  T2 )


 1

1 1
  1
1
1


1



1

......



1




 


 1  2
   3,1  3,2
N
,1
N
,2



Per corpi ad uguale emissività
1   2   3,1
3 1         N ,1
1 
si giunge alla :

Q 1,2
N  schermi

  A  (T14  T24 )
1 1 
(N  1)     1
 


1
 Q 1,2
senza schermi
(N  1)
F1,3
13  F 2
2,3
3 1
A1  A2  A3  A