Transcript LE FUNZIONI REALI: classificazione e dominio

LE FUNZIONI REALI: classificazione e dominio
Introduzione alle funzioni
Il concetto di funzione già nel XVII secolo rappresenta una dipendenza tra due grandezze: dire che y è funzione di x
significa che assegnato un valore alla grandezza x possiamo determinare la grandezza y, ossia y varia al variare di x.
Per un’introduzione alle funzioni leggere il file .pdf al seguente indirizzo:
https://docs.google.com/file/d/0B8-OfseXoc5heFBuR0RaaVdDYU0/edit?usp=sharing
Le funzioni reali di variabile reale
Abbiamo definito funzione f:A→B come legge che associa ad ogni x del dominio A una e una sola immagine y=f(x) con
y∈B.
Parliamo di funzione reale a variabile reale ( in seguito funzione) se gli insiemi A e B sono sottoinsiemi non vuoti di R,
sia la variabile indipendente x sia la variabile dipendente y appartengono all’insieme dei reali ; potremmo quindi
rivedere la nostra definizione di funzione reale come legge che associa ad ogni numero reale appartenente ad A uno e
un solo numero reale appartenente a B.
Riprendiamo le definizione di :
Dominio: o campo di esistenza: il più ampio sottoinsieme di R costituito da tutti e soli i valori della x per cui
esistano finiti i corrispondenti valori di y = f(x)
{
}
( )
Codominio: è il sottoinsieme di R costituito da tutti gli elementi y corrispondenti a valori di x appartenenti al
dominio della funzione
{
}
( )
1
Grafico : l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini
{(
( )}
)
Una funzione reale spesso viene espressa attraverso un’espressione analitica del tipo
oppure viene definita per casi (o a tratti) per mezzo di diverse espressioni a seconda del valore della variabile
indipendente:
1
Per rappresentare il grafico di una funzione
 con tablet o uno smartphone Android: puoi utilizzare app di calcolatrici grafiche come Algeo o
Grapher o Mathlab (quest’ultima lavora offline come calcolatrice ma la versione gratuita necessita di
collegamento internet per i grafici) oppure puoi scaricare l’app di Geogebra
(https://play.google.com/store/apps/details?id=org.geogebra) o lavorare con la sua interfaccia al
seguente indirizzo: http://www.geogebra.org/web/web_gui/ o oppure utilizzare la
calcolatrice grafica online di Desmos : https://www.desmos.com/calculator ;
 con il pc: puoi scaricare Geogebra anche in versione portatile dal sito http://www.geogebra.org oppure se
utilizzi il browser Chrome scaricare dal suo store l’applicazione di geogebra
(http://geogebraweb.appspot.com/app.html) oppure l’app della calcolatrice grafica di Desmos;
 con iPad e iPhone: puoi utilizzare l’app della calcolatrice grafica di Desmos
(https://itunes.apple.com/it/app/desmos-graphing-calculator/id653517540?mt=8) .
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{
Classificazione delle funzioni reali
Le funzioni possono essere classificate in base alla loro espressione analitica:
 Funzioni algebriche, per le quali il valore y della variabile dipendente si ottiene, a partire dal valore x della
variabile indipendente, eseguendo un numero finito di operazioni algebriche.
Ricordiamo che, nell'ambito dei numeri reali, sono chiamate algebriche le seguenti operazioni: addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza n-esima, estrazione di radice n-esima (con
n∈N0).
 Funzioni razionali intere: la variabile indipendente x compare solo al numeratore, fan parte di
questo gruppo tutte le funzioni polinomiali
Esempi:
retta : y=7x+8

Funzioni razionali fratte: la variabile indipendente x compare anche al denominatore

Funzioni irrazionali : con la variabile indipendente x vengono eseguite operazioni di estrazione di
radice
 Con indice di radice pari
√

Con indice di radice dispari
√
 Funzioni trascendenti tutte le funzioni che non rientrano tra le algebriche, ad es. funzioni goniometriche,
funzioni logaritmiche, funzioni esponenziali.
Esempi:
(
)
Ricerca del dominio delle funzioni reali
Dobbiamo ora comprendere come ricercare il dominio delle funzioni: a questo insieme apparterranno tutte le x per
cui sia possibile svolgere i calcoli in R e determinare una e una sola y.
Funzioni algebriche razionali intere
Abbiamo visto che sono tutte le funzioni polinomiali, è sempre possibile svolgere i calcoli quindi:
Condizione : nessuna
}
[
Dominio : {
Dom=]
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Funzioni algebriche razionali fratte
In questo caso è presente l’operazione di divisione: sappiamo che questa è possibile solo se il denominatore non si
annulla perché nei reali non è definita la divisione per zero.
Condizione : Denominatore diverso da zero
} Dom=]
[ ]
[
Dominio : {
]
[
Esempi:
Es. 1
Pongo il denominatore diverso da zero:
]
[
]
[
Es. 2
Pongo il denominatore diverso da zero:
]
[
]
[
]
[
Funzioni algebriche irrazionali
In questo caso dobbiamo controllare l’indice di radice:
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-
Indice di radice pari: non possiamo trovare il risultato reale di una radice quadrata (o di indice 4, 6,…) di un
numero negativo, quindi
Condizione : Argomento della radice maggiore o uguale a zero
}
Dominio : {
Esempi:
Es. 3
√
Pongo l’argomento maggiore o uguale a zero:
[
[
Es. 4
√
Pongo l’argomento maggiore o uguale a zero:
]
]
-
]
]
[
]
[
]
Indice di radice dispari: potendo sempre eseguire l’operazione di radice terza, quinta,… basta controllare
l’esistenza dell’argomento della radice: ad esempio se abbiamo
numeri reali R, se abbiamo
√
√
il dominio sarà l’insieme dei
si dovrà porre il denominatore x+8 diverso da 0 e quindi x≠8.
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Funzioni esponenziali (solo y=ag(x) con a>0 e a≠1 , a∈R)
Considerando solo il caso di funzioni esponenziali con base un numero reale positivo diverso da 1, per determinarne il
dominio basterà considerare il dominio dell’esponente g(x) ( si ricadrà quindi in uno dei casi precedenti: razionale
intero, razionale fratto, irrazionale con indice pari o dispari).
Funzioni logaritmiche (solo
( ) con a>0 e a≠1, a∈R)
Nel caso indicato si deve porre l’argomento del logaritmo maggiore di zero:
Condizione : Argomento maggiore di zero
}
( )
Dominio : {
( )
Funzioni trigonometriche
( )
In questi casi basta che esista l’argomento g(x) ( si ricadrà quindi in uno dei casi precedenti: razionale intero, razionale
fratto, irrazionale con indice pari o dispari).
( )
Funzioni trigonometriche
La funzione tangente non esiste quando l’argomento è uguale a π/2 ± kπ (k intero), si deve quindi porre l’argomento
g(x) diverso da π/2 ± kπ:
Condizione : Argomento diverso da π/2 ± kπ
Dominio : {
}
Riassumendo…. Per la ricerca del dominio di una funzione





Si inizia considerando tutto R quindi…..
Se la variabile indipendente compare al denominatore: porre sempre il denominatore diverso da zero;
Se la variabile indipendente compare sotto una radice di indice pari: porre sempre l’argomento della radice
maggiore o uguale a zero;
Se la variabile indipendente compare con il logaritmo: porre sempre l’argomento del logaritmo maggiore di
zero;
Se la variabile indipendente compare con la tangente: porre sempre l’argomento della tangente diversa da
π/2+kπ con k intero;
Se la variabile indipendente compare con la cotangente: porre sempre l’argomento della cotangente diversa
da kπ con k intero;
Per una sintesi puoi vedere http://www.slideshare.net/lpasini/il-dominio-di-vari-tipi-di-funzione oppure
http://www.matweb.netsons.org/file/pdf/matematica/Schema%20riassuntivo%20domini.pdf .
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