Transcript cinematica rigida

Esercitazione di Meccanica Razionale – 18 novembre 2014
Laurea in Ingegneria Meccanica – Latina
Quesito 1. Si consideri un cilindro rigido libero in moto rispetto a un osservatore. Sia O il
punto occupato dal centro di massa del cilindro all’istante t, sia ~a un versore parallelo all’asse
del cilindro allo stesso istante e sia ~b un versore ortogonale all’asse del cilindro allo stesso
istante. Sia ~vt (O) la velocit`a di tale elemento all’istante t e ω
~ (t) la velocit`a angolare del
moto rigido allo stesso istante. Si dica se l’atto di moto `e traslatorio o rotatorio all’istante t
e, qualora possibile, si determini l’asse di istantanea rotazione e l’asse di Mozzi, nei seguenti
casi
1. ~vt (O) = 0 e ω
~ = λ~a;
2. ~vt (O) = v0~a e ω
~ = 0;
3. ~vt (O) = v0~a e ω
~ = λ~a;
4. ~vt (O) = v0~a e ω
~ = λ~b;
5. ~vt (O) = v0~b e ω
~ = λ~a;
~ = λ~b.
6. ~vt (O) = v0~b e ω
Si determini l’energia cinetica del cilindro nei casi 1, 2 e 3.
Quesito 2. Si consideri un cono rigido libero in moto rispetto a un osservatore. Sia O il
punto occupato dal centro di massa del cono all’istante t, sia ~a un versore parallelo all’asse
del cono allo stesso istante e sia ~b un versore ortogonale all’asse del cono allo stesso istante.
Sia ~vt (O) la velocit`a di tale elemento all’istante t e ω
~ (t) la velocit`a angolare del moto rigido
allo stesso istante. Si dica se l’atto di moto `e traslatorio o rotatorio all’istante t e, qualora
possibile, si determini l’asse di istantanea rotazione e l’asse di Mozzi, nei seguenti casi
1. ~vt (O) = 0 e ω
~ = λ~a;
2. ~vt (O) = v0~a e ω
~ = 0;
3. ~vt (O) = v0~a e ω
~ = λ~a;
4. ~vt (O) = v0~a e ω
~ = λ~b;
5. ~vt (O) = v0~b e ω
~ = λ~a;
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6. ~vt (O) = v0~b e ω
~ = λ~b.
Si determini l’energia cinetica del cono nei casi 1, 2 e 3.
Quesito 3. Si consideri il moto di una sbarretta rigida di lunghezza ` vincolata in modo che
i due estremi si muovano su due rette mutuamente perpendicolari e concorrenti in un punto
(ellissografo).
Si determinino la base e la rulletta, si disegni l’immagine della rulletta nello spazio delle
posizioni dell’osservatore fisso in corrispondenza della quattro posizioni in cui la sbarretta
giace sulle rette e le quattro posizioni in cui la sbarretta forma l’angolo di π/4 con le due
rette.
Si determini la traiettoria descritta dagli elementi solidali alla sbarretta; si individui
ciascun elemento con la sua distanza s da uno degli estremi della sbarretta.
Quesito 4. Si consideri il moto piano di un disco rigido a contatto con una retta. Si
determini la condizione di puro rotolamento, si costruisca un modello cinematico a un grado
di libert`a, si esprima la velocit`a angolare in termini della coordinata lagrangiana considerata.
Si esprima l’energia cinetica in termini della coordinata lagrangiana considerata.
Nel caso di puro rotolamento si determinino la base e la rulletta e si determini la traiettoria descritta dall’elemento solidale al disco che all’istante iniziale `e a contatto con la retta.
Quesito 5. Si consideri il moto piano di un disco rigido di raggio r a contatto dall’interno
con una circonferenza di raggio R > r.
Si determini la condizione di puro rotolamento, si costruisca un modello cinematico a
un grado di libert`a, si esprima la velocit`a angolare in termini della coordinata lagrangiana
considerata, si esprima l’energia cinetica in termini della coordinata lagrangiana considerata.
Nel caso di puro rotolamento si determinino la base e la rulletta; nel caso r = R/2 si
determini la traiettoria descritta da un elemento sul bordo del disco.
Quesito 6. Si consideri il moto piano di un disco rigido di raggio r a contatto dall’esterno
con una circonferenza di raggio R > r.
Si determini la condizione di puro rotolamento, si costruisca un modello cinematico a
un grado di libert`a, si esprima la velocit`a angolare in termini della coordinata lagrangiana
considerata, si esprima l’energia cinetica in termini della coordinata lagrangiana considerata.
Nel caso di puro rotolamento si determinino la base e la rulletta.
Quesito 7. Si consideri il moto una sfera rigida di raggio r a contatto con una superficie
piana. Si determini la condizione di puro rotolamento usando gli angoli di Eulero.
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Quesito 8. Si consideri il moto una sfera rigida di raggio r a contatto con una superficie
piana. Si determini la condizione di puro rotolamento usando gli angoli di Cardano.
Quesito 9. Si consideri il moto di un cilindro circolare retto rigido a contatto con una
superficie piana.
Si determini la condizione di puro rotolamento, si costruisca un modello cinematico a
un grado di libert`a, si esprima la velocit`a angolare in termini della coordinata lagrangiana
considerata, si esprima l’energia cinetica in termini della coordinata lagrangiana considerata.
Quesito 10. Si consideri il moto di un cono circolare retto rigido a contatto con una superficie
piana.
Si determini la condizione di puro rotolamento, si costruisca un modello cinematico a
un grado di libert`a, si esprima la velocit`a angolare in termini della coordinata lagrangiana
considerata, si esprima l’energia cinetica in termini della coordinata lagrangiana.
Quesito 11. Si consideri un corpo rigido piano di massa m distribuita in modo uniforme la
cui forma `e un quadrato di lato a al quale `e stato praticato un foro circolare di diametro a
con centro coincidente con il centro del quadrato.
Si determini un riferimento principale d’inerzia relativo a uno dei vertici del quadrato e
la relativa matrice principale d’inerzia.
Quesito 12. Si consideri un corpo rigido piano di massa m distribuita in modo uniforme la
√
cui forma `e un disco di raggio r al quale `e stato praticato un foro quadrato di lato r 2 con
centro coincidente con il centro del disco.
Si determini un riferimento principale d’inerzia relativo a uno dei vertici del quadrato e
la relativa matrice principale d’inerzia.
Quesito 13. Si consideri una lamina rigida circolare di raggio r e di massa m distribuita in
modo uniforme.
Si determini un riferimento principale d’inerzia relativo a un punto sul bordo del disco e
la relativa matrice principale d’inerzia.
Si determini la matrice d’inerzia relativa al riferimento solidale con origine nello stesso
punto, un asse ortogonale al piano della lamina e uno che forma l’angolo α ∈ (0, π/2) (fissato)
con il diametro del disco passante per l’origine.
Quesito 14. Si consideri una lamina rigida di massa m distribuita in modo uniforme a forma
di corona circolare di raggio interno r1 e raggio esterno r2 .
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Si determini un riferimento principale d’inerzia relativo a un punto sul bordo esterno
della corona e la relativa matrice principale d’inerzia.
Si determini la matrice d’inerzia relativa al riferimento solidale con origine nello stesso
punto, un asse ortogonale al piano della lamina e uno che forma l’angolo α ∈ (0, π/2) (fissato)
con il diametro della corona passante per l’origine.
Quesito 15. Si consideri una lamina rigida di massa m distribuita in modo uniforme a forma
di corona circolare di raggio interno r1 e raggio esterno r2 .
Si determini un riferimento principale d’inerzia relativo a un punto sul bordo interno
della corona e la relativa matrice principale d’inerzia.
Si determini la matrice d’inerzia relativa al riferimento solidale con origine nello stesso
punto, un asse ortogonale al piano della lamina e uno che forma l’angolo α ∈ (0, π/2) (fissato)
con il diametro della corona passante per l’origine.
Quesito 16. Una sbarretta di lunghezza ` e massa m distribuita uniformemente si muove
rispetto a un osservatore mantenendo fisso un suo elemento posto a distanza r da uno degli
estremi della sbarretta.
Si discuta il numero di gradi di libert`a del sistema, si introducano le coordinate lagrangiane, si esprimano in termini delle coordinate lagrangiane le coordinate del centro di
massa, la velocit`a angolare, il momento angolare totale calcolato rispetto al punto fisso e
l’energia cinetica.
Quesito 17. Una lamina circolare omogenea di raggio r e massa m con un elemento del
suo bordo fisso rispetto a un osservatore si muove mantenendosi verticale. In altri termini
durante il moto una retta solidale alla lamina, a questa ortogonale e passante per il punto
fisso si mantiene nel piano orizzontale passante per il punto fisso.
Si mostri che il sistema `e a due gradi di libert`a, si introducano le coordinate lagrangiane,
si esprimano in termini delle coordinate lagrangiane le coordinate del centro di massa, la
velocit`a angolare, il momento angolare totale calcolato rispetto al punto fisso e l’energia
cinetica.
Quesito 18. Una lamina quadrata omogenea di lato a e massa m con un vertice fisso rispetto
a un osservatore si muove mantenendosi verticale. In altri termini durante il moto una retta
solidale alla lamina, a questa ortogonale e passante per il punto fisso si mantiene nel piano
orizzontale passante per il punto fisso.
Si mostri che il sistema `e a due gradi di libert`a, si introducano le coordinate lagrangiane,
si esprimano in termini delle coordinate lagrangiane le coordinate del centro di massa, la
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velocit`a angolare, il momento angolare totale calcolato rispetto al punto fisso e l’energia
cinetica.
Quesito 19. Una lamina omogenea di massa m `e stata ottenuta saldando un elemento del
bordo di un disco di raggio r a un elemento del bordo di un secondo disco di raggio 2r. La
saldatura `e effettuata in modo che il punto di saldatura e i centri dei due dischi giacciano su
una stessa retta.
Si determini il centro di massa della lamina.
Si determini il riferimento principale d’inerzia relativo al punto di saldatura e la relativa
matrice d’inerzia. Si determini la matrice d’inerzia relativa a un riferimento con origine nel
punto di saldatura, un asse ortogonale alla lamina e un secondo asse nel piano della lamina
che forma l’angolo π/4 con la retta passante per i due centri dei dischi originari e per il punto
di saldatura.
Quesito 20. Una lamina quadrata omogenea di lato a e massa m con il punto medio di uno
dei suoi lati fisso rispetto a un osservatore si muove mantenendo tale lato orizzontale.
Si mostri che il sistema `e a due gradi di libert`a, si introducano le coordinate lagrangiane,
si esprimano in termini delle coordinate lagrangiane le coordinate del centro di massa, la
velocit`a angolare, il momento angolare totale calcolato rispetto al punto fisso e l’energia
cinetica.
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