Transcript Lo scopo del posizionamento

Lo scopo del posizionamento
Stimare posizioni di punti con le osservazioni disponibili:
il problema è intrinsecamente deficiente di rango
per stimare posizioni è necessario vincolare i gradi di libertà del
problema.
E' necessario definire il sistema di riferimento
In progressione di complessità:
caso 1D, caso 2D, caso 3D.
Sistemi di riferimento in una dimensione
(asse reale o caso delle quote)
P
Per calcolare la posizione di P...
Sistemi di riferimento in una dimensione
1
P
0
Per calcolare la posizione xP di P devono essere introdotte
un'unità di misura delle lunghezze e un'origine.
Viene introdotto un Sistema di Riferimento
x
Sistemi di riferimento in una dimensione
xP
0
Una differente origine...
P
x
Sistemi di riferimento in una dimensione
xP
0
0'
P
x
x'P
P
Una differente origine implica un differente valore x'P
x'
Sistemi di riferimento in una dimensione
0
P
x
x'P
0'
t
0'
xP
P
x'
0
x 'P = xP + t
x'-x
t = x ' P − xP = O − O '
La lezione del caso monodimensionale
Dato il sistema di riferimento,
la posizione di un punto è la sua
distanza (con segno o orientata) dall'origine.
L'analogo con la quota
Si deve definire la quota origine:
ad esempio il livello medio mare.
Sistemi di riferimento bidimensionali
(caso planimetrico)
P
Si definiscono due assi ortogonali,
!"
!"
ad esempio E (Est) e N (Nord).
Si definisce un'unità di misura delle
lunghezze.
Si è definito il sistema di riferimento.
Sistemi di riferimento bidimensionali
Le coordinate di un punto sono le sue
proiezioni ortogonali sugli assi
N
P
NP
Nota
P è il punto
!"
p è il vettore fra l'origine e P
⎡ E
P
p=⎢
⎢ NP
⎣
p
⎤
⎥ è la posizione di P
⎥
⎦
rispetto agli assi assegnati.
0
EP
E
Sistemi di riferimento bidimensionali
effetto di un cambio di origine
N
N'
Siano
!" !" !" !"
E , N e E ', N '
P
due sistemi di riferimento
NP
N'P
0
0'
EP
con assi paralleli
ma diversa origine.
E'P
E
E'
Sistemi di riferimento bidimensionali
effetto di un cambio di origine
N'
N
⎡ E' ⎤ ⎡ E ⎤
p'− p = ⎢
⎥−⎢
⎥=t
⎣ N' ⎦ ⎣ N ⎦
t + p = p'
= 0 − 0'
P
p
t
0
p'
0'
E
t è la posizione dell'origine del
primo sistema di riferimento vista
nel secondo sistema di
riferimento: traslazione.
E'
Sistemi di riferimento bidimensionali
effetto di una rotazione degli assi
N'
N
P
NP
r
E'
0
EP
E
Sistemi di riferimento bidimensionali
effetto di una rotazione degli assi
N
N'
P
NP
r
E'
N'P
E'P
0
EP
E
Sistemi di riferimento bidimensionali
effetto di una rotazione degli assi
⎡ E' ⎤ ⎡
=⎢
p' = ⎢
⎥
P⎣ N ' ⎦ ⎣
⎡ E ⎤ ⎡
p=⎢
⎥=⎢
⎣ N ⎦ ⎣
N
N'
NP
r
cos r sin r ⎤ ⎡ E ⎤
⎥⎢
⎥
− sin r cos r ⎦ ⎣ N ⎦
cos r − sin r ⎤
⎥ p'
sin r cos r ⎦
E'
N'P
E'P
0
EP
E
p' = Rp,p = R T p' ⇒ R T R = RR T = I
Sistemi di riferimento bidimensionali
composizione di traslazione e rotazione
p ' = t + Rp, p = R T (p '− t ) = R T p '− R T t = R T p '+ t '
Si consideri un fattore di scala, ovvero un eventuale rapporto
fra unità di misura delle lunghezze nei due sistemi di riferimento.
p ' = t + λ Rp, p = λ −1R T (p '− t ) = λ −1R T p '+ t '
La lezione del caso a due dimensioni
Data l'unità di misura
vengono imposti l'origine e l'angolo di direzione.
Un criterio equivalente
Si materializza un punto, cui si assegna una posizione,
si impone l'angolo di azimut a un secondo punto.
Mediante
osservazioni opportunamente combinate,
si determinano posizioni di altri punti.
SR in tre dimensioni
!" !"
! !"
Tre assi x1 , x2 , x3 con origine comune,
ortogonali e tali da formare una terna
destrogira,
l'unità di misure delle lunghezze
!" !" !"
(ovvero tre versori versori e1 ,e2 ,e3 ).
Le coordinate di un punto sono le lunghezze delle sue proiezioni
ortogonali sui tre assi.
Il vettore fra due punti è la differenza orientata delle coordinate dei
due punti.
I gradi di libertà di un
sistema 3D
Data l'unità di misura delle
lunghezze:
una traslazione dell'origine,
ovvero 3 gradi di libertà.
!
due angoli di direzione ortogonali per un asse: α1 ,α 2 per x 3 ,
un angolo di rotazione attorno allo stesso asse: α3.
La trasformazione fra SR
Due sistemi di riferimento, I e II ,
con diversa origine, diverso orientamento degli assi
e fattore di scala λ
t = [t1 t2 t3 ]T : coordinate dell’origine di I rispetto a II ,
R:
rotazione per
portare paralleli gli assi di I a quelli di II .
⎡ x1 ⎤
Sia P un punto con coordinate x PI = ⎢ x2 ⎥ in I .
⎢ ⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦ P ,I
Le coordinate di P in II sono date dalla
⎡ x1 ⎤
⎢ x ⎥ = x = t + λ Rx
PII
PI
⎢ 2⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦ P ,II
Rotazione 3D: matrice [3 × 3], ma solo tre angoli indipendenti!
In ambito geodetico R è attuata mediante la composizione di tre
opportune rotazioni piane rispetto ai tre assi.
0
0 ⎤
⎡1
R1 (r1 ) = ⎢0 cos r1 sin r1 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 − sin r1 cos r1 ⎥⎦
⎡cos r2
R 2 (r2 ) = ⎢ 0
⎢
⎢⎣ sin r2
0 − sin r2 ⎤
1
0 ⎥
⎥
0 cos r2 ⎥⎦
⎡ cos r3
R 3 (r3 ) = ⎢ − sin r3
⎢
⎢⎣ 0
sin r3
cos r3
0
0⎤
0⎥
⎥
1 ⎥⎦
L’ordine della composizione di tre rotazioni piane consecutive non è
indifferente:
nell'ambito geodetico si adotta la sequenza
R1 ⇒ R 2 ⇒ R3, ovvero R(r1 , r2 , r3 ) = R3 (r3 )R 2 (r2 )R1 (r1 ),
R dipende dai tre angoli r1 , r2 , r3:
la trasformazione dipende in totale da 7 parametri.
Trasformazione di Helmert oppure trasformazione di similarità.
La definizione di un sistema di riferimento globale 3D
Data l'unità di misura,
vengono fissati la traslazione e tre angoli di direzione.
International Terrestrial Reference System:
viene assegnata un'unità di misura standard delle lunghezze,
origine nel centro di massa della Terra,
!"
asse x3 (Z ) diretto lungo l'asse di rotazione convenzionale terrestre,
!"
asse x1 ( X ) sul piano ortogonale a Z (equatore convenzionale
terrestre), allineato al meridiano fondamentale di Greenwich.
La materializzazione di un sistema di riferimento 3D
Effettuiamo osservazioni fra punti sulla superficie della Terra,
non effettuiamo osservazioni di posizione rispetto al geocentro,
all'asse di rotazione terrestre e al meridiano fondamentale.
Una volta definiti, i SR vengono materializzati mediante
reti di stazioni permanenti o caposaldi le cui coordinate sono stimate
e pubblicate in cataloghi.