Transcript In questo paragrafo vengono riportati degli esempi di progetto e

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Doc_b10_(3).doc
12.7 Esempi di progetti e verifiche elementi strutturali sottoposti a torsione secondo
l’Eurocodice 2 (E.C.2)
In questo paragrafo vengono riportati degli esempi di progetto e verifica di elementi
strutturali in conglomerato armato sottoposti a sollecitazioni di flessione, taglio e torsione
allo stato limite ultimo. In particolare, per le barre di armatura nervate si è fatto riferimento
alla classe di acciaio S440 (con tensione caratteristica di snervamento pari a 440 N/mm2).
Inoltre, per la verifica delle sezioni inflesse (o presso-tensoinflesse) verrà eseguita la verifica
a rottura tramite tracciamento del semidominio resistente della sezione, utilizzando per le
compressioni del conglomerato il modello dello “stress block” e per il legame costitutivo
dell’acciaio il modello della bilatera con incrudimento (massimo allungamento unitario degli
acciai tesi imposto al valore 10/1000). Per il progetto spedito delle sezioni, si utilizzerà il
metodo parametrico, descritto al paragrafo 10.10.
Nota. Gli esempi contrassegnati con un asterisco sono stati svolti seguendo le indicazioni
della EN 1992-11: 2005 (con 1,0 cotg 2,5 ); mentre, quelli senza contrassegno sono
stati svolti seguendo le indicazioni della ENV 1992-1-1 con le aggiunte del NAD italiano (con
1,0 cotg 2,0 ). Si ricorda che, secondo l’E.C.2 (NAD), i calcoli di progetto delle staffe
possono essere effettuati separatamente, per la torsione e per il taglio a patto che l’angolo delle bielle equivalenti di calcestruzzo abbiano il medesimo valore sia per la torsione che per
il taglio. Nel calcolo delle staffe al taglio e alla torsione si è sempre posto (quando possibile)
cotg = 1, 0 , favorendo un maggiore quantitativo di staffe rispetto ai ferri longitudinali
aggiuntivi, Ciò allo scopo di conferire al conglomerato in compressione una migliore
cerchiatura.
ESEMPIO 1 (progetto condizionato). Si progetti, per semplicità, la sola armatura a torsione
di un elemento strutturale pressoinflesso di sezione trasversale 40 cm x 50 cm, sottoposto ad
una coppia torcente di progetto pari a TSd = 3, 65 tm = 3,65 10 5 daNcm . Si ipotizzi che
l’elemento sia stato confezionato con un conglomerato C20/25 e con acciai nervati del tipo
S440. Si ammetta, infine, che l’ambiente esterno consenta un ricoprimento delle armature più
esterne pari a c = 2,0 cm e che le armature longitudinali presenti siano di diametro 20 mm
avvolte da una staffatura chiusa a due bracci di diametro 8 mm (vedere sezione in figura
12.10).
Inserire figura:
728
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ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_10.tif
Figura 12.10 – Sezione trasversale elemento strutturale pressoinflesso: armature a torsione da
progettare.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 106 daN / cm 2 (tab. 9.3);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 N / mm 2 (tab. 9.3);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (40 cm) (50 cm) = 2000 cm 2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(40 cm) + (50 cm)]= 180 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
Atot (2000 cm 2 )
t=
=
11 cm > 2 C = 2 (c + staffe ) = 2 (2, 0 cm + 0,8 cm) = 5,6 cm .
pest
(180 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(50 cm) (11 cm)] [(40 cm) (11 cm)] = 1131 cm 2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(50 cm) (11 cm) + (40 cm) (11 cm)] = 136 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
= 0,7 (0,7 fck [ N / mm 2 ] / 200) = 0,7 [0, 7 (20 N / mm 2 ) / 200] = 0,42 0, 35 .
Verifica nei confronti dello schiacciamento delle bielle convenzionali di conglomerato
compresso.
Assumendo per sicurezza cotg = 2, 0 , si ha (minimizzando il valore di TRd1 ):
2 fcd t Ak 2 fcd t Ak 2
TSd TRd1 =
=
= fcd t Ak .
cotg + tg
2,0 + tg45°
3
Infatti, sostituendo i valori numerici:
2 0, 42 (106daN / cm 2 ) (11 cm) (1131 cm2 )
TSd = 3, 65 10 5 daNcm TRd 1 =
3, 69 10 5 daNcm
3
La verifica a non schiacciamento è positiva, anche se al limite. In teoria si può utilizzare un
qualsiasi valore di cotg [1, 0; 2, 0] per il calcolo delle armature. Essendo, però, la verifica a
schiacciamento del puntone quasi al limite, si sceglie cotg = 1, 0 . Analogamente al taglio,
ciò vuol dire calcolare il quantitativo di armature a torsione più alto possibile.
Calcolo armature a torsione (staffe).
Uguagliando la sollecitazione torcente di progetto alla resistenza ultima a torsione delle sole
staffe, si ha:
F
TSd = TRd 2 = 2 Ak 1s fyd cotg .
ts
Adottando, come da ipotesi, staffe chiuse a due bracci di diametro 8 mm si ha:
F1s = 1 8 = 1 (0, 50 cm2 ) .
Adottando, cotg = 1, 0 , si calcola il passo delle staffe (per sola torsione) tramite la formula:
2 Ak F1s fyd cotg 2 Ak F1s f yd 1
ts =
=
.
TSd
TSd
Sostituendo i valori numerici, si ha:
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ts =
2 (1131 cm 2 ) (0, 50 cm 2 ) (3830 daN / cm2 )
11, 9 cm .
(3, 65 10 5 daNcm)
Assumendo un passo effettivo pari a ts = 10 cm < 11,9 cm , risulta verificata anche la
prescrizione da Normativa:
u
(136 cm)
ts = 10 cm k =
= 17 cm .
8
8
Calcolo armature longitudinali aggiuntive per torsione.
Uguagliando la sollecitazione torcente di progetto alla resistenza ultima a torsione delle sole
armature longitudinali aggiuntive, si ha:
Fil
TSd = TRd 2 = 2 Ak fyd .
u k cotg
Si calcola, quindi:
T u cotg
.
Fil
= Sd k
min
2 Ak f yd
( )
Sostituendo i valori numerici, si ha (con = 45° ):
T u cotg ( 3,65 105 daNcm) (136 cm) 1
Fil
= Sd k
=
5,73 cm2 .
min
2 (1131 cm 2 ) (3830 daN / cm 2 )
2 Ak f yd
( )
Adottando almeno 4 barre agli spigoli delle staffe e due barre di parete (per un totale di 6
barre) si calcola la sezione minima della singola barra longitudinale aggiuntiva:
Fil
5, 73 cm 2
min
=
0, 96 cm 2 .
6
6
Si adottano, quindi, delle barre aggiuntive di diametro 12 mm ( 112 = 1, 13 cm2 > 0,96 cm2 ).
Pertanto, su ciascuno spigolo, si avrà:
120 + 112 = 3,14 cm2 + 1,13 cm2 = 4,27 cm2 .
Adottando delle barre di diametro 24 mm, si ha:
124 = 4,52 cm 2 > 1 20 + 112 = 3, 14 cm 2 + 1, 13 cm 2 = 4,27 cm2 .
Pertanto, su ciascuno dei quattro spigoli, si sostituiranno delle barre del diametro di 24 mm al
posto delle barre di diametro 20 mm. Infine, si disporranno 1 + 1 12 come barre di parete, in
modo che la distanza tra le armature longitudinali si mantenga ovunque inferiore ai 35 cm. La
figura 12.11 riporta una proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata.
( )
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_11.tif
730
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Figura 12.11 – Proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata. Sollecitazioni taglianti non
considerate, per semplicità di trattazione.
ESEMPIO 2 (progetto condizionato). Si progettino le sole armature a torsione per una
sezione rettangolare di dimensioni 30 cm x 65 cm, con ricoprimento delle armature più
esterne pari a c = 3,0 cm e armata al più con barre longitudinali di diametro 20 mm (si
considerino anche comprese le armature aggiuntive per torsione). La sezione sia sottoposta ad
un momento torcente di calcolo pari a:
TSd = 6,0 tm = 6, 0 105 daNcm .
Si ammetta, infine, che i materiali utilizzati siano C30/37 per il conglomerato e S440 nervato
per gli acciai e che siano trascurabili gli effetti per sollecitazioni taglianti.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 159daN / cm 2 (tab. 9.3);
conglomerato (C30/37):
fck = 300 daN / cm 2 = 30 N / mm2 (tab. 9.3);
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
acciai (S440):
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (30 cm) (65 cm) = 1950 cm2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(30 cm) + (65 cm)]= 190 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
A
(1950 cm 2 )
t = tot =
10 cm > 2 C = 2 (c + staffe ) = 2 (3,0 cm + 0, 8 cm) = 7,6 cm .
pest
(190 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(65 cm) (10 cm)] [(30 cm) (10 cm)] = 1100 cm2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(65 cm) (10 cm) + ( 30 cm) (10 cm)] = 150 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
= 0,7 (0,7 fck [ N / mm 2 ] / 200) = 0,7 [0, 7 (30 N / mm2 ) / 200] = 0,38 0,35 .
Calcolo inclinazione delle bielle compresse (rottura conglomerato).
Si utilizza la relazione (rottura bielle conglomerato compresso):
2 fcd t Ak
TSd TRd1 =
.
cotg + tg
Ponendo, per sicurezza, cotg = 2, 0 (e quindi con tan = 0,5 ), si calcola il minimo valore
del massimo taglio di calcolo che porta il puntone compresso allo schiacciamento:
2 fcd t Ak 2 0, 38 (159 daN / cm 2 ) (10 cm) (1100 cm 2 )
TRd1 =
=
531700 daN ;
2, 0 + 0,5
cotg + tg
ma risultando TSd = 6,0 10 daN > TRd1 = 5, 32 10 daN , conviene isolare la somma delle
5
5
due funzioni trigonometriche, imponendo la condizione TSd = TRd 1 . Si calcola, quindi:
2 fcd t Ak 2 0, 38 (159daN / cm 2 ) (10 cm) (1100 cm 2 )
=
2, 21 ;
TSd
(6, 0 105 daNcm)
a cui corrisponde circa un angolo 32° > 26, 57° , con cotg 1,60 compreso all’interno
dei limiti imposti da Normativa.
cotg + tg =
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Nota. L’E.C.2 impone per l’angolo suddetto il seguente intervallo: 26, 57° 45° . A tale
intervallo corrisponde la seguente limitazione: 1 cotg 2 .
Calcolo delle armature a torsione (sole staffe).
Utilizzando la relazione:
F
TSd TRd 2 = 2 Ak 1s fyd cotg ,
ts
Imponendo TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
F1s
ts max
TSd
(6, 0 10 5 daNcm)
=
=
0,0445 cm2 / cm .
2
2
2 Ak fyd cotg 2 (1100 cm ) (3830 daN / cm ) 1, 60
Adottando, in particolare, staffe del diametro di 8 mm si ha: F1s = 1 8 = 0, 50 cm 2 . Pertanto, si
calcola:
F1s
0, 50 cm 2
ts max =
=
11 cm .
4, 45 cm 2 / m 0,0445 cm 2 / cm
Si adotta, quindi un passo pari a ts = 10 cm < 11cm . Risultando così:
ts = 10 cm <
uk (150 cm)
=
18 cm .
8
8
Calcolo delle armature a torsione (barre longitudinali aggiuntive).
Si utilizza la seguente formula:
Fil
TSd TRd 2 = 2 Ak fyd .
uk cotg
Uguagliando TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
( F )
il
min
=
TSd u k cotg (6, 0 10 5 daNcm) (150 cm) 1, 60
=
17,1 cm2 .
2 (1100 cm 2 ) (3830daN / cm 2 )
2 Ak f yd
Utilizzando 4 barre agli spigoli e altre 4 barre distribuite uniformemente lungo i bracci delle
staffe (per un totale di 8 barre), si ha:
Fil
17, 1cm 2
min
= 2, 14 cm2 .
8
8
Si possono, quindi, utilizzare barre di diametro pari a 18 mm: 118 = 2, 54 cm2 > 2,14cm 2 . Le
barre aggiuntive così disposte distano tra loro meno di 35 cm.
( )
ESEMPIO 3 (progetto condizionato). Una trave corta L = 2,0 m e di sezione trasversale
pari a 40 cm x 60 cm è sottoposta in mezzeria ad un carico concentrato di progetto pari a P =
9,0 t e dotato di un’eccentricità, rispetto al centro di taglio, pari a e = 70 cm. Progettare le
armature al taglio e a torsione dell’elemento strutturale. Ipotizzare che l’elemento strutturale
sia stato confezionato con un conglomerato del tipo C20/25 e con acciai nervati del tipo S440.
Supporre, infine, un ricoprimento delle armature più esterne pari a c = 2,5 cm e delle staffe
chiuse a due bracci del diametro di 10 mm.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 106 daN / cm 2 (tab. 9.3);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 N / mm 2 (tab. 9.3);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
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Calcolo altezza utile sezione resistente (assumendo orientativamente h h = 5 cm ):
h = H h = (60 cm) (5,0 cm) = 55 cm .
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (40 cm) (60 cm) = 2400 cm2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(40 cm) + (60 cm)] = 200 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
A
(2400 cm 2 )
t = tot =
= 12 cm > 2 C = 2 (c + staffe ) = 2 (2, 5 + 1, 0) cm = 7, 0 cm .
pest
(200 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(60 cm) (12 cm)] [(40 cm) (12 cm)]= 1344 cm 2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(60 cm) (12 cm) + (40 cm) (12 cm)] = 152 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
= 0,7 (0,7 fck [ N / mm 2 ] / 200) = 0,7 [0, 7 (20 N / mm 2 ) / 200] = 0,42 0, 35 .
Calcolo sollecitazioni di progetto.
Calcolo massima forza tagliante:
VSd = 0, 5 P = 0, 5 (9,0 t) = 4, 5 t = 4500 daN .
Calcolo massimo momento torcente:
( 40 cm) b
TSd = 0, 5 P e + = 0, 5 (9000 daN) (70 cm) +
405000 daNcm .
2 2
Calcolo verifica a non schiacciamento biella compressa di conglomerato (taglio +
torsione).
Per sole staffe, essendo = 90° , si ha (imponendo per sicurezza cotg = 2, 0 ):
cotg
2
VRd 2 = fcd bm h = 0,42 (106 daN / cm 2 ) (40 cm) ( 55 cm) 39100 daN .
2
1+ cotg 1+ 4
Risulta, inoltre, per la sola torsione (sempre con cotg = 2, 0 e con 26° 3 0 ):
2 fcd t Ak 2 fcd t Ak
TRd1 =
=
= 0,8 fcd t Ak =
cotg + tg
2, 0 + 0, 5
= 0, 8 0, 42 (106 daN / cm 2 ) (12 cm) (1344 cm2 ) 574000 daNcm .
Risultando:
2
2
2
2
(4500 daN) (405000 daNcm) VSd TSd +
0,51 1
+
= V T (39100 daN ) (574000 daNcm) Rd 2
Rd 1
la verifica è positiva.
Calcolo armature al taglio (solo staffe).
Si fissa cotg = 1, 0 . Ponendo VRsd = VSd , si calcola:
f VSd
( 4500 daN)
1s =
=
2,37 cm 2 / m .
t s max 0,9 h fyd 0,9 (0, 55 m) ( 3830daN / cm2 )
taglio
Calcolo armature a torsione (sole staffe).
Si pone cotg = 1, 0 e si utilizza la relazione:
F
TSd TRd 2 = 2 Ak 1s fyd cotg ,
ts
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Imponendo TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
F1s
ts max
TSd
(4, 05 10 5 daNcm)
=
0, 040 cm 2 / cm .
2 Ak fyd cotg 2 (1344 cm 2 ) ( 3830daN / cm2 ) 1
=
Pari a una sezione di armatura resistente per metro lineare:
2 F 1s
2 (0,040 cm 2 / cm) = 0,08 cm 2 / cm = 8,0 cm 2 / m .
ts max torsione
Calcolo staffatura (taglio + torsione).
Agendo il taglio e la torsione contemporaneamente, la sezione complessiva di acciaio
resistente (staffe) per metro lineare dell’elemento strutturale deve risultare:
f 2 F 1s
1s +
= 2,37 cm2 / m + 8,0 cm2 / m = 10, 37 cm2 / m .
t s max ts max taglio
torsione
Adottando staffe del diametro di 10 mm, risulta un passo massimo:
f1s
2 (0,79 cm2 )
ts max =
=
0,152 m = 15, 2 cm .
(10, 37 cm 2 / m) (10, 37 cm2 / m)
Si adotta quindi un passo effettivo di 15 cm. Pertanto, vista la contenuta luce della trave, si
armerà la stessa con un’unica staffatura in ragione di 110 / 15 . Risultando così:
u
(152 cm)
ts = 15 cm < k =
19 cm .
8
8
Calcolo armature a torsione (longitudinali aggiuntive).
Uguagliando TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
( F )
il
min
=
TSd u k cotg
(4, 05 10 5 daNcm) (152 cm) 1
=
6, 0 cm 2 .
2 (1344 cm 2 ) (3830daN / cm2 )
2 Ak f yd
Utilizzando 4 barre agli spigoli e 2 barre di parete (per un totale di 6 barre), si ha:
Fil
6, 0 cm 2
min
= 1, 0 cm2 .
6
6
Si possono, quindi, utilizzare barre di diametro pari a 12 mm: 112 = 1, 13 cm2 > 1, 0 cm 2 . Le
barre aggiuntive così disposte distano tra loro meno di 35 cm.
( )
ESEMPIO 4 (procedura di verifica). Verificare una sezione 40 cm x 60 cm in conglomerato
armato sottoposta ad un momento torcente di calcolo pari a TSd = 7,0 tm = 7,0 10 5 daNcm e
armata con un quantitativo di staffe per metro lineare pari a:
F1s
= 8,0 cm 2 / m = 0, 08 cm 2 / cm .
ts
Supponendo di poter trascurare le sollecitazioni taglianti e ipotizzando l’utilizzo di un
conglomerato C25/30 e degli acciai nervati del tipo S440, si verifichino le armature
longitudinali aggiuntive nei seguenti due casi:
cotg = 1 ;
cotg = 2 ;
sapendo che le barre aggiuntive disposte per la sola torsione sono 6 barre di diametro 22 mm
(4 barre agli spigoli della staffa e due barre di parete). Si assuma, infine, un ricoprimento
delle armature più esterne pari a c = 2,5 cm e una staffatura chiusa a due bracci di diametro
10 mm.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
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Doc_b10_(3).doc
conglomerato (C25/30):
fcd = 133daN / cm2 (tab. 9.3);
fck = 250 daN / cm 2 = 25 N / mm 2 (tab. 9.3);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (40 cm) (60 cm) = 2400 cm2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(40 cm) + (60 cm)] = 200 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
A
(2400 cm 2 )
t = tot =
= 12 cm > 2 C = 2 (c + staffe ) = 2 (2, 5 + 1, 0) cm = 7, 0 cm .
pest
(200 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(60 cm) (12 cm)] [(40 cm) (12 cm)]= 1344 cm 2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(60 cm) (12 cm) + (40 cm) (12 cm)] = 152 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
= 0,7 (0,7 fck [ N / mm 2 ] / 200) = 0,7 [0, 7 (20 N / mm 2 ) / 200] = 0,42 0, 35 .
Verifica nei confronti dello schiacciamento delle bielle convenzionali di conglomerato
compresso (torsione pura).
Si calcola per la sola torsione, ponendo prima cotg = 1 (e quindi con tg = 0, 5 ):
2 fcd t Ak 2 fcd t Ak
TRd1 =
=
= fcd t Ak =
cotg + tg
2
= 0, 42 (133daN / cm 2 ) (12 cm) (1344 cm 2 ) 9,0110 5 daNcm.
Risultando TRd1 = 9,01 10 5 daNcm > TSd = 7,0 10 5 daNcm la verifica è positiva.
Si calcola per la sola torsione, ponendo poi cotg = 2 (e quindi con tg = 0, 5 ):
2 fcd t Ak 2 fcd t Ak
TRd1 =
=
= 0,8 fcd t Ak =
cotg + tg
2 + 0, 5
= 0, 8 0, 42 (133daN / cm2 ) (12 cm) (1344 cm 2 ) 7, 20 10 5 daNcm.
Risultando TRd1 = 7,20 105 daNcm > TSd = 7, 0 10 5 daNcm la verifica è positiva.
Verifica staffatura (per torsione pura).
Nel caso di cotg = 1 (valore che minimizza la resistenza TRd2 ), risulta:
F
TRd2 = 2 Ak 1s fyd cotg =
ts
= 2 (1344 cm2 ) (0, 08 cm 2 / cm) (3830daN / cm2 ) 1 8, 23 10 5 daNcm .
Essendo TRd2 = 8, 23 10 5 daNcm > TSd = 7, 0 10 5 daNcm , l’armatura trasversale è sufficiente.
A maggior ragione, quindi, nel caso di cotg = 2 .
Verifica armature longitudinali aggiuntive (torsione pura).
Nel caso sempre di cotg = 1 (e quindi con tg = 1 ), si ha:
( F )
il
min
=
TSd u k cotg
(7, 0 105 daNcm) (152 cm) 1
=
10, 36 cm2 .
2 (1344 cm 2 ) (3830daN / cm2 )
2 Ak f yd
Conseguentemente, nel caso di cotg = 2 , l’armatura raddoppia:
735
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
( F )
il
min
=
TSd u k cotg
(7, 0 10 5 daNcm) (152 cm) 2
=
2 (10, 36 cm2 ) = 20,72 cm2 .
2 (1344 cm 2 ) (3830daN / cm2 )
2 Ak f yd
Essendo presenti 6 barre longitudinali aggiuntive di diametro 22 mm, risulta:
6 22 = 6 (3, 80 cm2 ) = 22, 81cm2 > 20, 72 cm 2 .
Pertanto, l’armatura longitudinale aggiuntiva disposta soddisfa ampiamente la verifica.
ESEMPIO 5 (verifica dimensioni sezione). Supponendo che si possano trascurare le
sollecitazioni di taglio puro, si verifichi che la sezione 40 cm x 60 cm di un elemento
strutturale in conglomerato armato sia sufficiente per il dimensionamento delle armature a
torsione, quando sottoposta ad un momento torcente ultimo pari a TSd = 3, 5 tm . Si assuma un
ricoprimento delle armature longitudinali (comprese le armature trasversali) pari a C = 4 cm.
Si assuma, inoltre, un conglomerato di classe C20/25.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 106 daN / cm 2 (tab. 9.3);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 N / mm 2 (tab. 9.3);
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (40 cm) (60 cm) = 2400 cm2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(40 cm) + (60 cm)] = 200 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
Atot (2400 cm 2 )
t=
=
= 12 cm > 2 C = 2 (c + staffe ) = 2 (4, 0 cm) = 8,0 cm .
pest
(200 cm)
Volendo considerare, per sicurezza, il valore minore, si pone t = 2 C = 8, 0 cm .
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente (con t = 8,0 cm ):
Ak = ( H t) (b t) = [(60 cm) (8 cm)] [(40 cm) (8 cm)] = 1664 cm2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(60 cm) (8 cm) + ( 40 cm) (8 cm)]= 84 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
= 0,7 (0,7 fck [ N / mm 2 ] / 200) = 0,7 [0, 7 (20 N / mm 2 ) / 200] = 0,42 0, 35 .
Verifica dimensioni sezione elemento strutturale alla massima compressione delle bielle
di conglomerato (torsione pura).
Il massimo momento torcente (ad incipiente rottura delle bielle convenzionali compresse di
conglomerato) è per cotg = 1 :
2 fcd t Ak 2 fcd t Ak
( 1)
TRd1
=
=
= fcd t Ak =
cotg + tg
2
= 0, 42 (106daN / cm 2 ) (8 cm) (1664 cm 2 ) 592600 daNcm .
Mentre, il corrispondente massimo momento torcente per cotg = 2 risulta:
2 fcd t Ak 2 fcd t Ak
( 2)
TRd1
=
=
= 0,8 fcd t Ak =
cotg + tg
2 + 0, 5
= 0, 8 0, 42 (106 daN / cm 2 ) (8 cm) (1664 cm 2 ) 0,8 ( 592600 daNcm) 474000 daNcm .
Risultando:
( 2)
TSd = 3, 5 10 5 daNcm < min TRd(1)1; TRd1
4, 7 10 5 daNcm ,
{
}
la sezione trasversale fissata per l’elemento strutturale è sicuramente idonea perché, per il
dimensionamento delle armature a torsione, è possibile usare qualsiasi valore che rispetti la
condizione: cotg [1; 2] .
736
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
OSSERVAZIONI. La normativa E.C.2 (NAD) impone di rispettare il seguente vincolo
sull’inclinazione del puntone compresso: cotg [1; 2] . È necessario osservare che,
assumendo valori di cotg maggiori dell’unità, si riduce il valore della resistenza del puntone
compresso, essendo:
2 fcd t Ak
TRd1 ( ) =
.
(cotg + tg)
Pertanto, nel caso di importanti sollecitazioni torsionali, è più opportuno controllare
preliminarmente quale è il massimo valore di cotg compatibile con la resistenza della
sezione trasversale scelta. In ogni caso, in maniera abbastanza cautelativa, è possibile
considerare (qualsiasi sia il valore di cotg [1; 2] ) direttamente l’espressione:
2 fcd t Ak
TRd1 =
= 0, 8 fcd t Ak ,
(2 + 0,5)
(ricavata ponendo il valore più sfavorevole di cotg = 2 ) e verificare il non schiacciamento
della biella convenzionale compressa tramite la relazione:
TSd TRd 2 = 0,8 fcd t Ak .
Inoltre, è importante notare che, all’aumentare del valore di cotg , si riduce la quantità di
staffe necessarie e, necessariamente, si aumenta la sezione complessiva delle barre
longitudinali aggiuntive. Infatti, progettando le armature a torsione prima per cotg = 1 (caso
1) e poi per cotg = 2 (caso 2) si assisterebbe ad un dimezzamento dell’area delle staffe
(passando dal caso 1 al caso 2) e al conseguente raddoppio delle armature longitudinali
(sempre passando dal caso 1 al caso 2).
ESEMPIO 6 (dimensionamento sezione). Si valuti la sezione trasversale idonea, di forma
rettangolare, di un elemento strutturale confezionato con un conglomerato C20/25 che deve
portare un momento torcente ultimo pari a TSd = 4, 5 tm .
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 106 daN / cm 2 (tab. 9.3);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 N / mm 2 (tab. 9.3);
Supponendo un copriferro di progetto delle armature longitudinali pari a C = 4 cm, risulta:
t = 2 C = 2 (4, 0 cm) = 8, 0 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
= 0,7 (0,7 fck [ N / mm 2 ] / 200) = 0,7 [0, 7 (20 N / mm 2 ) / 200] = 0,42 0, 35 .
La verifica (maggiormente cautelativa) a non schiacciamento delle bielle compresse prevede
l’utilizzo della formula:
2 fcd t Ak
TRd1 =
= 0, 8 fcd t Ak .
(2 + 0,5)
Isolando il termine Ak [cm 2 ] , e ponendo TRd1 = TSd , si ottiene:
Ak =
TSd
( 4,5 105 daNcm)
=
1579 cm 2 .
0, 8 fcd t 0,8 0, 42 (106 daN / cm 2 ) (8,0 cm)
Risulta, quindi: Ak = Hs bs = 1579 cm2 .
Adottando, ad esempio, una sezione quadrata si ha: Hs = bs = 1579 cm2 39,7 cm .
Pertanto, si ha: H = b = 39, 7 cm + t = 39,7 cm + 8 cm 50 cm . Si può fissare, quindi, una
sezione quadrata 50 cm x 50 cm. Viceversa, se si adotta una sezione rettangolare, posto b = 30
cm (ovvero ponendo bs = b t = (30 cm) (8 cm) = 22 cm ) si ricava:
737
Documento #:
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(1579 cm 2 ) (1579 cm 2 )
=
71, 8 cm .
bs
(22 cm)
Pertanto, si ha: H = 71,8 cm + t = 71, 8 cm + 8 cm 80 cm . Si può fissare una sezione 30 cm x
80 cm.
Hs =
ESEMPIO 7 (progetto condizionato). Sia data una sezione rettangolare 30 cm x 60 cm in
conglomerato armato, armata a flessione con Ff = Ff = 4 22 , confezionata con un
calcestruzzo di classe C20/25 e con acciai nervati del tipo S440. Si supponga un ricoprimento
delle armature più esterne pari a c = 2,5 cm e una staffatura chiusa a due bracci di diametro
10 mm (vedere figura 12.12). Progettare le armature al taglio e a torsione della sezione
sottoposta alle seguenti sollecitazioni ultime di progetto:
VSd = 6, 5 t = 6500 daN ;
TSd = 3, 0 tm = 3, 0 10 5 daNcm .
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_12.tif
Figura 12.12 – Sezione armata a flessione con armature al taglio e a torsione da progettare.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 106 daN / cm 2 (tab. 9.3);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 N / mm 2 (tab. 9.3);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2, 5 cm) + (1, 0 cm) + (2, 2) / 2 = 4, 6 cm .
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (60 cm) (4,6 cm) = 55, 4 cm .
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (30 cm) (60 cm) = 1800 cm 2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(30 cm) + (60 cm)] = 180 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
738
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
Atot (1800 cm 2 )
=
= 10 cm > 2 C = 2 (c + staffe ) = 2 (2, 5 + 0,8) cm = 6,6 cm .
pest
(180 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(60 cm) (10 cm)][(30 cm) (10 cm)]= 1000 cm2 ;
t=
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(60 cm) (10 cm) + (30 cm) (10 cm)] = 140 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
= 0,7 (0,7 fck [ N / mm 2 ] / 200) = 0,7 [0, 7 (20 N / mm 2 ) / 200] = 0,42 0, 35 .
Calcolo verifica schiacciamento biella compressa di conglomerato (taglio + torsione).
Per sole staffe, essendo = 90° , si ha (imponendo per sicurezza cotg = 2, 0 ):
cotg
2
VRd 2 = fcd bm h = 0,42 (106 daN / cm 2 ) (30 cm) ( 55, 4 cm) 29600 daN.
2
1+ cotg 1+ 4
Ponendo sempre per sicurezza cotg = 2 , risulta per la sola torsione:
2 fcd t Ak 2 fcd t Ak
TRd1 =
=
= 0,8 fcd t Ak =
cotg + tg
2 + 0, 5
= 0, 8 0, 42 (106 daN / cm 2 ) (10 cm) (1000 cm 2 ) 356000 daNcm .
Risultando:
2
2
2
2
(6500 daN ) (300000 daNcm) VSd TSd +
= 0,76 1
+
= V T (29600 daN) (356000 daNcm) Rd 2
Rd 1
la verifica è positiva e, in particolare, avendo computato VRd 2 ponendo il valore
maggiormente cautelativo di cotg = 2 , nella formula per il dimensionamento delle armature
al taglio è possibile utilizzare(1) un qualsiasi valore di cotg [1; 2] .
Calcolo armature al taglio (solo staffe).
Fissando cotg = 1, 0 e ponendo VRsd = VSd , si calcola:
f VSd
(6500 daN)
1s =
=
3, 40 cm2 / m .
t s max 0,9 h fyd 0,9 (0, 554 m) (3830daN / cm2 )
taglio
Calcolo armature a torsione (sole staffe).
Si fissa cotg = 1, 0 , utilizzando la relazione:
F
TSd TRd 2 = 2 Ak 1s fyd cotg ,
ts
imponendo TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene (con cotg = 1 ):
F1s
ts max
=
TSd
(3,0 105 daNcm)
=
0,039 cm 2 / cm .
2 Ak fyd cotg 2 (1000 cm 2 ) (3830 daN / cm 2 ) 1
Pari a una sezione di armatura resistente per metro lineare:
1
cotg = 2 , il minimo quantitativo
cotg = 2 . Volendo però, come anticipato
Avendo verificato il puntone compresso per
ponendo nella relativa formula
di armatura trasversale al taglio si calcola
nella nota ad inizio paragrafo, favorire un
maggiore quantitativo di staffe allo scopo di conferire al conglomerato in compressione una migliore cerchiatura, si è
scelto cotg = 1 . Inoltre, si noti che allaumentare di cotg si riduce la quantità di staffe necessarie ma si aumenta
quella delle barre longitudinali.
739
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
2 F 1s
2 (0,039 cm 2 / cm) = 0, 078 cm2 / cm = 7,8 cm2 / m .
ts max torsione
Calcolo staffatura (taglio + torsione).
Agendo il taglio e la torsione contemporaneamente, la sezione complessiva di acciaio
resistente (staffe) per metro lineare dell’elemento strutturale deve risultare:
f 2 F 1s
1s +
= 3,40 cm 2 / m + 7,8 cm2 / m = 11, 20 cm 2 / m .
t s max ts max taglio
torsione
Adottando staffe del diametro di 10 mm, risulta un passo massimo:
f1 s
2 (0,79 cm 2 )
ts max =
=
0,14 m = 14 cm .
(11, 20 cm 2 / m) (11, 20 cm 2 / m)
Si adotta quindi un passo effettivo di 10 cm con una staffatura in ragione di 110 / 10 .
Risultando così:
u
(140 cm)
ts = 10 cm < k =
17 cm .
8
8
Calcolo armature a torsione (longitudinali aggiuntive).
Uguagliando TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene (mantenendo cotg = 1 ):
( F )
il
min
=
TSd u k cotg
(3,0 105 daNcm) (140 cm) 1
=
5, 5 cm 2 .
2 (1000 cm 2 ) (3830 daN / cm2 )
2 Ak f yd
Utilizzando 4 barre agli spigoli e 4 barre di parete (per un totale di 8 barre), si ha:
( F )
5,5 cm 2
0,7 cm 2 .
8
8
Essendo la sezione analizzata in presenza di importanti sollecitazioni di torsione e taglio,
volendo contenere le sollecitazioni di compressione nei puntoni compressi, e quindi volendo
limitare le sollecitazioni nelle armature trasversali al taglio, si decide di adottare un’armatura
longitudinale a torsione che presenti dei ferri di parete sufficientemente esuberanti non solo
per migliorare il contributo delle staffe ma anche per poter assorbire eventuali sollecitazioni
di trazione, prodotte da ritiro o da variazioni termiche, limitando nel contempo eventuali
fessurazioni della trave. In quest’ottica, utilizzando barre di diametro pari a 12 mm:
1 12 = 1,13 cm 2 > 0,7 cm 2 , risultano delle distanze tra gli assi delle barre longitudinali minori
di 35 cm. In particolare, conviene sostituire alle barre longitudinali d’angolo ( 22 ) delle
barre di diametro pari a 26 mm. Infatti:
126 = 5, 30 cm2 > 122 + 112 = ( 3,80 cm 2 ) + (1,13 cm2 ) = 4,93 cm 2 .
Si riporta, nella figura 12.13, una proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata.
il
min
=
740
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_13.tif
Figura 12.13 – Proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata.
ESEMPIO 8 (progetto condizionato). Progettare, secondo l’E.C.2, le armature a flessione,
al taglio e a torsione di una trave portante di una scala a ginocchio avente una sezione di 30
cm x 60 cm. Si ipotizzi che la luce orizzontale della trave sia L = 5,40 m. Si imponga un
valore del ricoprimento esterno delle staffe di c = 2,5 cm e un diametro delle stesse di 10 mm.
Si ipotizzi, infine, di utilizzare un conglomerato di classe C20/25 e degli acciai nervati del
tipo S440. La larghezza complessiva utile della rampa sia di 120 cm.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 106 daN / cm 2 (tab. 9.3);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 N / mm 2 (tab. 9.3);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2, 5 cm) + (1, 0 cm) + (1, 6) / 2 = 4,3 cm ;
avendo supposto di utilizzare armature longitudinali al più di diametro pari a 16 mm.
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (60 cm) (4,3 cm) = 55,7 cm .
Calcolo distanza adimensionale baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h (4, 3 cm)
=
= =
0, 077 .
h
h (55, 7 cm)
Analisi dei carichi caratteristici.
(Si suppone una rampa libera da murature di tompagno):
peso proprio gradini (rustico: pedata 30 cm e alzata 16 cm):
1
0, 5 (0,3 m) (0, 16 m) (2500 daN / m 3 ) (1, 20 m) gradini / m 240 daN / m .
0, 30
Peso proprio soletta inferiore gradini rampa (6 cm):
(0, 06 m) (1, 20 m) (2500 daN / m3 ) 180 daN / m .
Peso proprio rivestimento in lastre di marmo:
741
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
1
[(0,32 m) (0, 03 m) + (0, 16 m) (0, 02 m)] (1, 20 m) (2700 daN / m 3 ) gradini / m 139 daN / m.
0, 30
Corrimano: F = 120 daN/m.
Peso proprio trave portante:
(0, 60 m) (0,30 m) (2500 daN / m 3 ) = 450 daN / m .
Sovraccarico variabile di esercizio (folla compatta):
(400 daN / m2 ) (1, 20 m) 480 daN / m .
Analisi dei carichi di progetto.
Totale permanenti di progetto:
G = 1, 4 (240 + 180 + 139 + 120 + 450) daN / m 1581 daN / m .
Totale variabili esercizio di progetto:
Q = 1, 5 ( 480 daN / m) 720 daN / m .
Calcolo armature a flessione (metodo parametrico).
Calcolo sollecitazione flettente di progetto (in mezzeria con schema di trave appoggiata):
1
1
MSd = (G + Q) L2 = [(1581 daN / m) + (720 daN / m)] (5, 40 m) 2 8400 daNm.
8
8
Calcolo sollecitazione flettente adimensionale:
MSd
(840000 daNcm)
mSd =
=
0,085 .
2
b h fcd (30 cm) ( 55, 7 cm) 2 (106 daN / cm 2 )
In condizioni di flessione semplice con massima duttilità, si ha:
A = 0,180
(massimo cimento del conglomerato compresso)
(braccio forze resistenti).
B = 0, 87
Risultando:
A
0,180
1 =
=
2>1
mSd 0,085
è sufficiente un’armatura semplice ( Ff = 0 ). Si pone, quindi:
C = 0
(assenza contributo armatura superiore)
(momento sollecitante di calcolo).
m = mSd = 0,085
I rapporti meccanici di armatura risultano (in condizioni di massima duttilità):
m
m
0, 085
0,098
f = = Sd =
0,87
B
B
= 0.
f
L’area di armatura risulta:
(106 daN / cm2 )
f
Ff = f b h cd = 0,098 (30 cm) (55, 7 cm) 4,53 cm2
f yd
(3830daN / cm2 )
Ff = 0.
Tali armature sono realizzabili disponendo in mezzeria solo:
Ff = 3 14 = 3 (1, 54 cm 2 ) = 4, 62 cm 2 > 4, 53cm 2 .
Dovendo verificare la sezione anche agli incastri, risulta:
1
1 1
(840000 daNcm)
.
MSd(incastro) =
(G + Q) L2 =
(G + Q) L2 =
12
1, 5 8
1, 5
Essendo sicuramente:
742
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
1 =
A
>
A
>1
m
m
l’armatura inferiore necessaria all’incastro sarà:
(4,53 cm2 )
Ff =
3,02cm 2 ;
1, 5
realizzabile disponendo dei correnti pari a 214 = 2 (1, 54 cm 2 ) = 3, 08 cm2 > 3,02cm 2 .
In particolare, la trave in mezzeria sarà armata almeno (prescindendo dai ferri longitudinali
aggiuntivi per la torsione) da:
Ff = 214 (correnti necessari all’incastro);
( incasto )
Sd
( mezzeria )
Sd
Ff = 3 14 (tesi).
Analogamente, agli incastri (prescindendo dai ferri longitudinali aggiuntivi per la torsione) la
trave sarà armata almeno con i medesimi diametri e numero di barre presenti in mezzeria:
Ff = 214 (tesi);
Ff = 3 14 (correnti necessari in mezzeria).
In entrambi i casi, per ragioni di semplicità di carpenteria esecutiva, c’è un quantitativo di
armatura superiore maggiore del quantitativo calcolato per raggiungere la massima duttilità
( Ff = 0 ). Pertanto, l’asse neutro risulterà spostato dalla posizione di massima duttilità
( 0,2593 ) verso il baricentro delle rispettive armature superiori. Risulterà quindi sia per le
sezioni all’incastro che per quelle in mezzeria: f = 10 / 1000 e c < 3, 5 / 1000 . In ogni caso,
la sezione rimane all’interno del campo di rottura 2 e risulterà verificata a rottura in virtù del
maggiore quantitativo di armatura disposto rispetto al caso di massima duttilità.
Si riportano, di seguito, nelle figure 12.14 e 12.15, i semidomini di rottura delle sezioni della
trave in corrispondenza della mezzeria e dell’incastro.
743
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_14.tif
Figura 12.14 – Semidominio di rottura della sezione in mezzeria della trave a ginocchio.
744
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_15.tif
Figura 12.15 – Semidominio di rottura delle sezioni all’incastro della trave a ginocchio.
Calcolo massime sollecitazioni taglianti e torcenti.
Calcolo massima sollecitazione tagliante agli incastri:
1
1
VSd = (G + Q) L = [(1581 + 720) daN / m] ( 5,40 m) 6220 daN .
2
2
Si ipotizza un andamento del taglio lineare con punto nullo a distanza da asse appoggio pari a
z = (5, 40 m) / 2 = 2,70 m .
745
Documento #:
Doc_b10_(3).doc
Calcolo massima sollecitazione torcente:
per il computo del momento torcente, si considerano solo i carichi verticali le cui rette di
azione non passano per il centro di taglio della sezione trasversale della trave portante a
ginocchio. In particolare, tra questi carichi eccentrici si distingueranno quelli la cui retta
d’azione cade nella mezzeria del singolo gradino a sbalzo. In particolare, si isolerà il solo
carico concentrato applicato sull’estremità a sbalzo del gradino (corrimano), avente braccio di
leva maggiore. I carichi suddetti sono (vedere analisi dei carichi precedente):
totale permanenti di progetto distribuiti:
G* = 1, 4 (240 + 180 + 139) daN / m 783 daN / m ;
carico di progetto concentrato (corrimano):
F = 1, 4 (120 daN) = 168 daN
totale variabili esercizio di progetto:
Q = 1, 5 ( 480 daN / m) 720 daN / m .
Pertanto, detti:
[(0, 30 m) / 2]+ (1, 20 m)
lGQ =
= 0, 675 m ;
2
lF = [(0, 30 m) / 2] + (1, 20 m) = 1, 35 m ;
rispettivamente, i bracci di leva dei due tipi di carichi eccentrici (distribuiti e concentrati
agenti sulla rampa), si calcola il momento torcente (per unità di sviluppo longitudinale della
trave):
mST = (G * + Q) lGQ + F lF =
= [(783 + 720) daN / m] (0,675 m) + (168 daN / m) (1, 35 m) 1242 daNm / m.
Il massimo momento torcente risulta:
L
( 5,40 m)
TSd = mST = (1242 daNm / m) 3350 daNm = 3, 35 10 5 daNcm .
2
2
Calcolo parametri di progetto armature al taglio e a torsione.
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2, 5 cm) + (1, 0 cm) + (1, 6) / 2 = 4,3 cm .
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h H h = (60 cm) (4, 3 cm) = 55,7 cm .
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (30 cm) (60 cm) = 1800 cm 2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(30 cm) + (60 cm)] = 180 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
A
(1800 cm 2 )
t = tot =
= 10 cm > 2 C = 2 (c + staffe ) = 2 (2, 5 + 1, 0) cm = 7 cm .
pest
(180 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(60 cm) (10 cm)][(30 cm) (10 cm)]= 1000 cm2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(60 cm) (10 cm) + (30 cm) (10 cm)] = 140 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
= 0,7 (0,7 fck [ N / mm 2 ] / 200) = 0,7 [0, 7 (20 N / mm 2 ) / 200] = 0,42 0, 35 .
Calcolo verifica a non schiacciamento biella compressa di conglomerato (taglio +
torsione).
Per sole staffe, essendo = 90° , si ha (imponendo per sicurezza cotg = 2, 0 ):
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Doc_b10_(3).doc
VRd 2 = fcd bm h cotg
2
= 0,42 (106 daN / cm 2 ) (30 cm) ( 55, 7 cm) 29700 daN.
2
1+ cotg 1+ 4
Ponendo sempre per sicurezza cotg = 2 , risulta per la sola torsione:
2 fcd t Ak 2 fcd t Ak
TRd1 =
=
= 0,8 fcd t Ak =
cotg + tg
2 + 0, 5
= 0, 8 0, 42 (106 daN / cm 2 ) (10 cm) (1000 cm 2 ) 356160 daNcm .
Risultando:
2
2
2
2
(6220 daN ) (335000 daNcm) VSd TSd +
= 0,93 1
+
= V T (29700 daN) (356160 daNcm) Rd 2
Rd 1
la verifica è positiva e, in particolare, avendo computato VRd 2 ponendo il valore
maggiormente cautelativo di cotg = 2 , nella formula per il dimensionamento delle armature
al taglio è possibile utilizzare(2) un qualsiasi valore di cotg [1; 2] .
Calcolo armature al taglio (solo staffe).
Agli incastri, ponendo VRsd = VSd , si calcola con cotg = 1, 0 :
f VSd
(6220 daN)
1s =
=
3,24 cm 2 / m .
t s max 0,9 h fyd 0,9 (0, 557 m) ( 3830daN / cm2 )
taglio
Inoltre, all’inizio della rampa z* = 120 cm , la sollecitazione tagliante scende al valore:
(120 cm) z* V (z* ) = VSd 1 = (6220 daN) 1 3456 daN .
(270 cm) z Pertanto, all’inizio della rampa, si calcola:
f VSd
(3456 daN)
1s =
=
1,80 cm 2 / m .
t s max 0,9 h fyd 0,9 (0, 557 m) ( 3830daN / cm2 )
taglio
Calcolo armature a torsione (sole staffe).
Agli incastri, utilizzando la relazione:
F
TSd TRd 2 = 2 Ak 1s fyd cotg ,
ts
imponendo TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene (con cotg = 1 ):
F1s
ts max
=
TSd
(3, 35 105 daNcm)
=
0,044 cm 2 / cm .
2 Ak fyd cotg 2 (1000 cm 2 ) (3830 daN / cm 2 ) 1
Pari a una sezione di armatura resistente per metro lineare:
2 F 1s
2 (0,044 cm2 / cm) = 0,087 cm2 / cm = 8, 7 cm2 / m .
ts max torsione
Inoltre, all’inizio della rampa z* = 120 cm , la sollecitazione torcente scende al valore:
2
Avendo verificato il puntone per
relativa formula
cotg = 2 , il minimo quantitativo di armatura trasversale al taglio si calcola ponendo nella
cotg = 2 .
Volendo però, come anticipato nella nota ad inizio paragrafo, favorire un maggiore
quantitativo di staffe allo scopo di conferire al conglomerato in compressione una migliore cerchiatura, si è scelto
cotg = 1 . Inoltre, si noti che allaumentare di cotg si riduce la quantità di staffe necessarie ma si aumenta quella
delle barre longitudinali.
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z* (120 cm) T(z * ) = TSd 1 = ( 3,35 10 5 daNcm) 1
1,86 10 5 daNcm .
z (270
cm)
Pertanto, all’inizio della rampa, si calcola:
T(z * )
(1, 86 10 5 daNcm)
F1s
=
=
0,024 cm 2 / cm .
ts max 2 Ak fyd cotg 2 (1000 cm 2 ) (3830 daN / cm 2 ) 1
Pari a una sezione di armatura resistente per metro lineare:
2 F 1s
2 (0,024 cm2 / cm) = 0,048 cm 2 / cm = 4, 8 cm 2 / m .
ts max torsione
Calcolo staffatura (taglio + torsione).
Agendo il taglio e la torsione contemporaneamente, la sezione complessiva di acciaio
resistente (staffe) per metro lineare dell’elemento strutturale deve risultare (agli incastri):
f 2 F 1s
1s +
= 3,24 cm 2 / m + 8,7 cm 2 / m = 11, 94 cm2 / m .
t s max ts max taglio
torsione
Adottando staffe del diametro di 10 mm, risulta un passo massimo:
f1s
2 (0,79 cm 2 )
ts max =
=
0,13 m = 13 cm .
(11, 94 cm 2 / m) (11, 94 cm2 / m)
Nelle sezioni prossime agli incastri, si adotta quindi un passo effettivo di 10 cm con una
staffatura in ragione di 110 / 10 . Risultando così:
u
(140 cm)
ts = 10 cm < k =
17 cm .
8
8
All’inizio della rampa, deve risultare:
f 2 F 1s
1s +
= 1, 8 cm 2 / m + 4, 8 cm2 / m = 6,6 cm2 / m .
t s max ts max taglio
torsione
Adottando staffe del diametro di 10 mm, risulta un passo massimo molto elevato:
f1s
2 (0, 79 cm 2 )
ts max =
=
0,37 m = 37 cm .
(6, 7 cm2 / m) (6, 6 cm2 / m)
In particolare, dovendo però risultare:
u
(140 cm)
ts < k =
17 cm ,
8
8
si adotta, in tutte le sezioni della rampa, un passo effettivo di 15 cm con una staffatura in
ragione di 110 / 15 , per semplicità di carpenteria esecutiva.
Calcolo armature a torsione (longitudinali aggiuntive).
Uguagliando TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene (mantenendo cotg = 1 ):
( )
Fil
min
=
TSd u k cotg
(3, 35 105 daNcm) (140 cm) 1
=
6,13 cm2 .
2 Ak f yd
2 (1000 cm 2 ) (3830 daN / cm2 )
Utilizzando 4 barre agli spigoli e 2 barre di parete (per un totale di 6 barre), si ha:
Fil
6,13 cm2
min
= 1, 02 cm2 .
6
6
Si possono, quindi, utilizzare barre di diametro pari a 12 mm: 112 = 1, 13 cm2 > 1, 02 cm 2 . In
particolare, si sostituiscono a ciascuna delle quattro barre di diametro 14 mm (agli angoli delle
staffe) delle barre di diametro di 20 mm. Sarà, quindi:
120 = 3, 14 cm2 > 114 + 112 = 1, 54 cm2 + 1,13 cm2 = 2,67 cm2 .
( )
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Doc_b10_(3).doc
Infine, si dispongono 2 barre di parete di diametro 12 mm. In questo modo, le barre
aggiuntive così disposte distano tra loro meno di 35 cm.
Una proposta di carpenteria esecutiva della trave a ginocchio così progettata è riportata nella
figura 12.16.
Nota per la composizione: disporre illustrazione su intera pagina per agevolare la lettura.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_16.tif
Figura 12.16 – Proposta di carpenteria esecutiva della trave portante della scala a ginocchio.
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