Transcript Un modello di trasporto - Dipartimento di Informatica e Sistemistica

Un modello di trasporto
Il modello matematico
Management Sanitario
per il corso di Laurea Magistrale SCIENZE RIABILITATIVE DELLE PROFESSIONI SANITARIE
Modulo di Ricerca Operativa
Prof. Laura Palagi
http://www.dis.uniroma1.it/∼palagi
Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. Ruberti
Sapienza Universita` di Roma - Via Ariosto 25
https://groups.google.com/a/dis.uniroma1.it/d/forum/ricerca operativa medicina
4a lezione modulo RO
L. Palagi
Un modello di trasporto
Il modello matematico
Un modello di trasporto
Un ospedale deve organizzare il servizio di trasporto del
sangue, proveniente dalle donazioni spontanee. Le sacche di
sangue sono disponibili in 4 centri di raccolta diversi e devono
essere tempestivamente trasportate in 3 centri situati in
altrettanti ospedali.
4a lezione modulo RO
L. Palagi
Un modello di trasporto
Il modello matematico
Ciascun ospedale necessita per uso interno, un quantitativo
minimo di sacche di sangue, secondo la seguente tabella:
no
sacche
ospedale 1
28
ospedale 2
58
ospedale 3
25
Inoltre in ogni centro di raccolta la disponibilita` e` limitata. Il
`
quantitativo di sacche disponibile e:
no
4a lezione modulo RO
sacche
centro 1
34
centro 2
30
centro 3
30
centro 4
17
L. Palagi
Un modello di trasporto
Il modello matematico
Per ogni possibile tragitto centro i - Ospedale j e` noto un valore
che rappresenta una ”perdita” per ogni unita` trasportata (ad
esempio costi di trasporto, tempo di percorrenza)
centro 1
centro 2
centro 3
centro 4
ospedale 1
2,8
3,12
3,04
6,09
ospedale 2
3,8
8,06
8,55
12,76
ospedale 3
10,8
11,7
11,4
13,34
Si vuole trovare il modo di effettuare il trasporto minimizzando i
costi complessivi.
4a lezione modulo RO
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
Analisi del problema
I
un insieme di m = 4 di centri di raccolta C = {C1 , . . . , C4 }
I
un insieme di n = 3 di ospedali O = {O1 , O2 , O3 }
Per ogni ospedale Oi e` richiesto un quantitativo di sacche:
I
o
n sacche
I
ospedale 1
q1
ospedale 2
q2
ospedale 3
q3
per ogni centro di raccolta Cj la disponibilita` e` limitata:
no sacche
4a lezione modulo RO
centro 1
d1
centro 2
d2
centro 3
d3
centro 4
d4
L. Palagi
Un modello di trasporto
Il modello matematico
Obiettivo: minimizzazione costi
Per ogni possibile coppia (origine Ci , destinazioneOj ) e`
associato un valore cij che rappresenta il costo di trasporto
unitario. Tali valori possono essere riportati in una tabella
(matrice) con 4 righe e 3 colonne
C1
C2
C3
C4
O1
c11
c21
c31
c41
O2
c12
c22
c32
c42
O3
c13
c23
c33
c43
che nell’esempio considerato sono
centro 1
centro 2
centro 3
centro 4
4a lezione modulo RO
ospedale 1
2,8
3,12
3,04
6,09
ospedale 2
3,8
8,06
8,55
12,76
ospedale 3
10,8
11,7
11,4
13,34
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
Visualizzazione tramite ”grafo”
centro raccolta #1
34
28
ospedale #1
centro raccolta #2
30
58
ospedale #2
centro raccolta #3
30
25
ospedale #3
centro raccolta #4
17
4a lezione modulo RO
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
Formalizzazione matematica
1. Individuare le possibili scelte decisionali=variabili di
decisione
Si tratta di decidere la stretegia di rifornimento di ciascun
ospedale, cioe` :
la quantita` di sacche trasportate
da ciascun centro Ci ad ogni ospedale Oj
Ad esempio una possibile scelta decisionale puo` essere
rappresentata in tabella in questo modo
C1
C2
C3
C4
4a lezione modulo RO
O1
28
0
0
0
O2
6
30
22
0
O3
0
0
8
17
L. Palagi
Un modello di trasporto
Il modello matematico
Visualizzazione tramite ”grafo”
centro raccolta #1
34
28
ospedale #1
centro raccolta #2
30
58
ospedale #2
centro raccolta #3
30
25
ospedale #3
centro raccolta #4
17
4a lezione modulo RO
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Il modello matematico
Formalizzazione matematica
2. Individuare le restrizioni sui valori delle scelte decisionali
Ad esempio la scelta proposta soddisfa i requisiti ?
O1
O2
O3
C1
4a lezione modulo RO
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Il modello matematico
Formalizzazione matematica
2. Individuare le restrizioni sui valori delle scelte decisionali
Ad esempio la scelta proposta soddisfa i requisiti ?
C1
C2
O1
28
O2
6
O3
0
34
Controllo se la disponibilita` dei centri e` rispettata
4a lezione modulo RO
L. Palagi
Un modello di trasporto
Il modello matematico
Formalizzazione matematica
2. Individuare le restrizioni sui valori delle scelte decisionali
Ad esempio la scelta proposta soddisfa i requisiti ?
C1
C2
C3
O1
28
0
O2
6
30
O3
0
0
34
30
Controllo se la disponibilita` dei centri e` rispettata
4a lezione modulo RO
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
Formalizzazione matematica
2. Individuare le restrizioni sui valori delle scelte decisionali
Ad esempio la scelta proposta soddisfa i requisiti ?
C1
C2
C3
C4
O1
28
0
0
O2
6
30
22
O3
0
0
8
34
30
30
Controllo se la disponibilita` dei centri e` rispettata
4a lezione modulo RO
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
Formalizzazione matematica
2. Individuare le restrizioni sui valori delle scelte decisionali
Ad esempio la scelta proposta soddisfa i requisiti ?
C1
C2
C3
C4
O1
28
0
0
0
O2
6
30
22
0
O3
0
0
8
17
34
30
30
17
Controllo se la disponibilita` dei centri e` rispettata
4a lezione modulo RO
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
Formalizzazione matematica
2. Individuare le restrizioni sui valori delle scelte decisionali
Ad esempio la scelta proposta soddisfa i requisiti ?
C1
C2
C3
C4
O1
28
0
0
0
28
O2
6
30
22
0
58
O3
0
0
8
17
25
34
30
30
17
Controllo se la disponibilita` dei centri e` rispettata
Controllo se la richiesta degli ospedali e` soddisfatta.
Ad es, per ospedale 1: la somma di quello che arriva dai 4
centri e` 28+0+0+0=28: OK !
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Il modello matematico
Variabili di decisione
Per semplificare la scrittura indichiamo le variabili di decisione
come xij in cui i pedici ij indicano rispettivamento il centro di
provenienza Ci e l’ospedale di arrivo Oj (ma si tratta di un
nome !) che possono assumere qualunque valore intero e sono
n · m = 12
centro 1
centro 2
centro 3
centro 4
4a lezione modulo RO
ospedale 1
x11
x21
x31
x41
ospedale 2
x12
x22
x32
x42
ospedale 3
x13
x23
x33
x43
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Il modello matematico
Le restrizioni
Le restrizioni=vincoli richiedono che
I
il numero di sacche trasportate non possono superare la
disponibilita` ;
O1
4a lezione modulo RO
O2
O3
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Il modello matematico
Le restrizioni
Le restrizioni=vincoli richiedono che
I
il numero di sacche trasportate non possono superare la
disponibilita` ;
→
4a lezione modulo RO
C1
C2
C3
C4
O1
28
x21
0
0
O2
6
x22
22
0
O3
0
x23
8
17
x21 + x22 + x23 =
34
30
30
17
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Il modello matematico
Le restrizioni
Le restrizioni=vincoli richiedono che
I
il numero di sacche trasportate non possono superare la
disponibilita` ;
I
ogni ospedale deve ricevere le sacche necessarie.
C1
C2
C3
C4
4a lezione modulo RO
O1
28
x21
0
0
O2
O3
6
0
x22
x23
22
8
0
17
↑
x12 + x22 + x32 + x42 =
28
58
25
34
30
30
17
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Il modello matematico
I vincoli
x11 + x12 + x13
x21 + x22 + x23
x31 + x32 + x33
x41 + x42 + x43
in generale
n
X
= 34
= 30
= 30
= 17
xij = di
numero di sacche trasportate
non puo` superare la disponibilita`
per ogni i = 1, 2, 3, 4 = m
j=1
x11 + x21 + x31 + x41 = 28
x12 + x22 + x32 + x42 = 58
x13 + x23 + x33 + x43 = 25
in generale
m
X
xij = qj
ogni ospedale deve
ricevere le sacche necessarie
per ogni j = 1, 2, 3 = n
i=1
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Il modello matematico
Obiettivo: minimizzazione costi
Quanto costa la scelta effettuata ?
C1
C2
C3
C4
centro 1
centro 2
centro 3
centro 4
O1
28
0
0
0
ospedale 1
2,8
3,12
3,04
6,09
O2
6
30
22
0
O3
0
0
8
17
ospedale 2
3,8
8,06
8,55
12,76
ospedale 3
10,8
11,7
11,4
13,34
.
costo=28 · 2, 8 + 6 · 3, 8 + 0 · · · 10, 8 + .. + 17 · 13, 34 = 849, 08
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Il modello matematico
Obiettivo: minimizzazione costi
centro 1
centro 2
centro 3
centro 4
centro 1
centro 2
centro 3
centro 4
ospedale 1
x11
x21
x31
x41
ospedale 1
c11
c21
c31
c41
costo =
ospedale 2
x12
x22
x32
x42
ospedale 2
c12
c22
c32
c42
m X
n
X
ospedale 3
x13
x23
x33
x43
ospedale 3
c13
c23
c33
c43
cij xij
i=1 j=1
4a lezione modulo RO
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
Un modello di programmazione matematica
min
m X
n
X
cij xij
i=1 j=1
n
X
xij = di
per ogni i = 1, . . . , m
xij = qi
per ogni j = 1, . . . , n
j=1
m
X
i=1
xij ≥ 0 i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n
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Il modello matematico
Complichiamo il calcolo dei costi
Ad esempio se sono note le distanze in Km di ciascun
ospedale dal ciascun centro di raccolta riporatate in tabella.
ospedale 1 ospedale 2 ospedale 3
centro 1
14
19
54
centro 2
12
31
45
centro 3
16
45
60
centro 4
21
44
46
Il costo di trasporto di ciascuna sacca dipende dai chilometri
percorsi.
4a lezione modulo RO
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
calcolo costi
Inoltre Il costo di trasporto di ciascuna sacca dipende dal
centro di partenza e per ogni centro e` noto un costo di
trasporto unitario al km
centro 1 centro 2 centro 3 centro 4
costo
0.2
0.26
0.19
0.29
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Il modello matematico
Il costo di trasporto di ciascuna sacca dipende dal centro di
partenza e dai chilometri percorsi.
Per ogni possibile coppia (origine Ci , destinazioneOj ) e`
associato un valore kij che rappresenta la distanza in km; Tali
distanza costituscono una tabella (matrice) con 4 righe e 3
colonne
O1 O2 O3
C1 k11 k12 k13
C2 k21 k22 k23
C3 k31 k32 k33
C4 k41 k42 k43
centro 1 centro 2 centro 3 centro 4
costo sacca/Km
c1
c2
c3
c4
Si vuole trovare il modo di effettuare il trasporto minimizzando i
costi.
a
4 lezione
modulo RO
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Il modello matematico
Obiettivo: minimizzazione costi
centro 1
centro 2
centro 3
centro 4
centro 1
centro 2
centro 3
centro 4
m
X
i=1
4a lezione modulo RO
ospedale 1
x11
x21
x31
x41
ospedale 1
c1 · k11
c2 · k21
c3 · k31
c4 · k41
ospedale 2
x12
x22
x32
x42
ospedale 2
c1 · k12
c2 · k22
c3 · k32
c4 · k42
costo centroi =
m
X
i=1
ci
ospedale 3
x13
x23
x33
x43
ospedale 3
c1 · k13
c2 · k23
c3 · k33
c4 · k43
n
X
kij xij
j=1
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Un modello di trasporto
Il modello matematico
Ulteriori modifiche
I
Le sacche di sangue sono di diverso tipo e ogni ospedale
ha richieste specifiche sul tipo
I
Alcuni centri NON possono consegnare ad alcuni ospedali
I
ecc.
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