Transcript Slides Angelini 2 - Campus di Rimini

Informazioni Generali
Analisi delle Serie Storiche
Econometria dei Mercati Finanziari c.a.
Giovanni Angelini
Rimini, 25 Febrraio 2014
Giovanni Angelini
Lab. 2
Stima con Gretl
Informazioni Generali
Analisi delle Serie Storiche
Outline
I
Ripasso di Serie Storiche
I
Stima ’Market Model Dinamico’con Gretl
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Lab. 2
Stima con Gretl
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Analisi delle Serie Storiche
Stima con Gretl
Serie Storiche
I
Le serie storiche possono essere interpretate come realizzazioni
di processi stocastici
I
Un processo stocastico è una successione di variabili aleatorie
indicizzate dal tempo
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Lab. 2
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Stima con Gretl
Stazionarietà
I
Una proprietà fondamentale per poter fare inferenza è la
stazionarietà poichè permette di ritenere il campione
informativo sul processo generatore dei dati.
I
Si distingue tra
I
I
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Lab. 2
stazionarietà in senso forte: la distribuzione di probabilità del
processo è invariante nel tempo
stazionarietà in senso debole (o in covarianza): valore atteso e
la funzione di autocovarianza sono …niti e non dipendono dal
tempo
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Analisi delle Serie Storiche
Stima con Gretl
Principali Momenti
I
Valore atteso
µt = E (yt )
I
Varianza
σ2t = V (yt ) = E yt2
I
k)
= E (yt
µt ) yt
k
Autocorrelazione
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µ2t
Autocovarianza
γt (k ) = Cov (yt , yt
I
E (yt )2 = E yt2
Cov (yt , yt k )
γ (k )
ρ (k ) = p
=
γ (0)
V (yt ) V (yt k )
µt
k
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Analisi delle Serie Storiche
Erodicità
I
Una codizione fondamentale per poter fare inferenza sui
momenti di un processo stazionario è l’ergodicità
I
Un processo stocastico stazionario y = fyt gt 2τ si dice
ergodico per il momento E (g (y )) se
1
T
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p
∑ g (yt ) ! E (g (yt ))
Stima con Gretl
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Stima con Gretl
Principali Momenti
Campionari
I
Valore atteso
µˆ =
I
Varianza
σˆ 2 =
I
1 T
(yt
T t∑
=1
1 T
(yt
T t =∑
k +1
Autocorrelazione
ρˆ (k ) =
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µˆ t )2
Autocovarianza
γˆ t (k ) =
I
1 T
yt
T t∑
=1
µˆ ) (yt
γˆ (k )
γˆ (0)
k
µˆ )
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Stima con Gretl
Autocorrelazione Parziale
I
Il signi…cato dell’autocorrelazione parziale è lo stesso del
coe¢ ciente di correlazione parziale noto dalla regressione
multipla. Misura la correlazione tra yt e yt h al netto dei
valori intermedi
3
2
1
ρˆ (1)
ρˆ (1)
6 ρˆ (1)
1
ρˆ (2) 7
6
7
7
6
..
..
..
4
.
.
.
ρˆ (h 1) 5
πh = 2
6
6
6
4
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ρˆ (h
1
ˆρ (1)
..
.
ρˆ (h
ρˆ (1)
1)
1)
ρˆ (1)
1
..
.
ρˆ (h)
3
1)
2) 7
7
7
ρˆ (1) 5
1
ρˆ (h
ρˆ (h
..
.
ρˆ (1)
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Stima con Gretl
Processo IID
I
Un Processo IID e si indica come IID 0, σ2ε è il processo
ε = fεt gt 2τ costituito da una sequenza di v.a. indipendenti e
identicamente distribuite con valore atteso 0 e varianza σ2ε .
I
Un processo i.i.d. è stazionario in senso forte e, se σ2ε < ∞,
anche in senso debole
γt (k ) = E ( εt , εt
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k)
= E ( εt ) E ( εt
k)
= 0, per ogni k 6= 0
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White Noise
I
Un White Noise è un processo stocastico ε = fεt gt 2τ
costituito da una sequenza di v.a. incorrelate con valore
atteso 0 e varianza …nita
γt (k ) = E ( εt , εt
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k) =
σ2ε se k = 0
0 se k 6= 0
Stima con Gretl
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Stima con Gretl
Di¤erenza di Martingala
I
La Di¤erenza di Martingala è un processo stocastico
ε = fεt gt 2τ per il quale valgono le condizioni
E ( εt j =t
1)
=0
E (jεt j) < ∞
dove =t
t.
I
costituisce la storia passata del processo al tempo
Il processo MD non è necessariamente stazionario.
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1
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Stima con Gretl
Processi a Media Mobile
I
Il processo stazionario y = fyt gt 2τ è detto a media mobile di
ordine q, o MA (q ), se soddisfa l’equazione
yt = εt + θ 1 εt
εt
I
+ . . . + θ q εt
q
WN 0, σ2ε
De…nire la componente stocastica ε è fondamentale perchè
rappresenta l’unica variabilità della serie storica. Ipotizzare
che εt
WN 0, σ2ε è su¢ ciente a¢ nchè yt sia stazionario in
senso debole.
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1
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Stima con Gretl
Esercizi
Esercizio : Valutare la stazionarietà del processo yt = εt + θ 1 εt
con εt
WN 0, σ2ε
Esercizio : Generare con Gretl un processo
MA(1): yt = εt + 0.5εt 1 con εt
WN (0, 0.25) e commentare
gra…camente la serie storica e il correlogramma
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1
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Analisi delle Serie Storiche
Stima con Gretl
Processi Autoregressivi
I
Il processo stazionario y = fyt gt 2τ è detto autoregressivo di
ordine p, o AR (p ), se soddisfa l’equazione
yt = φ1 yt
εt
+ . . . + φp yt
p
+ εt
WN 0, σ2ε
I
De…nito L l’operatore ritardo: Lk yt = yt
I
Un processo AR(p) può essere riscritto come Φ (L) yt = εt
con Φ (L) = 1 φ1 L . . . φp Lp
I
Il processo è stazionario se tutte le soluzioni dell’equaione
caratteristica Φ (z ) sono esterne al cerchio unitario nel piano
complesso.
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1
k
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Stima con Gretl
Esercizi
Esercizio : Valutare la condizione di stazionarietà di un processo
yt = φ1 yt + εt con εt
WN 0, σ2ε
Esercizio : Calcolare la funzione di autocovarianza e la funzione di
autocorrelazione di un processo yt = φ1 yt + εt stazionario, con
εt
WN 0, σ2ε
Esercizio : Generare con Gretl un processo AR(1): yt = φ1 yt 1 + εt
con εt
WN (0, 0.25) e commentare gra…camente la serie storica
e il correlogramma provando diversi valori di φ1
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Analisi delle Serie Storiche
Stima con Gretl
Processi Autoregressivi a Media Mobile
I
Il processo stazionario y = fyt gt 2τ è detto autoregressivo a
media mobile di ordine (p, q ), o ARMA (p, q ), se soddisfa
l’equazione
yt = φ1 yt
1
+ . . . + φp yt
εt
I
p
+ εt + θ 1 εt
1
+ . . . + θ q εt
q
WN 0, σ2ε
Utilizzando l’opertarore ritardo il processo può essere scritto
Φ (L) yt = Θ (L) εt
I
Il processo è stazionario se e solo se le radici dell’equazione
caratteristica Φ (z ) sono esterne al cerchio di raggio unitario.
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Analisi delle Serie Storiche
Stima con Gretl
Esercizio
Esercizio : Generare con Gretl un processo
ARMA(1,1): yt = φ1 yt 1 + εt + θ 1 εt 1 con εt
WN (0, 0.25) e
commentare gra…camente la serie storica e il correlogramma
provando diversi valori di φ1 e θ 1 .
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Stima con Gretl
Market Model
I
Modello per valutare il rendimento di un’attività …nanziaria
rti = β0 + β1 rtm + β2 rti
1
+ εt
dove r rappresenta il log-return dell’attività …nanziaria.
Esercizio : Stima del modello, commento dell’output e test sui
parametri
Giovanni Angelini
Lab. 2