Transcript Lezione_18 - Dipartimento di Fisica

Corso di Fisica Generale I
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Laurea Triennale in Ing. Gestionale
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A.A. 2014/2015
Equilibrio di un corpo rigido
Osservando molte delle opere costruite dall’uomo (ponti, palazzi, monumenti,. . .) riscontriamo
che esse sono caratterizzate da una grande stabilità. Sappiamo bene che esse sono soggette,
oltre che alla forza di gravità, anche a molte sollecitazioni esterne; ma, malgrado ciò, esse si
mantengono salde e stabili per molto tempo.
Quali sono le condizioni fisiche necessarie affinché un corpo possa mantenere una tale stabilità?
~ (calcolato
~ e il momento angolare L
Corpo rigido in equilibrio Se la quantità di moto P
rispetto ad un qualsiasi punto) di un corpo rigido sono costanti, il corpo si dice in equilibrio.
~ oltre ad essere costanti sono anche nulli, allora il corpo rigido
~ ed L
L,
Equilibrio statico Se P
si dirà in equilibrio statico.
Il concetto di equilibrio va spesso insieme a quello di stabilità. Abbiamo già definito (per
un punto materiale) quelli che sono detti punti di equilibrio stabile (i minimi dell’energia
potenziale). Come trattiamo tale tema per un corpo rigido?
Qui a lato consideriamo varie possibili disposizioni
((a), (b) e (c)) di una tessera di domino: esse ci permettono di chiarire l’idea di stabilità dell’equilibrio
della tessera rispetto ad azioni esterne.
Tramite la figura (d) è facile comprendere la
maggiore stabilità dell’equilibrio del cubo qui
considerato.
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I requisiti per l’equilibrio di un corpo rigido
~ ≡ 0, allora dovremo avere
Dato che l’equilibrio statico del corpo impone P~ ≡ 0 e L
~
dP
=0
dt
e
~
dL
=0
dt
Tali relazioni portano in maniera naturale a formulare le condizioni per l’equilibrio di un
corpo attraverso la 2a legge di Newton nelle forme lineare e angolare espresse dalle seguenti
~ net = 0
F
e
~
τ net = 0
E cioè: Un corpo è in equilibrio quando la risultante delle forze esterne (forza
netta) e la risultante dei momenti esterni (momento netto) che agiscono su di
esso sono nulli!
Baricentro (centro di gravità) di un corpo
Il baricentro di un corpo è il punto dove può essere pensata applicata la forza gravitazionale
totale che agisce su di esso. Se il vettore accelerazione di gravità ~g è un vettore costante
(come supponiamo di solito), la forza di gravità totale agente su un corpo si può pensare
applicata al suo centro di massa. (La validità di tale affermazione è strettamente correlata al
fatto che ~g è un vettore costante).
In tali condizioni, sia ai fini del calcolo della forza netta, che (in particolare) ai fini del calcolo
del momento risultante, il baricentro di un corpo (anche non rigido) coincide con il suo centro
di massa.
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Esempi di equilibrio statico (1)
Una scala da pompieri di lunghezza L = 12 m e massa m = 45 kg è appoggiata ad un muro verticale (privo di attrito) e la sua estremità superiore
è ad una quota h = 9.3 m dal suolo. Il suo centro di massa si trova ad
un terzo della sua lunghezza. Un vigile del fuoco, di massa M = 72 kg,
si arrampica sulla scala fino a che il suo centro di massa si trova a metà
della scala stessa.
Quali sono i moduli delle forze che muro e suolo esercitano sulla scala?
Il diagramma della forze presenti è indicato qui a lato. L’equilibrio statico
impone che
~ s + f~s = 0
~ m + M~
~g + m~
~
g +N
N
~ m e f~s sono le uniche due forze orizzontali, si ricava
Osservando che N
immediatamente Nm = fs ! D’altra parte per le forze verticali abbiamo
Ns = (M + m)g = 1150 N.
Infine, calcolando i momenti delle forze rispetto ad O, otteniamo
a
a
hNm − M g − mg = 0
2
3
√
Quindi notando che è a = L2 − h2 , si ricava
√
(3M + 2m)g L2 − h2
f s = Nm =
= 410 N.
6h
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Esempi di equilibrio statico (2)
Una cassaforte avente massa M = 430 kg è sospesa ad una
fune fissata all’estremità della struttura in figura avente dimensioni a = 1.9 m e b = 2.5 m, formata da un puntone
omogeneo, di massa m = 85 kg incernierato in O ad una
parete verticale e tenuto in posizione inclinata da un cavo di
acciaio orizzontale di massa trascurabile.
Calcolare la tensione T del cavo.
Il diagramma della forze presenti è indicato nella figura
sottostante (dove Tc = M g). L’equilibrio statico impone
che
~ h + m~
~ v +N
~
g + T~ + T~ c = 0
N
→
Nh = T ;
Nv = Tc + mg = (M + m)g = 5050 N.
Imponendo poi l’annullarsi della risultante dei momenti
rispetto ad O
b
−aT + mg + bTc = 0,
2
ricaviamo
bg(m + 2M )
bmg + 2bTc
=
= 6100 N.
Nh = T =
2a
2a
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Esempio di centro di forza non coincidente con il centro di
massa
Una barra sottile, di massa m e lunghezza l è incardinata su un asse verticale
(vedi figura) e può ruotare liberamente intorno al punto di fissaggio. Supponendo che l’asse ruoti a velocità angolare ω costante e che la barra sia in equilibrio
(dinamico), determinare l’angolo θ che la barra forma con l’asse verticale.
————————————————————————
Se ci mettiamo nel sistema di riferimento in rotazione con l’asse verticale, capiamo che
l’equilibrio della barra (che in questo sistema è un equilibrio statico), è determinato dal
bilanciamento tra i momenti della forza gravitazionale (che possiamo concentrare nel centro
della barra) e il momento della forza centrifuga.
Quanto vale la forza centrifuga complessiva? Possiamo pensarla concentrata in qualche punto?
E se si, dove?
Su un elementino di barra di massa dm = m
dr che si trova a distanza x dall’asse verticale agisce una forza
l
2
centrifuga (verso l’esterno) pari a dFc = dm vx = dmω 2 x = m
ω 2 sin θrdr.
l
Conseguentemente, la forza centrifuga totale è pari a
Z l
1
m 2
2
ω sin θ
rdr = mω l sin θ
Fc =
l
2
0
D’altra parte, il momento risultante delle forze centrifughe su ogni elementino è
Z l
m 2
m 2
1
2
2 2
2
dτc = r cos θ · dFc =
ω sin θ cos θ r dr
⇒
τc =
ω sin θ cos θ
r dr = mω l cos θ sin θ
l
l
3
0
l cos θ · Fc . Ciò significa che il momento
Come si vede tale momento può essere scritto come τc = 2
3
della forza centrifuga può essere ottenuto supponendo tale forza concentrata (applicata), non
nel centro di massa della barra, ma in un punto ad una distanza dal vincolo pari ai due terzi
della lunghezza della barra stessa.
Perciò, l’equilibrio della barra è dato da
1
3g
3g
1
2 2
mω l cos θ sin θ = l sin θmg
→
cos θ =
→
θ = arccos
τc = τ g
⇒
2
2
3
2
2ω l
2ω l
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