Esercizi ()

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Esercizi
Le notazioni utilizzate sono quelle delle note. Inoltre, dato uno spazio topologico Z denotiamo con ncomp (Z) il numero
delle sue componenti connesse (eventualmente infinito).
Esercizio 1. Sia X un CW-complesso finito, X 0 ⊆ X 1 ⊆ X 2 ⊆ X 3 ... la sua deconposizione cellulare, X n = X n−1
(i
n
Dα
n
sono copie del disco D ), x0 ∈ X
0
`
α
n
φα Dα
un punto.
Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false, dimostrare quelle vere.
(1.1) ncomp (X 0 ) ≥ ncomp (X 1 ) ;
(1.2) ncomp (X 1 ) = ncomp (X k ) , ∀ k ≥ 1 ;
(1.3)
passando dallo 0-scheletro allo 1-scheletro il numero delle componenti connesse non può aumentare, nei passi
successivi resta necessariamente costante;
(1.4) le componenti connesse di X coincidono con le componenti connesse per archi ed esiste una identificazione naturale
n
| φα ({−1, 1}) = {p, q} ;
di tali componenti con X 0 /∼ dove ∼ è la relazione d’equivalenza generata da p ∼ q se ∃ Dα
(1.5) π1 (X 0 , x0 ) = 0 ;
(1.6) i⋆ : π1 (X 1 , x0 ) −→ π1 (X k , x0 ) è suriettiva per ogni k ≥ 1 ;
(1.7) i⋆ : π1 (X 2 , x0 ) −→ π1 (X k , x0 ) è un isomorfismo per ogni k ≥ 2 ;
(1.8) ogni cammino γ in X , con estremi nello 0-scheletro, è omotopo ad un cammino in X 1 che percorre 1-celle (in
numero finito) a velocità costante, precisamente:
∃ γ1 , ..., γn | γ ∼
{0, 1}
γ1 ∗...∗γn ,
1
(=[−1, 1]) , γi (t) = 2t−1 oppure γi (t) = 1−2t
γi : I → Dα
1
(sono ammesse ripetizioni, i.e. i vari codomini Dα
delle γi possono non essere distinti);
(1.9) X è uno spazio di Hausdorff
(Nota: alcuni autori definiscono i CW-complessi come spazi topologici soddisfacenti certe proprietà, inserendo tra queste
la richiesta di essere di Hausdorff. Noi, seguendo [Hatcher], abbiamo dato una definizione “costruttiva”, nel nostro caso la
separazione di Hausdorff non è tra le ipotesi, è una conseguenza della costruzione, va dimostrata).
(∗)
Esercizio 2. Sia X un CW-complesso (non necessariamente finito). Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere
e quali false, dimostrare quelle vere.
(2.0) per ogni cammino γ esiste un sottocomplesso finito Z di X tale che Im γ ⊆ Z ;
(2.1) , (2.2) , (2.3) , (2.4) , (2.5) , (2.6) , (2.7) , (2.8) , (2.9) come nell’esercizio 1.
Esercizio 3.
Ricordiamo la classificazione delle superfici topologiche compatte:
Cg , g ≥ 0
P2 (R)#m , m ≥ 1
,
(rispettivamente, somma connessa di g tori e somma connessa di m piani proiettivi). Si considerino le superfici
S(∅),
S(aa),
S(aa−1 ),
S(aabb),
S(abab),
S(abab−1 ),
S(aabbcc),
S(aabccb),
S(aabccb−1 ),
S(aabcbc),
S(abcabc),
S(abcacb),
S(abcabc−1 ),
S(abcacb−1 ),
S(a1 a2 a3 ...an a−1 a−1 a−1 ...a−1
),
n
1
2
3
S(aba−1 b−1 ),
S(aabcbc−1 ),
S(aabcb−1 c−1 ),
S(abcab−1 c−1 ),
S(abca−1 b−1 c−1 ),
S(a1 a2 a3 ...am a1 a2 a3 ...am ),
(distinguere n pari o dispari)
dove S(...) denota il poligono con i lati identificati a coppie secondo l’etichettatura indicata. Per ognuna di esse, stabilire:
(3.1) di quale superficie si tratta calcolandone il gruppo fondamentale (o meglio il suo abelianizzato);
(3.2) di quale superficie si tratta utilizzando la tecnica del “cut & paste”.
(♣)
Per il calcolo del gruppo fondamentale si applichi il teorema di Seifert-Van Kampen alla coppia di aperti
U = “2-cella aperta”,
Esercizio 4.
V = Sr{o} , o ∈ U .
Sia, come al solito, S(...) il poligono con i lati identificati secondo l’etichettatura indicata.
(4.1) Si determini il gruppo fondamentale (cfr. (♣)) degli spazi topologici che seguono (n.b.: non sono superfici topologiche):
S(aaa),
S(aaaa),
S(aaaaa),
S(aaaaab),
S(aaaaabbb) ;
(4.2) stabilire quale degli spazi che seguono è il cilindro e qual è il nastro di Möbius (con bordo):
S(abac),
S(aba−1 c)
Inoltre, utilizzando (♣), ritrovare che entrambi hanno Z come gruppo fondamentale.