Transcript ESERCIZI PER CASA – NONA E DECIMA SETTIMANA Universit`a

ESERCIZI PER CASA – NONA E DECIMA SETTIMANA
Universit`
a degli Studi di Trento – Corso di Laurea in Matematica
Corso di Teoria dei Gruppi – A.A. 2013/14
9 maggio 2014
Configurazioni di sottospazi. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo finito Fq , e sia
0 ≤ k ≤ n. Utilizzando opportunamente le azioni, calcolate quante sono le decomposizioni distinte di V
nella somma diretta di un sottospazio di dimensione k ed uno di dimensione n − k.
[Suggerimento: Nel caso speciale in cui n = 2k la richiesta `e ambigua avendo due possibili interpretazioni:
L
L
per fissare le idee diciamo che consideriamo due decomposizioni V = U1
U2 e V = U2
U1 come distinte.]
L’azione naturale dei gruppi affini. Se F `e un campo, il gruppo AGL(1, F ) agisce su F in modo
naturale (come gruppo delle affinit`
a della retta affine su F , avendo fissato un sistema di riferimento
affine su di essa, cio`e il punto 0 ed il punto 1). Se q `e una potenza di un primo p indichiamo con Fq
l’unico campo con q elementi. In particolare Fp = Z/pZ, il campo degli interi modulo p. Naturalmente
AGL(1, Fq ) ha ordine q(q − 1), e quindi AGL(1, F2 ) `e ciclico, avendo ordine 2.
(1) Mostrate che AGL(1, F3 ) `e isomorfo al gruppo simmetrico S3 , costruendo esplicitamente un
isomorfismo.
(2) Mostrate che AGL(1, F4 ) `e isomorfo al gruppo alterno A4 , costruendo esplicitamente un isomorfismo.
[Suggerimento: Non serve lavorare esplicitamente con il campo con quattro elementi; tutto ci`
o che vi
serve `e che la retta affine su F4 ha, ovviamente, quattro punti. Usando l’azione ottenete un omomorfismo
iniettivo in S4 , e l’immagine ha lo stesso ordine di A4 . Ora, o usate il fatto che S4 ha un solo sottogruppo
di indice due, oppure verificate direttamente che ogni trasformazione affine della retta su F4 (cio`e ogni
elemento di AGL(1, F4 )) agisce su F4 come una permutazione pari.]
(3) Determinate le classi di coniugio di AGL(1, R). Elencate un rappresentante per ciascuna classe.
(4) Mostrate che il sottoinsieme di AGL(1, R) costituito dalle matrici [ ab 01 ] con a = ±1 (gli unici
interi invertibili) e b ∈ Z `e un sottogruppo.
Nota: Si tratta del gruppo diedrale infinito, che possiamo indicare con AGL(1, Z), o anche con D∞ .
Possiamo anche pensarlo come il gruppo delle simmetrie di Z visto come sottoinsieme della retta Euclidea
(un poligono regolare con infiniti lati, e quindi di raggio infinito).
Realizzazioni alternative dei gruppi diedrali. Fissate un intero positivo n.
(1) Sia G il gruppo delle biiezioni di C su se stesso della forma x 7→ cx oppure x 7→ cx, dove cn = 1.
Mostrate che G `e isomorfo al gruppo diedrale Dn , esibendo un isomorfismo.
(2) Sia H il gruppo delle biiezioni di Z/nZ su se stesso della forma x 7→ x + c oppure x 7→ −x + c.
Mostrate che H `e isomorfo al gruppo diedrale Dn , esibendo un isomorfismo.
Le classi di coniugio di Dn per n pari. Analogamente al caso n dispari visto a lezione, determinate
le classi di coniugio del gruppo diedrale Dn (gruppo delle simmetrie di un n-agono regolare) per n pari.
Fate la stessa cosa anche per il gruppo diedrale D∞ (che si comporta come Dn con n pari).
[Suggerimento: Notate che in questo caso Dn ha centro non banale, e che le riflessioni formano due classi di
coniugio distinte. (Infatti una di esse consiste delle riflessioni di asse passante per due vertici opposti, mentre
l’altra consiste delle riflessioni di asse passante per i punti medi di lati opposti.) Ad esempio, coniugando la
k
riflessione b sotto un’arbitraria rotazione otteniamo ba = a−k bak = ba2k , che ci d`
a soltanto n/2 coniugati,
perch´e n `e pari. Ora `e facile vedere che b non ha altri coniugati oltre a quelli trovati. Lo possiamo fare calcolando
k
k
bba = ba = ba2k oppure, forse ancor meglio (nel caso n < ∞), notando che il centralizzante di b contiene almeno
i quattro elementi 1, b, an/2 , ban/2 e usando il teorema orbita-stabilizzatore. Complessivamente troverete che Dn
ha (n/2) + 3 classi di coniugio.]
Azioni non equivalenti. Considerate il gruppo diedrale Dn , come il gruppo delle simmetrie di un
poligono di n lati, con n pari. Ricordate che il poligono ha n assi di simmetria, di cui n/2 passano per
vertici opposti, ed altri n/2 per i punti medi di lati opposti. Chiaramente Dn permuta transitivamente
gli assi del primo tipo, e permuta transitivamente gli assi del secondo tipo. Dimostrate che le due azioni
sono equivalenti se n/2 `e dispari, ma non se n/2 `e pari.
1
2
Il prodotto semidiretto. Dati due gruppi N e H, ed un omomorfismo α : H → Aut(N ), il prodotto
semidiretto (esterno) di H e N rispetto all’omomorfismo α, indicato con H n N (o H nα N se vogliamo
specificare α) `e l’insieme prodotto cartesiano H × N con l’operazione
(h1 , n1 )(h2 , n2 ) = h1 h2 , n1h2 α n2 .
(Per maggiore chiarezza, in questo caso abbiamo apposto l’automorfismo h2 α ∈ Aut(N ) ad esponente
del suo argomento n1 , piuttosto che semplicemente a destra di esso come facciamo di solito.)
(1) Verificate che H n N `e un gruppo.
¯ = {(h, 1) : h ∈ H} e N
¯ = {(1, n) : n ∈ N } sono sottogruppi di H n N , isomorfi
(2) Mostrate che H
rispettivamente a H e N , e che il secondo `e un sottogruppo normale di H n N .
¯ eN
¯ , cio`e che H
¯N
¯ = H nN
(3) Verificate infine che H n N `e il prodotto semidiretto interno di H
¯ ∩N
¯ = 1 (e che uno dei due `e normale, come stabilito poco fa).
eH
Azioni di gruppi lineari. Siano F un campo e n un intero positivo. Il gruppo lineare generale GL(n, F )
`e l’insieme delle matrici n per n invertibili a coefficienti in F , con l’operazione di moltiplicazione.
(1) Mostrate che l’azione naturale di G = GL(n, F ) (per moltiplicazione a destra) sullo spazio dei
vettori riga F n ha esattamente due orbite.
[Suggerimento: Un vettore non nullo si pu`
o estendere ad una base.]
(2) Descrivete lo stabilizzatore di un punto non nullo, ad esempio di (1, 0, . . . , 0); a quale gruppo a
voi noto `e isomorfo?
(3) Considerate ora l’azione indotta sull’insieme F n × F n delle coppie ordinate di vettori in F n ;
descrivetene le orbite, possibilmente esibendo un insieme di rappresentanti.
[Suggerimento: Notate che le due componenti di una coppia potrebbero essere linearmente dipendenti,
ed eventualmente anche uguali; fate anche attenzione al valore di n.]
Il gruppo lineare speciale SL(n, F ) `e il nucleo dell’omomorfismo GL(n, F ) → F ∗ dato da A 7→ det A,
cio`e il sottogruppo di GL(n, F ) che consiste delle matrici di determinante 1.
(5) Mostrate che l’azione naturale di SL(n, F ) su F n \ {0} `e transitiva, se n ≥ 2. Che succede se
n = 1?
`
(6) C’`e un’azione indotta di GL(n, F ), e quindi anche di SL(n, F ), sull’insieme delle basi di F n . E
transitiva quest’azione, nei due casi?
I gruppi ortogonali. Per n intero positivo, il gruppo O(n, R) := {A ∈ GL(n, R) : A · A| = I}, spesso
abbreviato con O(n), si dice gruppo ortogonale. L’azione naturale su Rn non `e transitiva, infatti manda
la sfera unitaria Ω = {x ∈ Rn : kxk = 1} (intesa come superficie sferica, di dimensione n − 1) in se
stessa, dando quindi un’azione di O(n) su Ω.
(1) Mostrate che l’azione di O(n) su Ω `e transitiva. Quindi cosa sono, pi`
u in generale, le orbite di
O(n) su Rn ?
(2) Descrivete lo stabilizzatore di un punto, ad esempio di (1, 0, . . . , 0), in tale azione. A quale
gruppo `e isomorfo?
Il gruppo ortogonale speciale `e SO(n) := O(n) ∩ SL(n). Perci`o esso `e un sottogruppo normale di O(n).
(3) Quanti sono i laterali di SO(n) in O(n)?
(4) Che gruppi sono O(1) e SO(1)?
(5) Mostrate che se n ≥ 2 anche SO(n) agisce transitivamente su Ω.
[Suggerimento: Un vettore di lunghezza 1 si pu`
o estendere ad una base ortonormale.]
I gruppi unitari. Per n intero positivo, il gruppo U(n) := {A ∈ GL(n, C) : A · A¯| = I} si dice gruppo
unitario.
(1) Mostrate che l’azione naturale di U(n) su Ω = {x ∈ Cn : kxk = 1} `e transitiva.
[Suggerimento: Notate che qui usiamo il prodotto hermitiano x · y := x1 y¯1 + · · · xn y¯n , e quindi
kxk = |x1 |2 + · · · + |xn |2 .]
Il gruppo unitario speciale `e SU(n) := U(n) ∩ SL(n).
(2) Che gruppi sono U(1) e SU(1)?
(3) Mostrate che se n ≥ 2 anche SU(n) agisce transitivamente su Ω.