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DEFINIRE I COEFFICIENTI KT (COEFFICIENTE DI INTAGLIO TEORICO) E KS (COEFFICIENTE DI INTAGLIO
SPERIMENTALE) ED EFFETTUARE UN CONFRONTO COMPARATIVO PER UN MATERIALE DUTTILE
πΎπ‘ -> rapporto tra lo sforzo effettivo massimo dovuto allβintaglio e lo sforzo in assenza di intaglio. Quantifica lβeffetto
geometrico sulla sollecitazione. Dipende dalla geometria del problema e dal tipo di carico applicato e non dal
materiale. Noto tale coefficiente si risale allo sforzo massimo agente in una sezione a partire dal calcolo delle
π
sollecitazioni nominali: πΎπ‘ = ππππ₯
πππ
β²
πΎπ -> rapporto tra il carico limite in un elemento non intagliato πΉπΏπΌπ e lβeffettivo carico limite πΉπΏπΌπ
del componente
intagliato con la stessa sezione resistente del provino liscio. πΎπ dice di quanto si riduce il carico limite applicabile per
πΉ
la presenza della variazione geometrica: πΎπ = πΉπππ
β²
πππ
Entrambi valgono per legame costitutivo lineare.
Per i materiali duttili il valore del coefficiente di intaglio sperimentale
varia a seconda della condizione limite utilizzata e cioè:
- Plasticizzazione totale (condizione limite è lo snervamento) :
Ks = 1 [lβintaglio non determina alcuna penalizzazione della
capacità di carico ultima della sezione]
- Prima plasticizzazione (condizione limite è la rottura): Ks = Kt
[comportamento dei materiali fragili]
Si ha un effetto di intaglio molto più penalizzante nei materiali fragili rispetto ai materiali duttili poiché raggiunto il
cedimento locale si va a rottura.
SI ILLUSTRI IL CRITERIO DI MINER PER LA VERIFICA A FATICA AD AMPIEZZA VARIABILE
Si consideri un provino sottoposto a fatica alternata con sollecitazioni più
elevate del limite di fatica, in cui però lβampiezza π non sia costante:
per esempio viene applicata ππ = π1 per n1 cicli, poi ππ = π2 per n2 cicli.
La resistenza con sollecitazioni di questo tipo va valutata con apposite
metodologia, sviluppate sulla base di quanto proposto da Miner.
Si consideri il diagramma di Wohler, sia N1 il numero di cicli di
sollecitazione, di ampiezza ππ = π1 , che il materiale può sopportare
prima di giungere a rottura: dovrà essere n1<N1, per evitare di
raggiungere la rottura. Si può in particolare pensare che dopo n1 cicli con
ππ = π1 sia utilizzata una frazione di vita pari a n1/N1, cosicchè rimane una frazione utile data da 1 β n1/N1 . Secondo
Miner, questa frazione può essere spesa ad un altro livello di carico. Detto N2 lβanalogo di N1 per ππ = π2 , il massimo
π
π
numero di n2 di cicli con ππ = π2 sarà tale da soddisfare la relazione : 2 = 1 β 1 . Generalizzando tale approccio,
π2
π1
nel caso di frazioni di danneggiamento differente, possiamo applicare la legge di Miner (o del danneggiamento
π
π
cumulativo): ππ = 1. In realtà la legge di Miner presenta una forte dispersione e si può trovare ππ = 0 ÷ 10 (un
π
π
errore fino al 10%). Queste relazioni sono, di regola, valide per sollecitazioni in campo elastico.
DEFINIRE I COEFFICIENTE KT ( COEFFICIENTE DI INTAGLIO TEORICO) E KF (COEFFICIENTE DI INTAGLIO A FATICA),
DESCRIVENDO IL LEGAME PRESENTE TRA I DUE PARAMETRI
Il coefficiente di intaglio teorico viene utilizzato nellβambito di prove statiche per provini soggetti ad uno o più intagli.
ππππ₯
πΎπ‘ =
ππππ
Essendo ππππ₯ lo sforzo effettivo dovuto alla presenza dellβintaglio e ππππ lo sforzo nominale, ovvero lo sforzo che si
avrebbe nella sezione senza lβeffetto dellβintaglio.
Nellβambito di prove a fatica, lo sforzo assumera un valore di ππΉπ΄ (sforzo di fatica alternata), che ovviamente risulta
diverso nel caso di provini con presenza di intaglio. Il rapporto fra i due limiti è il coefficiente di intaglio a fatica,
definito come:
ππΉπ΄
πΎπ = β²
ππΉπ΄ (πΎπ‘ )
Il coefficiente di intaglio a fatica πΎπ risulta minore del coefficiente di intaglio teorico πΎπ‘ , sebbene , in generale,
questa differenza non sia grande; infatti, utilizzando πΎπ‘ al posto di πΎπ nel dimensionamento e nella verifica, si opera
in maniera cautelativa.
La relazione tra i due coefficienti può essere espressa nella forma: πΎπ = 1 + π πΎπ‘ β 1 dove π è la sensibilità
allβintaglio a fatica ed è compreso tra 0 (totale insensibilità) e 1 (massima sensibilità). π dipende sia dal gradiente
degli sforzi in corrispondenza della zona intagliata (pendenza ππ/ππ₯ ) che dalle caratteristiche meccaniche del
materiale. Può essere ricavata attraverso lβutilizzo dei grafici in funzione del raggio di raccordo oppure utilizzando le
1
formule di Peterson o di Neuber rispettivamente : π = 1+π/π (r raggio di raccordo e a parametro caratteristico del
materiale) o π =
1
1+ π/π
( π è caratteristica del materiale, funzione del carico di rottura del materiale stesso e r
raggio di raccordo).
DEFINIRE LA TENACITAβ ALLA FRATTURA π²π°πͺ , METTENDO IN EVIDENZA LA DIPENDENZA DEL PARAMETRO π²πͺ
DALLO SPESSORE
Il fattore K è un parametro di similitudine: strutture con differenti geometrie, carichi e lunghezza di cricca, ma con lo
stesso valore di K, sono caratterizzate da uno stato di sforzo allβapice della cricca simile e si comportano, quindi, allo
stesso modo (per uguale campo di sollecitazione). La condizione di cedimento (propagazione instabile della cricca) è
espressa dallβuguaglianza del fattore K nel componente con un fattore critico caratteristico del materiale: πΎπΌπΆ .
La propagazione instabile della cricca avviene quando gli sforzi allβapice della cricca raggiungono un valore critico,
troppo elevato perché sia sopportabile dal materiale. Poiché lo stato di sforzo è caratterizzato dal
fattore di intensità degli sforzi si può anche dire che la frattura si manifesta se K raggiunge un valore
critico, chiamato πΎπΌπΆ : πΎπΌ = πΎπΌπΆ (πΎπΌπΆ : tenacità alla frattura o fattore di intensità degli sforzi critico in
π
stato di deformazione piana, la cui unità di misura è πππ π ): πΎπΌπΆ = πΎπΌ = π½π ππ = ππ΅ ππ dove è
π
funzione di tutti i fattori geometrici che influenzano lo sforzo allβapice della cricca e se π < 0.5 β π½ = 1
altrimenti π½ = 1.12.
Nella realtà, il fattore di intensità degli sforzi critico è variabile con lo spessore (stato di sforzo). La frattura si
raggiunge non perché si raggiunga un determinato valore di K, ma perché i valori degli sforzi diventano troppo
elevati per essere sopportati dal materiale.
ENUNCIARE LA FORMULAZIONE E IL CAMPO DI VALIDITAβ DEI CRITERI DI RESISTENZA DI HUBER-HENCKY-VON
MISES E GUEST-TRESCA, E DISCUTERE LE DIFFERENZE TRA I DUE
Si tratta di due criteri utilizzati per studiare la resistenza statica di un materiale duttile (cioè con un rapporto tra Rm e
Rs percentuale superiore al 5-10%) in cui la modalità di cedimento si presenta con uno snervamento marcato
(fenomeno della strizione) e un allungamento notevole con particolare facilità a deformarsi plasticamente. Come
sollecitazione limite si considera lo snervamento ( cedimento non catastrofico e coefficiente di sicurezza minore
rispetto a materiali fragili).
Il criterio di GT si basa sul fatto che i materiali duttili raggiungono il cedimento per scorrimento, cioè quando lo
sforzo tangenziale massimo eguaglia il massimo valore dello sforzo tangenziale che si ottiene dalla prova di trazione,
quando si raggiunge lo snervamento. La grandezza indice del pericolo è il massimo sforzo tangenziale, che si
raggiunge sui piani inclinati a 45° rispetto alle direzioni principali, ossia sono equivalenti al pericolo del cedimento
tutti gli stati di sforzo che presentano uguale πππ΄π . Si ha:
ππππππ ,πππ₯ β ππππππ ,πππ
π
ππ
π
ππ
β
πππ΄π =
β€
; ππΊπ
= ππππππ ,πππ₯ β ππππππ ,πππ β€
2
2Ξ·
Ξ·
La curva limite risulta un esagono: i punti allβinterno rappresentano tutti gli stati di sforzo con ππΌπΌπΌ = 0 accettabili,
mentre per i punti allβesterno non è verificata la condizione del criterio di GT.
Secondo HHV si ha snervamento quando lβenergia di distorsione è uguale allβenergia di distorsione che provoca lo
snervamento in un provino sollecitato a trazione. La grandezza indice del pericolo è quindi lβenergia specifica elastica
di deformazione relativa alla variazione di forma (tensore deviatorico).
Ogni materiale sollecitato elasticamente subisce un piccolo cambiamento di forma, di
volume o di entrambi, lβenergia necessaria a produrre tale cambiamento viene
immagazzinata nel corpo sotto forma di energia elastica. Tuttavia, un certo materiale ha
una limitata e definita capacità di assorbire energia di distorsione, ossia energia tendente
a cambiare la forma ma non il volume, ogni tentativo di incrementare lβenergia di
distorsione ceduta al corpo oltre quel dato limite produce lo snervamento.
Lβimpiego di questo criterio implica lβutilizzo del concetto di tensione equivalente, definita
come la tensione uniassiale di trazione che produrrebbe lo stesso valore di energia di distorsione prodotto
dallβeffettivo stato di tensione in esame. In termini di tensioni principali, lβequazione della tensione equivalente è:
β
2
2
πππ
= ππΌ2 + ππΌπΌ2 + ππΌπΌπΌ
β ππΌ ππΌπΌ β ππΌπΌ ππΌπΌπΌ β ππΌπΌπΌ ππΌ β ππΌ2 + ππΌπΌ2 β ππΌ ππΌπΌ = ππ π
che corrisponde allβequazione di
unβellisse. Il criterio di von Mises predice nel caso della torsione pura una π π che è superiore di circa il 15% rispetto
a quella determinata con il criterio di Guest Tresca. Le verifiche sperimentali hanno mostrato che il criterio di von
Mises descrive meglio il comportamento dei materiali duttili. Inoltre, se sono note le direzioni e le grandezze degli
sforzi principali, è di più semplice utilizzo rispetto a quello di Geust-Tresca. Confrontando questo criterio con quello
di Guest-Tresca, si osserva che quest'ultimo è più restrittivo, poiché la curva limite nel piano ππΌπΌπΌ = 0 è
completamente contenuta in quella del criterio di von Mises.
DESCRIVERE BREVEMENTE IL DIAGRAMA DI WOHLER E DEFINIRE I SEGUENTI PARAMETRI DA ESSO RICAVABILI:
- VITA A FATICA
- RESISTENZA A FATICA
- LIMITE A FATICA
Il diagramma di Wohler è un diagramma in scala logaritmica ricavato sperimentalmente tramite prove di fatica e
mette in relazione lo sforzo alternato ππ (ordinate) con il numero di cicli di sollecitazione N (ascisse) che il
materiale può sopportare prima di giungere a rottura, per cui è un diagramma specifico per ogni materiale.
Si definiscono:
- La vita a fatica π che è il numero di cicli di carico in corrispondenza del quale si verifica la rottura di un
provino per un dato livello di sforzo;
- La resistenza a fatica che è il valore dellβampiezza di sforzo che provoca la rottura in corrispondenza di π cicli
di carico;
- Il limite di fatica ππΉ , che è il valore di resistenza a fatica per durata cosiddetta illimitata, cioè il valore di
sforzo al di sotto del quale non si arriva a cedimento per un numero molto elevato di cicli (π = 107 ÷ 108 ).
Nel diagramma è possibile distinguere 3 diverse zone:
- una zona di vita finita K, in cui il pezzo giunge a rottura con un
numero N basso e sollecitazioni molto elevate (π = 103 );
- una zona di vita illimitata D (potenzialmente), in quanto il pezzo non
giunge a rottura o può giungere a rottura per un numero di cicli
molto alto, sebbene si abbia uno sforzo più basso di Rm,
rappresentato dallo sforzo di fatica alternata (con effetto di intaglio,
eventualmente) πβ²πΉπ΄ . Gli sforzi applicati sono inferiori ma si
verificano ancora delle rotture. Il legame tra sforzi e durata è di tipo
esponenziale: π π π = πππ π‘;
- la terza zona Z è una zona di transizione tra le due appena descritte ed è la zona in cui per sollecitazioni
inferiori al limite di fatica non si verificano rotture.
DIAGRAMMA DI HAIGH
Per tenere conto della sollecitazione media sulla resistenza a fatica si utilizza di diagramma di H che rappresenta le
ampiezze delle sollecitazioni limite (ordinate) in funzione delle sollecitazioni medie (ascisse). Per ππππ positive, nel
caso di flessione, lβampiezza ππ diminuisce, mentre per ππππ negative tende ad aumentare. Nel caso di torsione, fino
allo snervamento la ππππ non influenza la π. La verifica ha esito positivo se il punto caratteristico dello stato di sforzo
ππππ β ππ è interno alla curva limite di H. Per valutare il coefficiente di sicurezza, bisogna trovare il punto sulla curva
limite corrispondente allo stato di sforzo che si sta considerando.
STATO DI SFORZO MULTIASSIALE: GOUGH-POLLARD E SINES
GP è utilizzabile in caso di presenza contemporanea di azioni di torsione e flessione variabili nel tempo, mentre S ha
validità più generale.
β
La sollecitazione di confronto di Gough-Pollard è data da ππΊπ
=
β
La sollecitazione di confronto di Sines è data da: ππΊπ
=
πΎ ππΌπ + ππΌπΌπ + ππΌπΌπΌπ dove πΎ =
β²
ππΉπ΄
βπ ππππ
π ππππ
ππ2 + π» 2 + ππ2 dove π» =
β²
ππΉπ΄
β²
π πΉπ΄
2
2
2
ππΌπ
+ ππΌπΌπ
+ ππΌπΌπΌπ
β ππΌπ ππΌπΌπ β ππΌπΌπ ππΌπΌπΌπ β ππΌπ ππΌπΌπΌπ β€
β²
ππΉπ΄
π
β
dipende dalle caratteristiche del materiale utilizzato e rappresenta un
indice di quanto si riduce il limite sulle componenti alternate e allβaumentare delle componenti medie.