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Freccia elastica albero a sezioni diverse Presentazione del progetto Procedimento di calcolo Piano xy Piano xz Composizione delle deformazioni (frecce) Tabulati di calcolo Foglio Numbers Programma Matlab 2 4 4 14 14 17 17 18 1 Presentazione del progetto Consideriamo un albero su cui è calettato un ingranaggio a denti diritti, come in Fig. 1 e 2. • raggio primitivo: Rp=80 mm • angolo di pressione 𝛼 =20° • forza tangenziale Ft=8000 N • forza normale Fn=Ft*tan(𝛼)=8000*tan(20°)=2912 N • momento trasmesso Mt=80*8000/10^3=640 N • materiale acciaio, modulo di Young E=207000 MPa Fig. 1 2 Fig. 2 Si richiede di calcolare in funzione della coordinata x, le frecce dell'albero dovute alle forze applicate. La freccia massima accettabile è pari a 1/3000 della luce tra gli appoggi. Qualora questo vincolo non fosse rispettato, si dovrà aumentare opportunamente i diametri. 3 Procedimento di calcolo Per semplificare i calcoli, conviene scomporre le azioni secondo i piani xy e xz. Per ognuno di questi piani si calcolano le deformazioni e quindi per sovrapposizione degli effetti (valevole solo in campo elastico) si ricavano le risultanti punto per punto dell'asse x; è sufficiente effetture la valutazione p.e. ogni 5 mm sull'asse x. Piano xy Schematizzazione Fig. 3 Vista piano XY 4 Calcolo le reazioni agli appoggi applicando le Eq. Cardinali della Statica F=0
M=0
R A + R B = Fn
G
Fn QL 1 + L 2 /2V - R B L = 0
R A = Fn - R B
G
R B = Fn QL 1 + L 2 /2V /L
POLO A
R A = Fn - Fn QL 1 + L 2 /2V /L = Fn
(1) positivo orario
Q L - L 1 - L 2 /2 V
L
Diagramma dei momenti Fig. 4 Diagramma momento flettente piano xy 5 Tratto AC: considero l'origine partendo da A M AC = R A x = Fn
Q L - L 1 - L 2 /2 V
(2) Tratto BC: considero l'origine partendo da B M BC = R b x = Fn
L
Q L 1 + L 2 /2 V
L
(3) Linea elastica M
yp = EJ
(4) rotazioni i = yo =
x
x
M
EJ dx + C 1 #
(5) frecce y=
# dx #
M
EJ dx + C 2 (6) le costanti C1 e C2 sono da deteminarsi in base alle condizioni al contorno Tratto AD i=
#
M AC
EJ 1 dx + C 1 AD =
y=
# dx #
1 - L 2 /2 V
# Fn QL - LLEJ
xdx + C 1
1
AD
= Fn
Q L - L 1 - L 2 /2 V
2EJ 1 L
x 2 + C 1 AD
Q L - L 1 - L 2 /2 V 3
M AC
dx
C
x + C 1 AD x + C 2 AD
+
1 AD dx + C 2 AD = Fn
EJ 1
6LEJ 1
(7) (8) 6 condizioni al contorno per x=0 => y=0 per x=L1 => Tratto DC => yL1AD=yL1DC ϑL1AD = ϑL1DC per congruenza la freccia da sx deve essere uguale alla freccia da dx per congruenza la rotazione da sx deve essere uguale alla rotazione da dx i=
Q L - L 1 - L 2 /2 V 2
M AC
+
dx
C
x + C 1 DC
1 DC = Fn
EJ 2
2EJ 2 L
#
Q L - L 1 - L 2 /2 V 3
M AC
dx
C
x + C 1 DC x + C 2 DC
+
1 DC dx + C 2 DC = Fn
EJ 2
6LEJ 2
(9) y=
# dx #
(10) condizioni al contorno per x=L1 => => per x=L1+L2/2 => yL1AD=yL1DC ϑL1AD = ϑL1DC per congruenza la freccia da sx deve essere uguale alla freccia da dx per congruenza la rotazione da sx deve essere uguale alla rotazione da dx y(L1+L2/2)DC=y(L1+L2/2)CE ϑ(L1+L2/2)DC = ϑ(L1+L2/2)CE => Tratto EC (!considero x a partire da B!) i=
#
per congruenza la freccia da sx deve essere uguale alla freccia da dx per congruenza la rotazione da sx deve essere uguale alla rotazione da dx Q L 1 + L 2 /2 V 2
M BC
+
dx
C
x + C 1 BC
1 BC = Fn
EJ 2
2EJ 2 L
Q L 1 + L 2 /2 V 3
M BC
dx
+
C
x + C 1 DC x + C 2 DC
1 BC dx + C 2 BC = Fn
EJ 2
6LEJ 2
(11) y=
# dx #
(12) 7 condizioni al contorno y(L1+L2/2)DC=y(L3+L2/)CE ϑ(L1+L2/)DC = ϑ(L3+L2/)CE per x=L3+L2/2 => => => y(L3+L2/2)CE=yL3BE ϑ(L3+L2/2)CE = ϑL3BE per x=L3 => Tratto EB (¡considero x a partire da B!) i=
#
per congruenza la freccia da sx deve essere uguale alla freccia da dx per congruenza la rotazione da sx deve essere uguale alla rotazione da dx per congruenza la freccia da sx deve essere uguale alla freccia da dx per congruenza la rotazione da sx deve essere uguale alla rotazione da dx Q L 1 + L 2 /2 V 2
M BE
dx
C
x + C 1 BE
+
1 BE = Fn
EJ 3
2EJ 3 L
Q L 1 + L 2 /2 V 3
M BE
dx
C
x + C 1 BE x + C 2 BE
+
1 BE x = Fn
EJ 3
6LEJ 3
(13) y=
# dx #
(14) condizioni al contorno per x=L3 => y(L3+L2/2)CE=yL3BE ϑ(L3+L2/2/)CE = ϑL3BE per congruenza la freccia da sx deve essere uguale alla freccia da dx => per congruenza la rotazione da sx deve essere uguale alla rotazione da dx per x=0 => y=0 Riepilogo delle costanti di cui occorre determinare il valore C1AD C2AD C1DC C2DC C1CE C2CE C1BE C2BE Tab. 1 8 Per x =A 0 = 2.32 : 10 -8 : 0 + C 1 AD : 0 + C 2 AD C 2 AD = 0 (15) Per x=D x=L1 uguaglianza rotazioni da sx a dx al punto D i AD = i DC
6.97 : 10 -8 x 2 + C 1 AD = 2.20 : 10 -8 x 2 + C 1 DC
6.97 : 10 -8 L 21 + C 1 AD = 2.20 : 10 -8 L 21 + C 1 DC
6.86 : 10 -4 + C 1 AD = C 1 DC
C 1 AD - C 1 DC =- 6.86 : 10 -4
(16) uguaglianza delle frecce da sx a dx nel punto D y AD = y DC
2.32 : 10 -8 x 3 + C 1 AD x + C 2 AD = 7.35 : 10 -9 x 3 + C 1 DC : x + C 2 DC
Q2.32 : 10 -8 - 7.35 : 10 -9V : 120 3 =- 120C 1 AD - C 2 AD + 120C 1 DC + C 2 DC
2.74 : 10 -2 =- 120C 1 AD - C 2 AD + 120C 1 DC + C 2 DC
(17) 9 Per x=C da sx =L1+L2/2=120+60/2=150 da dx = L3+L2/2=70+60/2=1200 uguaglianza rotazioni da sx a dx al punto C i DC = i EC
2.20 : 10 -8 : 150 2 + C 1 DC = 3.30 : 10 -8 : 100 2 + C 1 EC
C 1 DC - C 1 EC = 3.30 : 10 -8 : 100 2 - 2.20 : 10 -8 : 150 2 =- 4.63 : 10 -4 (18) uguaglianza delle frecce da sx a dx nel punto C y DC = y EC
7.35 : 10 -9 : 150 3 + C 1 DC : 150 + C 2 DC = 1.103 : 10 -8 : 100 3 + C 1 EC : 100 + C 2 EC
150 : C 1 DC + C 2 DC - 100 : C 1 EC - C 2 EC =- 1.378 : 10 -2
(19) per x=E =70 uguaglianza rotazioni da sx a dx al punto E i EC = i BE
3.30 : 10 -8 : 70 2 + C 1 EC = 2.168 : 10 -7 : 70 2 + C 1 BE
C 1 EC - C 1 BE =+ 9.0 : 10 -4
(20) uguaglianza delle frecce da sx a dx nel punto E y EC = y BE
1.103 : 10 -8 : 70 3 + 70 : C 1 EC + C 2 EC = 7.229 : 10 -8 : 70 3 + 70 : C 1 BE + C 2 BE
70 : C 1 EC - 70 : C 1 BE - C 2 BE = 2.1 : 10 -2
(21) 10 per x=B=0 y BE = 0 = C 2 BE (22) Riepilogo condizioni al contorno 2
1V C 2 A = 0
2V C 1 AD - C 1 DC =- 6.86 : 10 -4
3V - 120 : C 1 AD + 120 : C 1 DC + C 2 DC =+ 2.74 : 10 -2
4V
5V
6V
7V
8V
C 1 DC - C 1 EC =- 4.63 : 10 -4
+ 150 : C 1 DC + C 2 DC - 100 : C 1 EC - C 2 EC =- 1.378 : 10 -2
+ C 1 EC - C 1 BE =+ 9.0 : 10 -4
+ 70 : C 1 EC + C 2 EC - 70 : C 1 BE = 2.1 : 10 -2
C 2 BE = 0
(23) quindi 6 equazioni lineari in 6 incognite; il sistema può essere risolto p.e. con Matlab, ove per farla breve ed evitare confusioni, rinomino le incognite incognite d n p q r s termine noto equazioni C1AD C1DC C2DC C1EC C2EC C1BE 2 C1AD -­‐C1DC 0 0 0 0 -­‐6.86Ŋ10^-­‐4 3 -­‐120 C1AD +120 C1DC C2DC 0 0 0 +2.74Ŋ10^-2
4 0 +C1DC 0 -­‐C1EC 0 0 -­‐4.63Ŋ10^-4
5 0 +150 C1DC C2DC -­‐100 C1EC -­‐C2EC 0 -­‐1.378 10^-­‐2 6 0 0 0 C1EC 0 -­‐C1BE +9.0 10^-­‐4 7 0 0 0 +70 C1EC C2EC -­‐70C1BE +2.1 10^-­‐2 Tab. 2 11 soluzione: d=2.228Ŋ10^-­‐4 n=9.088Ŋ10^-­‐4 p=-­‐549Ŋ10^-­‐4 q=14Ŋ10^-­‐4 r=-­‐420Ŋ10^-­‐4 s=4.718Ŋ10^-­‐4
Riepilogo delle equazioni Tratto AD i AD = 6.97 : 10 -8 x 2 + C 1 AD
y AD = 2.32 : 10 -8 x 3 + C 1 AD x + C 2 AD (24) Tratto DC i DC = 2.20 : 10 -8 x 2 + C 1 DC
y DC = 7.35 : 10 -9 x 3 + C 1 DC x + C 2 DC (25) Tratto EC i EC = 3.30 : 10 -8 x 2 + C 1 EC
y EC = 1.103 : 10 -8 x 3 + C 1 EC x + C 2 EC (26) Tratto BE i BE = 2.168 : 10 -7 x 2 + C 1 BE
y BE = 7.229 : 10 -8 x 3 + C 1 BE x + C 2 BE (27) 12 Riepilogo equazioni, solo frecce Tratto AD y AD = 2.32 : 10 -8 x 3 + 2.228 : 10 -4 x (28) Tratto DC y DC = 7.35 : 10 -9 x 3 + 9.088 : 10 -4 x - 0.0549 (29) Tratto EC y EC = 1.103 : 10 -8 x 3 + 1.4 : 10 -3 x - 0.042 (30) Tratto BE y BE = 7.229 : 10 -8 x 3 + 4.718 : 10 -4 x (31) Calcolo la freccia in corrispondenza di Fn da sx, per x=L1+L2/2=150 y DC = 7.35 : 10 -9 150 3 + 9.088 : 10 -4 150 - 0.0549 = 106.23 n da dx, per x=L3+L2/2=100 y EC = 1.103 : 10 -8 100 3 + 1.4 : 10 -3 100x - 0.042 = 109.03 n per congruenza questi due valori di freccia devono coincidere; la piccola differenza (109.03 -­‐ 106.23)=2.8 𝜇 è dovuta all'aver trascurato cifre decimali nel calcolo dei coefficienti. 13 Piano xz Lo stesso procedimento attuato per il piano xy deve essere applicato al piano xz per trovare la freccia nel punto C dovuta alla azione Ft. Composizione delle deformazioni (frecce) Per calcolare la freccia complessiva massima che si verifica nel punto C deve essere applicata la sovrapposizione degli effetti. Il calcolo p.e. ogni 5 mm di lunghezza d'albero, con rif. alla Fig. 4, consente di diagrammare l'andamento delle frecce lungo l'albero. n.b. il diagramma delle frecce risultanti potrebbe non giacere su di un unico piano. (Fig. 4) 14 Potrà essere conveniente compilare una tabella come segue valore Freccia x piano xy [mm] 0 .... 5 .... 10 .... 15 .... ... .... 250 .... Freccia piano xz .... .... .... .... .... .... Freccia risultante (xy2+xz2)1/2 .... .... .... .... .... .... Tab 3. Quindi si può tracciare per punti il diagramma delle frecce risultanti; n.b. le risultanti di solito giaciono ognuna in un piano diffrente, però sempre perpendicolare all'asse delle ascisse. Fig. 5 Osservazioni 1. Per l'esempio descritto è evidente che la freccia massima risultante si trova nel punto di applicazione comune di Fn ed Ft; quindi la costruzione usata non è necessaria, mentre è indispensabile quando le forze agenti sono molteplici e applicate in punti diversi. 2. Calcolare le frecce separatamente per ogni forza e poi sovrapporre gli effetti è un procedimento lungo ma semplice. Così la probabilità di commettere erori si riduce. In alternativa si potrebbero considerare tutte insieme le forze agenti sul piano xy e sul piano xz; calcolare la funzione M(x)xy e M(x)xz; quindi le frecce complessive f(x)xy e f(x)xz e infine sovrapporre gli effetti per trovare la fmax. 15 3. Nell'eseguire il procedimento ci si è avvalsi di Numbers come calcolatrice e di Matlab per risolvere il sistema lineare di 8 eq. con le 8 incognite costituite dalle costanti di integrazione. Si allegano in tabulati. 16 Tabulati di calcolo I calcoli sono stati effettuati utilizzando il foglio di calcolo Numbers e la soluzione dei sistemi di equazioni utilizzando Matlab Foglio Numbers 17 Programma Matlab 18 19 20