Transcript Tutoraggio Elettromagnetismo e Ottica – 2014 – 3

Tutoraggio Elettromagnetismo e Ottica – 2014 – 3
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Un’onda elettromagnetica piana di pulsazione ω = 6.0 · 1014 rad/s si propaga nel vuoto lungo l’asse
y. Essa `e polarizzata linearmente con il campo E che forma un angolo θ = 45◦ con il piano yz ed ha
ampiezza E0 = 1.4 · 103 V/m. Scrivere l’equazione dell’onda per il campo elettrico, magnetico ed il
vettore di Poynting.
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` dato un solenoide molto lungo nel quale la corrente cresce linearmente da 0 a I nel tempo τ .
E
Il numero di spire per unit`
a di lunghezza del solenoide `e n. Si consideri all’interno del solenoide,
nella sua parte centrale, una superficie cilindrica chiusa, coassiale ad esso, di raggio r e lunghezza ℓ.
Determinare
(a) intensit`
a e direzione del vettore di Poynting per i punti della superficie;
(b) l’energia W che attraversa la superficie nell’intervallo di tempo τ , confrontandola con l’energia
del campo magnetico contenuto nel volume V delimitato dalla superficie stessa, quando la corrente ha
raggiunto il valore I.
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Un condensatore piano con armature circolari di raggio a, distanti d e poste nel vuoto, caricato alla
d.d.p. V0 , viene lasciato scaricare attraverso un resistore di resistenza R. Si consideri una superficie
Σ di forma cilindrica, interna al condensatore e coassiale con esso, di raggio r ≪ a e lunghezza ℓ ≤ d;
calcolare l’ energia totale U che fluisce attraverso di essa durante la scarica. Verificare che l’energia
trovata coincide con l’energia elettrostatica iniziale immagazzinata nel volume racchiuso da Σ.
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Il campo magnetico in una regione di spazio ha la seguente espressione (lo spazio `e misurato in m, il
tempo in s):
B(x, y, z, t) = 2 · 10−6 (ux + 2uy ) cos (2x − y + 2z) · 10−3 − 6 · 105 t
T.
(a) Dimostrare che si tratta di un’onda e.m.; calcolarne la velocit`a di propagazione, la lunghezza
d’onda e la frequenza.
(b) Calcolare il campo elettrico ed il vettore di Poynting; specificare lo stato di polarizzazione.
(c) Calcolare l’intensit`
a media dell’onda.
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Un fascio di luce con polarizzazione circolare destrorsa e lunghezza d’onda λ = 632 nm `e puntato in
direzione verticale verso l’alto (asse z). Il fascio di luce ha diametro d = 5 mm ed `e approssimabile
con un’onda piana. Il campo elettrico ha ampiezza E0 = 50 kV/m. L’onda si propaga nel vuoto.
(a) Scrivere le espressioni dei campi E e B sapendo che per t = 0 e z = 0 il campo elettrico `e diretto
nel verso positivo dell’asse y.
(b) Calcolare l’espressione del vettore di Poynting e verificare che `e indipendente dal tempo e dallo
spazio (propriet`a delle onde e.m. piane con polarizzazione circolare).
(c) Calcolare l’intensit`
a e la potenza del fascio.
Si vuole mantenere in equilibrio nel campo gravitazionale terrestre un cilindretto di polistirolo espanso
(densit`a ρ = 30 kg/m3 ) di diametro inferiore a quello del fascio, per mezzo della pressione di radiazione.
(d) Quale deve essere l’altezza H del cilindretto assumendo che la sua superficie sia perfettamente
riflettente?
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Determinare che polarizzazione ha l’onda e.m. che si ottiene sovrapponendo due onde armoniche
piane, con la stessa lunghezza d’onda, che si propagano nel vuoto nella stessa direzione, entrambe con
polarizzazione circolare, una sinistrorsa e l’altra destrorsa,
(a) se hanno la stessa ampiezza, ma la seconda `e in ritardo di una fase φ rispetto alla prima;
(b) se hanno la stessa fase, ma le loro intensit`
a sono I1 = I ed I2 = 4I.
Esercizi di ripasso
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Un solenoide di induttanza L e resistenza R viene collegato, al tempo t = 0, ad un generatore di f.e.m.
alternata V (t) = V0 cos ωt. Trovare la corrente in funzione del tempo.
(Facoltativo) Con l’aiuto di un calcolatore, assegnare dei valori numerici a L, R, ω e V0 e disegnare il
grafico della corrente in funzione del tempo.
Nel circuito in figura (Feff = 10 V, ω variabile), all’interno della scatola c’`e un
solo elemento circuitale (R, L o C). Si misura la corrente efficace che scorre
nel circuito per due valori della pulsazione ω1 = 1.0 104 rad/s e ω2 = 4.0 104
rad/s e si trova ieff (ω1 ) = 0.45 A e ieff (ω2 ) = 0.9 A. Si determini quale elemento
`e presente nella scatola, il suo valore numerico ed il valore di R.
R
F0 sin(ωt)
Un circuito RLC in serie `e alimentato da un generatore di f.e.m. di ampiezza V0 la cui frequenza pu`
o
essere variata a piacere. Alle frequenze angolari ω1 e ω2 l’ampiezza della corrente `e η volte minore
dell’ampiezza della corrente alla risonanza. Trovare, in funzione di η, ω1 e ω2 :
(a) la pulsazione di risonanza;
(b) il fattore di merito del circuito.
Risultati
19. E(y, t) = 990 (ux + uz ) cos 2 · 106 y − 6 · 1014 t + φ V/m (x, y in metri, t in secondi; φ `e una fase
costante arbitraria), B(y, t) = 3.3 · 10−6 (ux − uz) cos 2 · 106 y − 6 · 1014 t + φ T,
S(y, t) = 5.2 · 103 uy cos2 2 · 106 y − 6 · 1014 t + φ W/m2
2
2
n rI
t ur ; (b) W = 12 πµ0 r 2 n2 I 2 ℓ =
20. (a) P(r, t) = − µ02τ
2
21. U =
1
2
2µ0 B (τ )V
= WM
ε0 πr 2 ℓV02
.
2 d2
4
−3
22. (a) v = 2 · 108 m/s,
· 10 Hz; (b) posto α = (2x
− y + 2z) · 10 − 6 ·
λ = 2.09 km, ν = 9.55
4
2
5
u − 3√
u − 3√
u cos α V/m, S = 3.18 · 103 23 ux − 31 uy + 23 uz cos2 α
105 t :
E = 894 3√
5 x
5 y
5 z
W/m2 ; polarizzazione lineare; (c) I¯ = 1.59 · 103 W/m2 .
6
15
23. (a) E = 50(−ux sin α + uy cos α) kV
m , avendo posto α = 9.94 10 z − 2.98 10 t (z in m, t in s),
B = 0.167(−ux cos α − uy sin α) mT .
E2
2I
2
(b) S = µ00c uz = 6.64 MW
m2 uz . (c) I = 6.64 MW/m , W = 130.3 W. (d) H = cgρ = 0.15 mm
24. (a) Polarizzazione lineare; (b) polarizzazione ellittica.
25. i(t) =
√
V0
[cos(ωt
R2 +L2 ω 2
− φ) − cos φ e−Rt/L ],
e
φ = arctan Lω
R . (Un solenoide con resistenza R `
equivalente ad un solenoide ideale (con resistenza nulla) collegato in serie ad una resistenza R)
26. C = 5 µF, R = 9.9 Ω
27. (a) ω0 =
√
ω1 ω2 ; (b) Q =
p
ω1 ω2 (η 2 − 1)/(ω1 − ω2 )2