Transcript spazi e curve affini

Esercitazione di Meccanica Razionale – 9 ottobre 2014
Laurea in Ingegneria Meccanica – Latina
Quesito 1. Si consideri la curva dello spazio R3 di equazioni parametriche γ1 (t) = re−t cos t,
γ2 (t) = re−t sin t e γ3 (t) = 0 con t ∈ [0, +∞) e r ∈ R+ \ {0} fissato.
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si determini il versore binormale e la torsione; si verifichi che il triedro principale
costituisce una base ortonormale.
4. Si disegni il sostegno della curva.
Quesito 2. Si consideri la curva dello spazio R3 di equazioni parametriche γ1 (t) = t cos t,
γ2 (t) = t sin t e γ3 (t) = 0 con t ∈ [0, +∞).
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si determini il versore binormale e la torsione; si verifichi che il triedro principale
costituisce una base ortonormale.
4. Si disegni il sostegno della curva.
Quesito 3. Si consideri la curva dello spazio R3 i cui punti hanno coordinate cilindriche
%(t) = t, ϕ(t) = t e ζ(t) = ht con t ∈ (0, +∞) e h ∈ R+ \ {0}.
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si descriva il supporto della curva e si dimostri che giace su una superficie conica con
vertice nell’origine.
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Quesito 4. Si consideri la curva dello spazio R3 i cui punti hanno coordinate polari %(t) = r,
θ(t) = π(1 + tanh t)/2 e ϕ(t) = t con t ∈ R e r ∈ R+ \ {0}.
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si descriva il supporto della curva.
Quesito 5. Si consideri lo spazio R3 e il suo riferimento canonico {O, ~ei }.
1. Si definiscano le coordinate cilindriche e si determini la relazione tra queste e quelle
cartesiane.
2. Si determini lo sviluppo dei versori della base naturale cilindrica rispetto ai versori
−−→
della base canonica. Si determini lo sviluppo del vettore OX rispetto alla base naturale
cilindrica.
3. Considerato il moto regolare di un elemento si calcolino le componenti della sua velocit`a
e della sua accelerazione rispetto alla base naturale cilindrica.
Quesito 6. Si consideri lo spazio puntuale euclideo R3 . Si considerino i tre punti X 1 =
(1, 0, 0), X 2 = (1, 1, 0) e X 3 = (1, 1, 1).
−−→ −−→ −−→
1. Si dimostri che i tre vettori OX 1 , OX 2 e OX 3 formano una base dello spazio vettoriale
sostegno dello spazio affine.
2. Si considerino i due punti Y = (1, 1, 0) e Z = (2, 2, 0) e si determinino le componenti
−→
controvarianti del vettore ZY rispetto alla base canonica e alla base trovata al punto
precedente.
3. Si determini la distanza tra i due punti Z e Y , l’ampiezza dell’angolo convesso che
−→
la semiretta uscente dall’origine e di giacitura parallela a ZY forma con i tre assi
−−→
coordinati del riferimento canonico e con i tre assi del riferimento {O, OX i }.
Quesito 7. Si consideri lo spazio puntuale euclideo R3 . Si considerino i tre punti X 1 =
(1, 0, 0), X 2 = (1, 0, 1) e X 3 = (1, 1, 1).
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1. Si dimostri che i tre vettori OX 1 , OX 2 e OX 3 formano una base dello spazio vettoriale
sostegno dello spazio affine.
2. Si considerino i due punti Y = (0, 1, 1) e Z = (0, 2, 2) e si determinino le componenti
−→
controvarianti del vettore ZY rispetto alla base canonica e alla base trovata al punto
precedente.
3. Si determini la distanza tra i due punti Z e Y , l’ampiezza dell’angolo convesso che
−→
la semiretta uscente dall’origine e di giacitura parallela a ZY forma con i tre assi
−−→
coordinati del riferimento canonico e con i tre assi del riferimento {O, OX i }.
Quesito 8. Si consideri lo spazio puntuale euclideo R3 . Si considerino i tre punti X 1 =
(1, 0, 0), X 2 = (1, −1, 0) e X 3 = (1, 1, 1).
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1. Si dimostri che i tre vettori OX 1 , OX 2 e OX 3 formano una base dello spazio vettoriale
sostegno dello spazio affine.
2. Si considerino i due punti Y = (1, 1, 0) e Z = (2, 2, 0) e si determinino le componenti
−→
controvarianti del vettore ZY rispetto alla base canonica e alla base trovata al punto
precedente.
3. Si determini la distanza tra i due punti Z e Y , l’ampiezza dell’angolo convesso che
−→
la semiretta uscente dall’origine e di giacitura parallela a ZY forma con i tre assi
−−→
coordinati del riferimento canonico e con i tre assi del riferimento {O, OX i }.
Quesito 9. Si consideri la curva dello spazio R3 di equazioni parametriche γ1 (t) = t, γ2 (t) = t
e γ3 (t) = ht2 con t ∈ [0, +∞) e h ∈ R+ \ {0}.
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si determini il versore binormale e la torsione; si verifichi che il triedro principale
costituisce una base ortonormale.
4. Si descriva e si disegni il sostegno della curva.
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Quesito 10. Si consideri lo spazio puntuale euclideo R3 . Si considerino i tre punti X 1 =
(1, 0, 0), X 2 = (1, 1, 0) e X 3 = (1, 1, 1).
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Si calcoli OX 1 × OX 2 , OX 2 × OX 3 , OX 1 × OX 3 . Qualora possibile si determini il
risultato usando le propriet`a geometriche del prodotto vettoriale.
Quesito 11. Si consideri lo spazio puntuale euclideo R3 . Si considerino i tre punti X 1 =
(1, 0, 0), X 2 = (1, 0, 1) e X 3 = (1, 1, 1).
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Si calcoli OX 1 × OX 2 , OX 2 × OX 3 , OX 1 × OX 3 . Qualora possibile si determini il
risultato usando le propriet`a geometriche del prodotto vettoriale.
Quesito 12. Si consideri lo spazio puntuale euclideo R3 . Si considerino i tre punti X 1 =
(1, 0, 0), X 2 = (1, −1, 0) e X 3 = (1, 1, 1).
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
Si calcoli OX 1 × OX 2 , OX 2 × OX 3 , OX 1 × OX 3 . Qualora possibile si determini il
risultato usando le propriet`a geometriche del prodotto vettoriale.
Quesito 13. Si consideri la curva, detta catenaria, dello spazio R3 di equazioni parametriche
γ1 (t) = t, γ2 (t) = a cosh(t/a) e γ3 (t) = 0 con t ∈ [0, +∞) e a ∈ R+ \ {0}.
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si determini il versore binormale e la torsione; si verifichi che il triedro principale
costituisce una base ortonormale.
4. Si descriva e si disegni il sostegno della curva.
Quesito 14. Si consideri la curva, detta cicloide, dello spazio R3 di equazioni parametriche
γ1 (t) = a(t − sin t), γ2 (t) = a(1 − cos t) e γ3 (t) = 0 con t ∈ [0, 2π] e a ∈ R+ \ {0}.
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si determini il versore binormale e la torsione; si verifichi che il triedro principale
costituisce una base ortonormale.
4. Si descriva e si disegni il sostegno della curva.
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Quesito 15. Si consideri la curva, detta cardioide, dello spazio R3 di equazioni parametriche
γ1 (t) = 2a cos t−a cos(2t), γ2 (t) = 2a sin t−a sin(2t) e γ3 (t) = 0 con t ∈ [0, 2π] e a ∈ R+ \{0}.
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si determini il versore binormale e la torsione; si verifichi che il triedro principale
costituisce una base ortonormale.
4. Si descriva e si disegni il sostegno della curva.
Quesito 16. Si consideri la curva, detta lobo di lemniscata, dello spazio R3 i cui punti hanno
coordinate cilindriche %(t) = cos(2t), ϕ(t) = t e ζ(t) = 0 con t ∈ [−π/4, π/4].
1. Si determini il versore tangente e si riduca il calcolo dell’ascissa curvilinea a un integrale
definito.
2. Si determini la curvatura e il versore normale principale.
3. Si descriva e si disegni il supporto della curva.
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