Quesiti - Matefilia
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PNI 2014 β SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI
QUESITO 1
Un gruppo di attivisti antinucleari ha organizzato una marcia di protesta verso un sito
scelto per la costruzione di una centrale termonucleare. Essi camminano, in pianura, con
velocità costante, dirigendosi in linea retta verso le torri di raffreddamento dellβimpianto,
che sono già state costruite. Alle 7 uno degli organizzatori della marcia antinucleare vede
la cima della torre di raffreddamento con un angolo di elevazione di 2°; 30 minuti più tardi
lβampiezza dellβangolo è pari a 5°. Si calcoli a che ora il gruppo raggiungerà il cantiere,
arrotondando il risultato al minuto.
Detta π£ la velocità di marcia, il tempo per percorrere il tratto π = π΅πΆ è π‘π = 30β² e risulta:
π = π£ β π‘π = 30π£
Detto π‘π il tempo necessario per percorrere il tratto πΆπ· = π risulta:
π = π£ β π‘π
πβπ‘π2°
30π£βπ‘π2°
Risulta inoltre: π = π β π‘π5° = (π + π) β π‘π2°, da cui: π = π‘π5°βπ‘π2° = π‘π5°βπ‘π2° ; quindi:
π = π£ β π‘π
30π£βπ‘π2°
βΉ π£ β π‘π = π‘π5°βπ‘π2°
30βπ‘π2°
βΉ
π‘π = π‘π5°βπ‘π2° β
19.929β² β
20β²
Il tratto BD è quindi percorso in circa 50β e pertanto il gruppo raggiungerà il cantiere
alle ore 7 e 50 minuti
QUESITO 2
Si calcoli il limite della funzione
(π π₯ β1)2
3π₯ 2 +4π₯ 3
, quando x tende a 0.
(ππ β π)π
(π π₯ β 1)2
ππ₯ β 1 2
1
1 π
2
=
lim
=
lim
(
)
β
=
1
β
=
πβπ πππ + πππ
π₯β0 π₯ 2 (3 + 4π₯)
π₯β0
π₯
3 + 4π₯
3 π
π₯π’π¦
1/ 7
QUESITO 3
Sia π΄π΅ = 2,5 π lβaltezza di una statua e π΅π = 2 π lβaltezza del piedistallo su cui essa
poggia. Si determini sul piano orizzontale per il punto π dβappoggio del piedistallo il luogo
dei punti tali che da essi la statua sia vista sotto angolo massimo.
Il luogo richiesto è la circonferenza del piano orizzontale per P di centro P e raggio
b, essendo b la distanza del punto O del piano verticale per P da cui la statua è
vista sotto angolo massimo.
Dobbiamo determinare la distanza π in modo che lβangolo π΄ππ΅ = π½ assuma il valore
massimo.
Lβangolo APB è retto.
4,5
π = π‘π(πΌ+π½)
π + β = π β π‘π(πΌ + π½) = 4,5
4,5
2
2
{
βΉ {
βΉ
= π‘ππΌ
2
π‘π(πΌ+π½)
π = π β π‘ππΌ = 2 βΉ π = π‘ππΌ
π = π‘ππΌ
π‘ππΌ+π‘ππ½
4,5 β π‘ππΌ = 2 β π‘π(πΌ + π½) = 2 1βπ‘ππΌ π‘ππ½
βΉ 4,5 β π‘ππΌ(1 β π‘ππΌ π‘ππ½) = 2π‘ππΌ + 2π‘ππ½
2,5βπ‘ππΌ
4,5 β π‘ππΌ β 4,5 β π‘π2 πΌ π‘ππ½ = 2π‘ππΌ + 2π‘ππ½ ;
π‘ππ½ = 2+4,5βπ‘π2 πΌ
π
Poniamo per comodità π¦ = π‘ππ½ π π₯ = π‘ππΌ (πππ π₯ > 0, ππ π ππππ 0 < πΌ < 2 ).
Lβangolo π½ è massimo quando lo è π¦ = π‘ππ½. Analizziamo quindi la funzione:
π¦=
2,5π₯
5π₯
=
2
2 + 4,5π₯
4 + 9π₯ 2
Risulta:
Quindi π¦ β² > 0 π π
9π₯ 2 β 4 < 0
Quindi y è crescente per
2
2
2
πππè: β 3 < π₯ < 3
2
0<π₯<3
assoluto per π₯ = 3, e tale massimo è
2
e decrescente per π₯ > 3 : ha quindi massimo
5
π¦πππ₯ = (π‘ππ½)πππ₯ = 12.
2/ 7
5
Lβangolo massimo sotto cui è vista la statua è π½ = ππππ‘ (12) e la distanza di O da P è:
2
π = π‘ππΌ =
2
2
3
= 3 π.
Il luogo richiesto è pertanto la circonferenza del piano orizzontale per P che ha centro in
P e raggio 3 metri.
QUESITO 4
Si scrivano le equazioni della tangente e della normale al diagramma della funzione:
3
1
1+π₯ 3
π(π₯) = ( π₯ 2 β ) ππ
β π₯
4
4
1βπ₯ 2
nel punto P di ascissa x = 0.
Risulta π(0) = 0.
Calcoliamo la derivata della funzione:
π β² (0) = β2
Equazione tangente in P: π¦ β 0 = β2(π₯ β 0) βΉ π¦ = β2π₯
1
1
Equazione normale in P: π¦ β 0 = β 2 (π₯ β 0) βΉ π¦ = β 2 π₯
QUESITO 5
La regione del I quadrante delimitata dallβiperbole di equazione 9π₯ 2 β 4π¦ 2 = 36 e
dallβasse x nellβintervallo 2 β€ π₯ β€ 4 , è la base di un solido S, le cui sezioni, ottenute con
piani perpendicolari allβasse x, sono tutte esagoni regolari. Si calcoli il volume di S.
π₯2
π¦2
Lβiperbole può essere scritta nella forma: 4 β 9 = 1; si tratta quindi di un iperbole riferita
agli assi, con asse trasverso lβasse x e semiassi π = 2 π π = 3. Il suo grafico è il seguente:
3/ 7
Il volume di S si ottiene calcolando il seguente integrale:
4
β«2 π΄(π₯)ππ₯, essendo π΄(π₯) lβarea dellβesagono regolare di lato π΄π΅ = 2π¦, con y ordinata del
punto B dellβiperbole e 2 < π¦ < 4.
Μ
Μ
Μ
Μ
β β = 3 β π΄π΅
Μ
Μ
Μ
Μ
β π΄π»
Μ
Μ
Μ
Μ
β β3 = 3 β π΄π΅
Μ
Μ
Μ
Μ
β
π΄(π₯) = 3 β π΄π΅
=
Μ
Μ
Μ
Μ
π΄π΅
β β3
2
3β3
3β3
β Μ
Μ
Μ
Μ
π΄π΅ 2 =
β 4π¦ 2 = 6 β3 π¦ 2
2
2
9
Da 9π₯ 2 β 4π¦ 2 = 36 ricaviamo π¦ 2 = 4 π₯ 2 β 9
9
Quindi: π΄(π₯) = 6 β3 (4 π₯ 2 β 9) =
27
2
β3(π₯ 2 β 4)
Pertanto il volume del solido S è dato da:
4
4
4
27
27
π₯3
27
32
2
π(π) = β« π΄(π₯)ππ₯ = β«
=
β3(π₯ β 4)ππ₯ =
β3 [ β 4π₯] =
β3 β
2
3
2
3
2
2 2
2
= 144β3 π’3 β
249.415 π’3
QUESITO 6
Si determini in gradi e primi (sessagesimali) lβampiezza dellβangolo Ξ¨ sotto il quale la
curva di equazione
π₯2 + 1
π(π₯) =
2π₯ + 3
taglia lβasse delle y.
1
La curva taglia lβasse delle y nel punto π = (0; 3).
La tangente in P alla curva ha coefficiente angolare π = πβ²(0).
2
π = π β² (0) = β 9 ; quindi la tangente in P forma con il semiasse positivo dellβasse delle x
2
un angolo π½ = ππππ‘π (β ) = 167.47°.
9
Lβangolo Ξ¨ sotto cui la curva taglia lβasse delle y è il
complementare πΌ di πΎ = 12.53° (supplementare di
π½).
Quindi Ξ¨ = πΌ = 77.47° = 77° + (0.47 β 60)β² =
= 77° + 28.2β² = 77°28β²
4/ 7
QUESITO 7
Tenuto conto che:
β1
π
1
=β«
ππ₯
2
4
β2 π₯ + 4π₯ + 5
si calcoli unβapprossimazione di
studiati.
π
4
, utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica
β1
1
Consideriamo la funzione π(π₯) = π₯ 2 +4π₯+5 e lβintervallo [-2;-1]; calcoliamo β«β2
1
π₯ 2 +4π₯+5
ππ₯ο
utilizzando il metodo dei trapezi. Dividiamo lβintervallo in n=5 parti uguali.
β1
β«
β2
π₯2
1
π(π₯0 ) + π(π₯5 )
ππ₯ β
β [
+ π(π₯1 ) + π(π₯2 ) + π(π₯3 ) + π(π₯4 )]
+ 4π₯ + 5
2
β1β(β2)
1
Dove: β =
= 5 = 0.2 π₯0 = β2, π₯1 = β2 + β = β1.8, π₯2 = β1.6, π₯3 = β1.4,
5
π₯4 = β1.2, π₯5 = β1
β1
β«
β2
π₯2
1
π(β2) + π(β1)
ππ₯ β
0.2 β [
+ π(β1.8) + π(β1.6) + π(β1.4) + π(β1.2)] =
+ 4π₯ + 5
2
= 0.2 β [
Quindi:
1 + 0.5
+ 0.962 + 0.862 + 0.735 + 0.610] β
π. πππ
2
π
4
β
π. πππ
(N.B. Risulta
π
π
= 0.78539 β¦)
5/ 7
QUESITO 8
Si dica se è possibile che sia:
π
π+1
( )=(
)
π
π+1
Risulta:
(π + 1)!
π+1
π! (π + 1)
π (π + 1)
(
)=
=
=( )
(π + 1)! (π + 1 β π β 1)! π! (π + 1)(π β π)!
π+1
π (π + 1)
Quindi lβuguaglianza risulta verificata solo se
(π+1)
(π+1)
=1βΉ π+1=π+1
βΉ π=π
QUESITO 9
Un solido Ξ© è formato da un cilindro equilatero di raggio r e da due coni equilateri, aventi
le basi coincidenti con quelle del cilindro ed esterni al cilindro. Se si sceglie a caso un
punto allβinterno di Ξ© , qual è la probabilità che tale punto risulti interno al cilindro?
La probabilità richiesta è data dal rapporto tra il volume βfavorevoleβ, quello del cilindro,
ed il volume βpossibileβ, quello del solido.
Ricordiamo che il cilindro equilatero ha il diametro di base uguale allβaltezza.
π(ππππππππ) = ππ
2 β = ππ
2 β 2π
= 2ππ
3
Il cono equilatero ha lβapotema uguale al diametro di base, quindi lβaltezza h è data da:
β = β4π
2 β π
2 = π
β3
π=
1 2
1
β3 3
ππ
β = ππ
2 β π
β3 =
ππ
3
3
3
β3
Il solido Ξ© ha volume: 2ππ
3 + 2 ( 3 ππ
3 ) = 2ππ
3 (1 +
β3
).
3
La probabilità richiesta è quindi:
π(ππππππππ)
π=
=
π(Ξ©)
2ππ
3
2ππ
3 (1
β3
+ 3)
=
3
3 + β3
β
0.634 = 63.4 %
6/ 7
QUESITO 10
Qual è il numero delle cinquine che si possono ottenere completando lβambo {3,25}?
Basta contare le combinazioni (senza ripetizioni) a tre a tre che si possono fare con gli 88
numeri rimanenti:
88
88 β 87 β 86
πΆ88,3 = ( ) =
= 109736
3
3!
Con la collaborazione di Angela Santamaria, Simona Scoleri e Stefano Scoleri
7/ 7