Transcript Lezione 17

Propagazione delle piene: generalità
Consideriamo come piena solo l’innalzamento del livello causato da un aumento delle portate nel
corso d’acqua considerato.
La propagazione dell’onda di piena dipende da
forze agenti (gravità e resistenza)
geometria dell’alveo
Casi estremi (trasparente):
traslazione dell’onda di piena
laminazione in un lago
Modelli matematici
Definiscono in ogni istante e in ogni sezione portata e altezza d’acqua.
Modelli concettuali ed empirici.
Importanza della taratura, non sempre necessaria ma estremamente utile.
La taratura aiuta a superare le difficoltà costituite dalla descrizione della geometria e della scabrezza
dell’alveo.
Equazioni di De Saint Venant
La corrente si assume gradualmente variata. Le sezioni trasversali si assumono piane e verticali.
La corrente si schematizza come monodimensionale (riferimento al punto di mezzo in condizioni di
alveo pieno).
L’alveo si assume rigido.
Equazioni (trasparente). Due variabili: una geometrica (scelta tra quota del pelo libero z rispetto a
un riferimento orizzontale, quota del pelo libero h rispetto al punto più basso della sezione e area A
della sezione) e una cinematica (scelta tra velocità V e portata Q).
Relazione tra derivata parziale di A rispetto al tempo e derivata parziale di z rispetto al tempo
(trasparente).
Risoluzione delle equazioni di De Saint Venant
Sistema di due equazioni differenziali alle derivate parziali del primo ordine non lineari.
La risoluzione del sistema richiede la conoscenza
delle condizioni iniziali nell’intero tronco
di due condizioni al contorno
Una delle due condizioni al contorno è l’andamento dell’onda di piena nella sezione iniziale. Nel
caso di corrente lenta l’altra relazione è l’andamento delle altezze d’acqua nella sezione finale
(oppure la relazione tra portate e livelli).
Approssimazione delle derivate parziali con rapporti incrementali o con medie di rapporti
incrementali (tecnica delle differenze finite). Esempio semplice (trasparente).
La tecnica delle differenze finite implica la discretizzazione. Si sostituiscono le equazioni
differenziali, che si riferiscono a un qualsiasi punto del piano cinematico, con equazioni algebriche,
che riferiscono a insiemi definiti di nodi di una griglia (trasparente). Il passo di tempo è costante, il
passo spaziale dipende dal rilievo dell’alveo. Il numero di nodi considerati in ogni equazione
dipende dal tipo di approssimazione delle derivate che si adotta.
La soluzione è il limite a cui tende la soluzione del sistema algebrico quando il passo di tempo e il
passo spaziale tendono a zero.
Due metodi di soluzione: metodi espliciti e metodi impliciti. Nei metodi impliciti le derivate
spaziali sono approssimate con espressioni che contengono valori delle variabili ancora incogniti
all’istante a cui si riferisce il calcolo. I metodi impliciti sarebbero incondizionatamente stabili se i
coefficienti fossero costanti.
Semplificazione delle equazioni di De Saint Venant
Equazione dell’energia del completo, scritta in funzione di z (trasparente).
Modello parabolico scritto in funzione di z (trasparente).
Esplicitazione di Q in funzione di z e della derivata di z rispetto a x (trasparente).
Modello parabolico scritto in funzione di h (trasparente).
Modello cinematico scritto in funzione di z (trasparente).
Modello parabolico in funzione di h (trasparente) e trasformazione nel modello cinematico
(trasparente).
Equazioni di De Saint Vénant
∂Q
+
∂x
∂H
∂x
+
∂A
∂t
1 ∂V
g ∂t
= 0
+ J = 0
dz
B
z
z =0
dA
Relazione tra larghezza superficiale B, area A e quota del pelo libero
z di una sezione trasversale
dA = Bdz
dA
dz
= B
Poichè in generale la sezione varia al variare di
x, si deve scrivere
∂A
∂z
= B
(derivata parziale)
Quindi
∂A
∂A ∂z
∂z
=
= B
∂t
∂z ∂t
∂t
Quindi l'equazione di continuità si può scrivere
nella forma
∂Q
∂z
+ B
∂x
∂t
= 0
Approssimazione delle derivate parziali
∂h
≅
∂x
h (x + ∆ x , t) - h (x , t)
∆x
∂h
≅
∂t
h (x , t + ∆ t) - h (x , t)
∆t
L'equazione dell'energia
∂H
1 ∂V
+
+ J = 0
∂x
g ∂t
essendo
V2
H = z +
2g
si può riscrivere nella forma
∂z
∂ V2
1 ∂V
+
+
+ J = 0
∂x
∂ x 2g
g ∂t
da cui
∂z
V ∂V
1 ∂V
+
+
+ J = 0
∂x
g ∂x
g ∂t
Trascurando i termini con le derivate della
velocità, l'equazione dell'energia si riscrive nella
forma semplificata
∂z
+ J = 0
∂x
Si ottiene così il modello parabolico
∂Q
∂z
+ B
∂x
∂t
∂z
+ J = 0
∂x
= 0
La perdita specifica di energia J della corrente è
legata alle altre grandezze caratteristiche del
moto dalla relazione di Chézy
Q = AV = Aχ√
R J
(o da un'altra formula di resistenza).
A , χ ed R sono funzioni di z. Quindi
Q = f(z, J)
L'equazione dell'energia semplificata fornisce
J=-
∂z
∂x
Quindi
Q = f(z,
∂z
)
∂x
Forma alternativa del modello parabolico
Sostituzione di h a z
h = z - z0
∂h
∂z
=
+ i
∂x
∂x
(i pendenza del fondo)
Sostituendo nell'equazione del moto
∂h
= i - J
∂x
Quindi il modello parabolico assume la forma
∂Q
∂h
+ B
∂x
∂t
∂h
= i - J
∂x
= 0
Modello cinematico
J è funzione di Q e - attraverso il raggio
idraulico R - di z
Allora l'equazione del moto si può riscrivere
nella forma
Q = f(z,
∂z
)
∂x
In condizioni di moto permanente si può
assumere
Q = f(z )
Assumendo valida la relazione di moto
permanente si ha il modello cinematico
∂Q
∂z
+ B
∂x
∂t
Q = f(z )
= 0
Modello parabolico
∂Q
∂h
+ B
∂x
∂t
∂h
= i - J
∂x
= 0
Forma alternativa del modello cinematico
Se nel modello parabolico si assume che ∂ h/ ∂ x
sia trascurabile rispetto a i si ottiene
i= J
Questo è un modello cinematico
Osservazione:
l'assunzione
i= J
(scala delle portate di moto uniforme)
è più restrittiva dell'assunzione
Q = f(z )
(scala delle portate)