Transcript Foglio 1

Esercizi per il corso di “Complementi di Geometria Superiore”,
Prof. Fioresi 2014. Foglio 1.
Questi sono esercizi consigliati, ma NON sono da consegnare. Alcuni di
questi esercizi saranno svolti in classe.
Gruppi di Lie
1. Dimostrare che i seguenti sottoinsiemi di Mn (R), matrici n × n sono
gruppi di Lie (reali) e calcolare i loro spazi tangenti nell’identita’ (cioe’ le
loro algebre di Lie).
a) Gruppo speciale lineare
SLn (R) = {A ∈ GLn (R) | det(A) = 1}
b) Gruppo unitario:
U(n) = {A ∈ Mn (C) | A∗A = I}
t
ove A∗ = A .
c) Gruppo simplettico:
Sp(n) = {A ∈ GL2n (R) | AtJA = J}
ove J =
0 I
−I 0
2. Si consideri V uno spazio vettoriale reale visto come uan varieta’ differenziabile e per v ∈ V si definisca l’endomorfismo di C ∞ (V ):
d ∂(v)(f )(x) = f (x + tv),
f ∈ C ∞ (V )
dt 0
a) Si dimostri che v 7→ ∂(v) e’ un campo vettoriale differenziabile e lo si scriva
in coordinate (cioe’ si fissi una base per V e le coordinate corrispondenti ad
essa).
b) Sia m : V × V −→ V la somma in V e i : V −→ V , i(v) = −v. Si dimostri
che V e’ un gruppo di Lie rispetto a tale operazione e si dimostri che i campi
vettoriali del punto (a) sono left invariant. Si trovi inoltre esplicitamente
l’algebra di Lie di V (cioe’ si definisca anche la bracket).
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Gruppi Topologici
1. Sia Ge la componente connessa dell’identita’ e di un gruppo topologico.
Si dimostri che Ge e’ un sottogruppo normale di G.
2. Si dimostri che un gruppo topologico connesso e’ generato da un qualunque
intorno dell’identita’.
3. Si dimostri che un sottogruppo discreto e normale di un gruppo di Lie
connesso e’ contenuto nel centro del gruppo.
4. Si dimostri che ogni intorno U dell’identita’ contiene un intorno V , tale
che V = V −1 e V V ⊂ U.
5. Si dimostri che ogni sottogruppo aperto di un gruppo topologico connesso
coincide con il gruppo stesso.
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