Transcript capitolo 2 modello del veicolo accodato - W3.UniRoma1.it

CAPITOLO 2
MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
2.1 Formulazione del modello
Il modello del veicolo accodato costituisce la base teorica fondamentale della maggior
parte dei modelli di deflusso, compresi quelli esaminati nel Capitolo 1: nasce infatti da
una semplice e logica interpretazione comportamentale dell’azione di guida del
conducente di un veicolo in una corrente di traffico. Il modello è il prodotto di una serie
di esperimenti su coppie e colonne di veicoli, i più significativi dei quali furono eseguiti
negli anni ’60 dalla General Motors, che hanno consentito di calibrarne i parametri e di
validarne i risultati.
Il modello del veicolo accodato, interpretando il comportamento di guida dei singoli
conducenti, consente di riprodurre la dinamica del moto dei singoli veicoli e di
rappresentare quindi anche la condizione instabile di marcia a singhiozzo, che i modelli
macroscopici, riproducendo solo le caratteristiche medie della corrente, non sono in
grado di spiegare. Inoltre, il modello del veicolo accodato si presta ad una
rappresentazione macroscopica della corrente, che consente di derivare diversi modelli
macroscopici, ottenuti come relazioni sperimentali delle grandezze medie del deflusso
in condizioni stazionarie.
Anche se il modello è relativo ad una corrente veicolare senza possibilità di sorpasso,
quindi non è generale, riproduce l’aspetto più rilevante del deflusso: il condizionamento
longitudinale tra veicoli in situazioni di traffico denso, che è all’origine della
congestione.
L’equazione del modello del veicolo accodato esprime la risposta del conducente del
generico veicolo n+1 nella corrente di traffico in seguito ad uno stimolo proveniente dal
veicolo precedente, n, in funzione della sensibilità (psicofisica e meccanica) del sistema
veicolo-conducente.
La risposta è rappresentata dalla accelerazione
, che il conducente controlla
agendo sull’acceleratore o sul freno;
La sensibilità λ è il fattore di proporzionalità (o più in generale una funzione) che
eguaglia la funzione di stimolo alla funzione di controllo.
Lo stimolo è rappresentato dalla velocità relativa [vn(t) − vn+1(t)] vale a dire la variazione
di distanziamento: a fronte di una velocità relativa positiva i veicoli si allontanano ed il
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TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
conducente accelera; a fronte di una velocità relativa negativa i veicoli si avvicinano ed
il conducente decelera.
Osservazione. Il modello del veicolo accodato assume che il comportamento di un
generico conducente della corrente di traffico consista nello svolgere i seguenti compiti:
•
seguire il veicolo che lo precede, il che implica una velocità relativa u≈0;
•
evitare la collisione, il che implica un tempo di collisione t più grande possibile.
c
Poiché tc=s(t)/u (dove s è il distanziamento), entrambi questi compiti richiedono al
conducente di controllare che nel breve periodo sia u≈0, cioè di controllare che la
velocità relativa sia più piccola possibile.
Poiché la risposta del conducente del veicolo seguente non è immediata rispetto allo
stimolo, per pervenire all’equazione di base del modello si deve imporre un ritardo T, o
tempo di reazione, tra stimolo e risposta (Chandler et al., 1958):
(1)
Questa equazione differenziale rappresenta l’adattamento del generico conducente alle
variazioni di distanziamento rispetto al veicolo che lo precede. Consente, perciò di
studiare la dinamica di marcia di una coppia di veicoli, note la legge del moto del primo
di questi, e, considerando variabile l’indice n identificativo del veicolo generico, di
studiare la dinamica della corrente veicolare.
Da un punto di vista teorico, ha interesse determinare, da una parte, quali sono le
condizioni per l’instabilità del sistema (marcia a singhiozzo o collisione tra veicoli) e,
dall’altra quale legge regola il sistema allo stato stazionario. Quest’ultimo aspetto è
fondamentale per studiare le prestazioni del sistema in condizioni “normali”, quando i
veicoli viaggiano tutti alla stessa velocità, a prescindere dalle differenze
comportamentali tra un conducente e l’altro, che si considerano trascurabili rispetto al
comportamento macroscopico della corrente. Le condizioni che determinano
l’instaurarsi dell’instabilità sono un aspetto altrettanto importante, poiché in questo caso
le prestazioni del sistema sono estremamente degradate. Dal punto di vista
ingegneristico, la determinazione dello stato stazionario è rilevante principalmente per
la pianificazione e la progettazione delle componenti del sistema; le condizioni
d’instabilità hanno invece rilevanza principalmente per il progetto dei sistemi di
regolazione e controllo.
I paragrafi seguenti sono appunto dedicati allo studio del transitorio, che consente di
determinare le condizioni per la stabilità del sistema, allo studio dello stato stazionario e
ad un breve cenno alle sperimentazioni eseguite per la calibrazione del modello.
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
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2.2 Analisi della stabilità
In fisica un sistema in equilibrio si dice stabile se, una volta perturbato, ritorna nella
posizione iniziale al termine della perturbazione; instabile se, a seguito della
perturbazione, vi si allontana indefinitamente.
In termini matematici, un sistema sottoposto a perturbazioni viene descritto mediante un
sistema di equazioni differenziali. La soluzione del sistema si dice stabile se una
variazione arbitrariamente piccola dei valori iniziali implica, trascorso un intervallo di
qualunque, una variazione sufficientemente piccola della soluzione. La soluzione del
sistema si dice poi asintoticamente stabile se non solo è stabile, ma, dopo un tempo
infinito, tende ad una qualsiasi altra soluzione del sistema1. In un sistema
asintoticamente stabile, perciò, tutte le soluzioni convergono infine ad un unico valore.
2.2.1 Stabilità locale
Lo studio della stabilità locale, relativa al moto del veicolo n+1 rispetto al veicolo n, si
effettua integrando l’equazione differenziale (1). L’integrale della equazione omogenea
rappresenta le caratteristiche proprie del sistema, indipendentemente da eventuali
sollecitazioni esterne e riproduce quindi il comportamento di una generica coppia di
veicoli (n, n+1).
Il significato della soluzione cercata è illustrato in Fig.2-I, che, dall’alto verso il basso,
mostra l’accelerazione e la velocità assoluta, rispettivamente del veicolo precedente
(curva continua) e di quello seguente (curva tratteggiata), quindi la velocità relativa ed il
distanziamento tra i due veicoli.
L’integrazione della (1) in forma chiusa presenta difficoltà proibitive se la sensibilità,
come in generale ci può attendere, è funzione della velocità. Si avrebbe infatti
un’equazione differenziale non lineare nella variabile dipendente. Risulta invece
piuttosto semplice se si ipotizza che la sensibilità sia costante.
1
Cfr. ad esempio: Elsgolts L.E. (1981). Equazioni differenziali e calcolo delle variazioni. Editori Riuniti,
Edizioni MIR, Roma. pp.205-206.
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TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
Fig.2-I. Dall’alto: andamento dell’accelerazione, della velocità, della velocità relativa e della distanza
relativa di una coppia di veicoli secondo il modello del veicolo accodato (caso stabile).
Nel caso in cui la sensibilità λ sia una costante, la soluzione può essere ottenuta in forma
esatta utilizzando il metodo delle trasformate di Laplace o, in forma approssimata,
sviluppando la (1) in serie di Taylor a partire dall’istante t con incremento T. Il secondo
metodo è senz’altro più interessante ai fini dell’analisi della soluzione, poiché consente
di ricondurre la (1) ad un’equazione differenziale del second’ordine a coefficienti
costanti, forma matematica comune a classici problemi di stabilità dei sistemi meccanici
o elettrici.
Posto λ=c (ipotesi indispensabile per risolvere il problema) e ϑ=t+T (così da derivare v
invece di dv/dt nello sviluppo in serie di Taylor), la (1) si può scrivere:
(1’)
Sviluppando i due termini del secondo membro rispetto all’incremento −T:
(2)
si ottiene un’equazione differenziale del II ordine a coefficienti costanti:
(3)
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
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Raccogliendo i membri relativi al veicolo n+1, che costituiscono la funzione incognita
del problema e ponendo a II membro quelli relativi al II veicolo, che rappresentano la
sollecitazione, si ha:
(3’)
L’integrale generale dell’equazione omogenea:
(4)
che, come detto, rappresenta le caratteristiche proprie del sistema, indipendentemente da
eventuali sollecitazioni esterne, è la somma di due funzioni esponenziali, i cui
coefficienti sono le radici dell’equazione caratteristica associata:
(5)
Le radici m1,2 dell’equazione caratteristica sono reali se il discriminante della (6) è
positivo (∆>0) e sono invece complesse se è ∆≤0.
(6)
L’integrale generale della (4), come noto dall’analisi matematica, è una combinazione
lineare di funzioni esponenziali ad argomento reale o complesso, secondo il valore del
discriminante ∆ della (6):
(7)
Caso 1. ∆>0 (Radici reali)
La condizione ∆>0 si verifica se cT è compreso tra 0 e 0,141. Infatti, sviluppando
l’espressione del discriminante si ottiene la seguente disequazione:
(8)
la cui soluzione è:
(9)
In questo caso l’integrale generale della (4) è una funzione esponenziale ad argomento
reale, positiva o negativa secondo il valore dei coefficienti. Nel caso in esame, le radici
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TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
sono entrambe negative, poiché è sempre:
(10)
Pertanto la soluzione
(11)
è smorzata ed è quindi stabile.
Caso 2. ∆≤0 (Radici complesse)
Se le radici sono complesse (∆≤0, cioè cT>0,141), l’integrale generale della (4) è la
combinazione lineare di due funzioni esponenziali ad argomento complesso:
(12)
il cui andamento è oscillatorio. Il coefficiente della parte immaginaria,
,
determina la frequenza delle oscillazioni, mentre il coefficiente della parte reale β ne
determina l’ampiezza, che risulta smorzata se β<0, amplificata se β>0, periodica se β=0.
Riassunto dei risultati
I risultati precedenti2 sono riassunti nella Tab.2-I in funzione di c (sensibilità) e di T
(tempo di reazione). Si può osservare che la soluzione è localmente stabile se cT≤1:
Intervallo cT
β
∆
Radici
Andamento
Stabile
0<cT<0,414
β<0
0<∆=√(β -2/T )<|β|
Reali negative
Non oscillatorio smorzato
Sì
0,414≤cT<1
β<0
∆≤0
Complesse
Oscillatorio smorzato
Sì
cT=1
β=0
∆≤0
Complesse
Oscillatorio periodico
Sì
cT>1
β>0
∆≤0
Complesse
Oscillatorio amplificato
No
2
2
Tab.2-I. Risultati dello studio di stabilità locale (approssimazione al II ordine).
2
Nella Tab.2-I sono riportati i risultati della soluzione approssimata. I corrispondenti risultati della
soluzione esatta ottenuta con le trasformate di Laplace sono: per 0<cT<e-1 (≈0,368): andamento non
oscillatorio smorzato; per e-1<cT<π/2 (≈1,571): andamento oscillatorio smorzato; per cT=π/2: andamento
oscillatorio periodico; per cT>π/2: andamento oscillatorio amplificato. Si noterà come l’approssimazione
del II ordine comporti errori finanche del 50%. Bisogna dire però che lo studio della stabilità locale ha un
valore più teorico che pratico, in quanto la condizione che agisce nella realtà è quella più restrittiva sulla
stabilità asintotica, la cui soluzione sarà determinata nel paragrafo seguente senza approssimazioni, a
parte quella introdotta con l’ipotesi di sensibilità costante.
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
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Si osservi che la stabilità della soluzione dipende congiuntamente da sensibilità e
tempo di reazione e, in particolare, richiede che il loro prodotto sia inferiore ad un
valore di soglia. Infatti, una sensibilità elevata comporta una reazione esasperata rispetto
allo stimolo ricevuto e quindi brusche accelerazioni e decelerazioni, che, per certi
valori, possono portare il veicolo seguente a bloccarsi quando il precedente ha effettuato
solo una parziale decelerazione. D’altra parte, un tempo di reazione lungo provoca un
ritardo nell’iniziare la manovra di decelerazione, il che porta il veicolo seguente ad
avvicinarsi troppo al veicolo precedente, così da richiedere una frenatura più brusca o,
al limite, a non poter evitare la collisione.
Nelle Fig.2-II e 2-III sono riportati gli andamenti della soluzione per i diversi casi di
moto smorzato non oscillatorio, moto oscillatorio smorzato, periodico e amplificato.
Fig.2-II. Andamento velocità del generico veicolo per c=0,35s-1; T=1s (a sinistra): soluzione smorzata non
oscillatoria e per c=0,70-1; T=1s (a destra): soluzione smorzata oscillatoria. (c1= c2=1).
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TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
Fig.2-III. Andamento della velocità del generico veicolo per c=1s-1; T=1s (a sinistra): soluzione
oscillatoria periodica e per c=0,80-1; T=1,5s (a destra): soluzione oscillatoria amplificata. (c1= c2=1).
Osservazione
E’ interessante notare come l’equazione (3) sia assolutamente analoga all’equazione
della dinamica di un corpo di massa m soggetto ad una forza f(t), ad una forza elastica
kx, ad una forza di attrito
ed alla forza d’inerzia
:
le cui oscillazioni proprie sono determinate dall’integrale dell’omogenea associata. I
coefficienti della soluzione sono ancora le radici dell’equazione caratteristica:
Di seguito viene riportata l’analogia tra le grandezze del modello del veicolo accodato e
le grandezze della meccanica:
cT2=>m [massa]
(1−cT) =>µ [attrito]
c =>k [costante elastica]
Ai fini della stabilità del sistema, la sensibilità svolge un ruolo analogo a quello della
costante elastica di una molla di richiamo del corpo rigido. Entra però anche negli altri
due termini: come elemento riducente dell’attrito e come elemento proporzionale alla
massa, così il suo ruolo non è di immediata ed univoca interpretazione.
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
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2.2.2 Analisi della stabilità asintotica
Si è già detto che un sistema di n elementi è asintoticamente stabile se al tendere del
tempo all’infinito tutti i suoi elementi tendono ad assumere lo stesso valore. Una
corrente veicolare dunque è asintoticamente stabile se, dopo una manovra di
accelerazione o decelerazione di un generico veicolo, tutti i veicoli seguenti tendono ad
assumere, dopo un tempo adeguato, la stessa velocità. Per studiare la stabilità asintotica
della corrente, quindi, è sufficiente verificare che una generica perturbazione non si
amplifichi propagandosi lungo la corrente.
La riposta di un sistema ad una data perturbazione è determinata dall’integrale
particolare dell’equazione differenziale (3’). Infatti, l’integrale della equazione
omogenea rappresenta le caratteristiche proprie del sistema, indipendentemente dal
termine noto. L’integrale dell’equazione non omogenea, invece, descrive il
comportamento del sistema in presenza di una perturbazione esterna, data dal termine
noto. A tal fine, occorre verificare che, per una data perturbazione di tipo oscillatorio
del generico veicolo n, l’ampiezza delle oscillazioni del veicolo seguente n+1 sia
minore dell’ampiezza del precedente.
Per determinare l’integrale particolare dell’equazione di base, assumiamo una
variazione di velocità del veicolo n, avente andamento prima gradualmente decrescente
e poi crescente, secondo una legge di tipo oscillatorio con ampiezza Vn:
(13)
Anche la velocità del veicolo n+1 avrà un analogo andamento oscillatorio, di diversa
ampiezza V
e di uguale frequenza ω, in quanto dovrà adeguarsi alle variazioni di
n+1
velocità di n:
(14)
Si sostituisce quindi la soluzione ipotizzata, costituita dalla (13) e dalla (14), nello
sviluppo di Taylor dell’equazione di base (3’), ottenendo dopo le operazioni di
derivazione:
(15)
Perché il sistema sia stabile, è necessario che l’ampiezza delle oscillazioni non cresca
con n, vale a dire, eliminando il termine oscillatorio, che il modulo della velocità di n+1
sia minore o uguale a quella di n:
(16)
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TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
Dovendo valere la stabilità locale: cT≤1 ⇒ cT ≤ |1−cT| = 1−cT ⇒ 2cT ≤ 1
Si ottiene così finalmente la condizione per la stabilità asintotica della corrente di n
veicoli:
cT ≤ 1/2
(17)
Si osservi come la condizione di stabilità asintotica presupponga, come ovvio, quella di
stabilità locale.
La Fig.2-IV illustra la condizione di stabilità asintotica nel piano sensibilità-tempo di
reazione.
Fig.2-IV. Condizione per la stabilità asintotica nel piano sensibilità (c)−tempo di reazione (T).
Un esempio di deflusso asintoticamente stabile per una corrente costituita da un plotone
di 9 veicoli è riportato nella Fig.2-V. La perturbazione consiste in una manovra del
primo veicolo che al tempo t=9s decelera per 3s con un’accelerazione pari a −1ms-2,
quindi accelera per altri 3s con accelerazione pari a +1ms-2. Il tempo di reazione è stato
assunto pari a 1s; la sensibilità è stata ipotizzata pari a 0,44s-1.
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
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Fig.2-V. Andamento temporale delle velocità di una corrente asintoticamente stabile (valori dei
-1
parametri: c=0,44s ; T=1s), in seguito ad una perturbazione rappresentata da una decelerazione uniforme
-2
-2
di −1m/s per 3s a partire da t=9s ed un’analoga accelerazione +1m/s per altri 3s da parte del primo
veicolo.
Si osservi come nel caso stabile l’ampiezza delle oscillazioni si riduca sia per lo stesso
veicolo al trascorrere del tempo (stabilità locale) sia passando da un veicolo all’altro
lungo la corrente (stabilità asintotica).
Nel caso instabile (almeno per valori cT<1, come in questo esempio), l’ampiezza delle
oscillazioni di uno stesso veicolo prima cresce, poi si riduce con il tempo, ma cresce da
un veicolo al successivo. L’amplificazione delle oscillazioni viene naturalmente ad un
certo punto limitata dai vincoli di carattere fisico: la velocità ed il distanziamento tra
veicoli non possono assumere valori negativi.
Bisogna infatti considerare che mentre varia nel tempo la velocità della corrente, allo
stesso tempo varia con il distanziamento tra veicoli, che non è altro che l’integrale della
velocità e che ha quindi un andamento oscillatorio analogo ma sfasato rispetto a quello
della velocità.
Nel caso di corrente instabile, quindi, la velocità ed il distanziamento tra veicoli
oscillano finché non si annulla la velocità o il distanziamento:
•
se si annulla per prima la velocità in corrispondenza di distanziamento diverso da
zero, si ha la marcia a singhiozzo;
•
se si annulla prima il distanziamento, mentre la velocità è diversa da zero, si ha un
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TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
tamponamento.
Osservazione. Si osservi che in genere il tamponamento si verifica non tra il secondo
ed il primo veicolo, essendo la stabilità locale una condizione meno restrittiva di quella
asintotica, ma tra due veicoli successivi. E’ questa la condizione che spesso si osserva
nella realtà, soprattutto nella marcia in autostrada, quando, a seguito di una
relativamente brusca manovra di rallentamento del primo veicolo, il secondo riesce a
frenare, il terzo anche, mentre un veicolo successivo lungo la corrente finisce per
tamponare il veicolo che lo precede.
Il significato dell’instabilità asintotica è esemplificato nella Fig.2-VI, dove sono
tracciati i diagrammi di moto di una corrente di veicoli in seguito alla medesima
perturbazione ipotizzata per costruire il grafico della Fig.2-V. In questo caso i valori
assunti per i parametri sono: c=1s-1; T=1s; pertanto, la corrente è asintoticamente
instabile e, in effetti, dopo circa 13s (al tempo t=22s) il modello prevede una collisione
tra l’8° veicolo ed il 7°.
Fig.2-VI. Diagrammi di moto di una corrente di veicoli asintoticamente instabile (valori dei parametri:
-1
c=1s ; T=1s), con collisione tra l’8° veicolo ed il 7° dopo circa 22s, in seguito ad una perturbazione
-2
rappresentata da una decelerazione uniforme di −1m/s per 3s a partire da t=9s ed un’analoga
-2
accelerazione +1m/s per altri 3s da parte del primo veicolo.
La Fig-2-VII evidenzia l’andamento oscillatorio del distanziamento relativo e delle
velocità in corrispondenza della stessa perturbazione ipotizzata nelle figure precedenti,
assumendo un valore della sensibilità pari a 0,80s-1. Si ha così una condizione di
deflusso instabile, in cui il settimo veicolo va a tamponare il sesto: dopo 29,4s si annulla
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
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il distanziamento dal sesto veicolo, mentre la velocità è maggiore di zero, e pari a circa
5,4m/s. Viceversa, l’ottavo ed il non veicolo sono in grado di arrestarsi (rispettivamente
dopo 30,8 e 32,4s), senza tamponare il veicolo che li precede, come si può verificare in
figura, osservando come il distanziamento in quegli stessi istanti è maggiore di zero.
Fig.2-VII. Andamento temporale del distanziamento (in alto) e delle velocità (in basso) di una corrente
-1
asintoticamente instabile (valori dei parametri: c=0,80s ; T=1s), con collisione del 7° veicolo, in seguito
-2
ad una perturbazione rappresentata da una decelerazione uniforme di −1m/s per 3s a partire da t=9s ed
-2
un’analoga accelerazione +1m/s per altri 3s da parte del primo veicolo.
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TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
2.3 Analisi dello stato stazionario
Il modello del veicolo accodato fornisce la relazione funzionale tra accelerazione e
velocità relativa allo stato stazionario, cioè in assenza di perturbazioni, ponendo T=0
nella (1):
(18)
ed integrando rispetto al tempo.
Rispetto alla (1), la (18) è un’equazione assai più semplice, in quanto tutte le grandezze
sono espresse in corrispondenza dello stesso valore del tempo, la cui indicazione può
quindi essere omessa.
Un’importante proprietà del modello del veicolo accodato è che, esprimendo le
grandezze cinematiche del generico veicolo nelle grandezze del deflusso della corrente,
in corrispondenza di diverse espressioni della sensibilità è possibile derivare dalla (18) i
diversi modelli macroscopici descritti nel Capitolo 1.
2.3.1 Modello lineare
Integrata rispetto al tempo, la (18) fornisce la relazione tra velocità e distanziamento tra
due veicoli consecutivi. Mantenendo l’ipotesi di sensibilità λ costante adottata finora, si
ottiene il seguente modello lineare3:
(19)
essendo xn l’ascissa del generico veicolo n. La (19) può essere più semplicemente
espressa indicando con s il distanziamento:
(19’)
Il valore della costante può essere ottenuto imponendo che a velocità nulla il
distanziamento sia pari a L, la lunghezza media del veicolo cui si conviene di
aggiungere un franco tra i due paraurti, anteriore e posteriore.
(21)
3
Questo modello è spesso citato in letteratura come di Pipes (1953), che lo formulò direttamente per lo
stato stazionario prima che Chandler et al. (1958) presentassero la formulazione dinamica (1).
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
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La (19) si può quindi scrivere come:
(19’)
Ricordando che il distanziamento è l’inverso della densità, la (19’) può essere ricondotta
ad una relazione di tipo macroscopico tra grandezze del deflusso:
(19”)
essendo kJ la densità massima, corrispondente all’inverso del distanziamento minimo tra
veicoli L.
La (19”) esprime un legame iperbolico tra velocità e densità, coerente con l’andamento
logicamente decrescente, anche se non pienamente rispondente alle osservazioni
sperimentali (Fig.2-VIII).
Fig.2-VIII. Confronto tra la funzione iperbolica velocità-densità derivante dal modello lineare del veicolo
accodato ed i dati sperimentali di Edie et al. (1963), riportati in Rothery (1998).
L’inadeguatezza del modello lineare è peraltro logicamente prevedibile, se si pensa alla
(19’) che implica un legame lineare tra velocità e distanziamento, quando sarebbe da
attendersi un legame di tipo quadratico inverso, essendo quadratico quello tra spazio di
frenatura e velocità.
Moltiplicando entrambi i membri della (19”) per k ed applicando l’equazione di stato, si
ottiene un legame lineare tra il flusso e la densità:
(22)
60
TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
Questo andamento è chiaramente in contrasto con i dati sperimentali, se non come
approssimazione di uno solo dei due rami della curva flusso-densità4, come è possibile
osservare dalla Fig.2-IX.
Fig.2-IX. Confronto tra la funzione lineare flusso-densità derivante dal modello lineare del veicolo
accodato ed i dati sperimentali (riproduzione qualitativa da Rothery, 1998).
Osservazione. Tanto le considerazioni logiche quanto le osservazioni sperimentali
inducono a scartare il modello del veicolo accodato di tipo lineare, ottenuto assumendo
che la sensibilità sia costante.
Poiché lo studio sulla stabilità è stato possibile proprio perché si era ipotizzato che la
sensibilità fosse costante, a questo punto si può essere indotti a pensare che i risultati
ottenuti siano del tutto inutili. Vedremo nel paragrafo seguente come un
approfondimento sulla possibile forma funzionale della sensibilità consentirà di ricavare
un campo verosimile di applicabilità della condizione di stabilità.
2.3.2 Modelli non lineari
L’ipotesi che la sensibilità sia costante, alla base del modello lineare, si è dimostrata
scarsamente rispondente alla logica ed ai risultati sperimentali. In effetti, questa ipotesi
corrisponde ad assumere che la risposta di accelerazione di un veicolo sia funzione della
sola velocità relativa dei veicoli, indipendentemente dalla velocità alla quale questi si
4
Alcuni autori hanno considerato comunque accettabile il modello di Pipes, imponendo che per
k<kc=qmax/vl sia: v=vl e q=vlk. Si ha quindi un legame q-k di forma triangolare.
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
61
trovano. In realtà, a velocità molto basse i veicoli sono molto vicini tra loro, a distanza
anche dell’ordine di 4 o 5m; al contrario, a velocità sostenuta il distanziamento può
arrivare anche a distanze dell’ordine di 80 o 100m. E’ ragionevole pensare che la
risposta ad una medesima variazione di velocità tra i due veicoli sia maggiore se i
veicoli sono molto vicini. Del resto, una variazione di velocità di 10km/h sarebbe
appena percepibile per veicoli che viaggiano a 130km/h distanziati, ad esempio, di 80m,
mentre è immediatamente apprezzabile dal conducente di un veicolo che viaggia a
30km/h e segue, ad esempio, a 15m di distanza.
In definitiva, ci si attende che la sensibilità sia decrescente con il distanziamento
veicolare. Il più semplice modello che rispetta questa ipotesi si ottiene assumendo che la
sensibilità sia inversamente proporzionale al distanziamento.
(23)
dove a è il parametro di proporzionalità.
E’ ora conveniente esprimere l’equazione di base allo stazionario (18) in funzione del
distanziamento piuttosto che della velocità relativa.
(24)
Integrando la (24) rispetto a t e prescindendo sia dall’indice n+1 che dalla
specificazione del legame con il tempo, si ottiene:
(25)
Imponendo che in corrispondenza della densità massima kJ la velocità sia nulla, si
ricava il valore della costante b:
(26)
Si ottiene così un’espressione della funzione velocità-densità:
(27)
che corrisponde al modello di Greenberg (1959). Si può dimostrare infatti che il
parametro a coincide con il valore vc della velocità che corrisponde al flusso massimo.
Si impone l’annullamento della derivata del flusso, procedendo nella derivazione della
62
TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
funzione q(k) come5 nel Cap.1.
dq
dk
dv ( k )
dv ( k )
d ⎡ ⎛ k ⎞ ⎤
= 0 ⇒v + k
=v+k
= v + k ⎢ aln⎜ J ⎟ ⎥ = 0
dk
dk
dk
dk
dk ⎣ ⎝ k ⎠ ⎦
v+k
(28)
⎡ k
⎛ 1 ⎞ ⎤
⎛ a ⎞
d ⎡ ⎛ kJ ⎞⎤
⎢aln⎜ ⎟⎥ = v + k ⎢a ⋅ k J ⎜ − 2 ⎟ ⎥ = v + k⎜ − ⎟ = v c − a = 0⇒ a = v c (28’)
⎝ k ⎠ ⎦
⎝ k ⎠
dk ⎣ ⎝ k ⎠⎦
⎣ k J
€
Osservazione. L’ipotesi che la sensibilità sia inversamente proporzionale al
distanziamento, oltre che logicamente più convincente, risulta anche molto più
€ appropriata a riprodurre i dati sperimentali dal punto di vista sperimentale.
Il modello di Greenberg, infatti, consente una approssimazione dei dati sperimentali
molto migliore rispetto al modello lineare, sia nel piano velocità-densità, dove la curva
logaritmica inversa approssima molto bene i valori osservati (Fig.2-IX), sia nel piano
flusso-densità, dove la curva convessa segue l’andamento prima crescente e poi
decrescente del flusso (Fig.2-X).
Inoltre, il modello di Greenberg appare particolarmente soddisfacente da un punto di
vista ingegneristico, poiché:
•
fornisce un’interpretazione fisica alla sensibilità, definita come il rapporto tra
velocità critica e distanziamento;
•
esprime il modello del deflusso allo stato stazionario in funzione delle grandezze più
significative ai fini della progettazione: la velocità critica, al quale misurare il valore
della capacità, e la densità massima, che definisce l’addensamento dei veicoli in
coda.
5
Per i dettagli sull’operazione di derivazione dell’espressione tra parentesi quadre si veda l’equazione
(33) del Cap.1.
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
63
Fig.2-IX. Confronto tra la funzione velocità-densità del modello di Greenberg derivante dal modello
iperbolico del veicolo accodato ed i dati sperimentali di Edie et al. (1963), riportati in Rothery (1998).
Fig.2-X. Confronto tra la funzione flusso-densità del modello di Greenberg derivante dal modello
iperbolico del veicolo accodato ed i dati sperimentali di Edie et al. (1963), riportati in Rothery (1998).
E’ stato dimostrato che una forma più generale della sensibilità, dovuta a Gazis et al.
(1963):
(29)
64
TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
consente di ottenere diversi modelli proposti in letteratura (Gazis, 1963) assegnando
opportuni valori ai parametri. Le diverse formulazioni6 sono riportate nella Tab.2−I e
descritte graficamente nella Fig.2-XI.
Si deve però osservare che la forma generale della sensibilità è insoddisfacente dal
punto di vista teorico, in quanto, essendo v=v(s), non è corretto esprimere la sensibilità
in funzione di entrambe le variabili, poiché con una semplice operazione di sostituzione
di variabile ci si può ricondurre ad una funzione di una sola delle due (Papola, 1988).
m
l
Modello
0
0
0
0
Formula
m
l
Modello
Formula
modello di
Pipes
1
2
modello di Edie
1
modello di
Greenberg
1
3
modello
Drake
2
modello di
Greenshields
di
Tab.2-I. Diversi modelli di deflusso (velocità-densità) corrispondenti a diversi valori dei parametri l e m
della funzione di sensibilità della forma generale del modello del veicolo accodato.
Fig.2-XI. Diversi modelli flusso-densità corrispondenti a diversi valori del parametro l della funzione di
sensibilità (Rothery, 1998).
6
L’espressione generale del modello del veicolo accodato, ottenuta sostituendo la (29) nella (1) è nota in
letteratura come modello GHR, dalle iniziali degli autori (Gazis et al., 1961).
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
65
2.3.3 Condizioni sulla stabilità nei modelli macroscopici
Si è già posta la questione dell’attendibilità dei risultati dello studio della stabilità,
ottenuti utilizzando il modello lineare, dimostratosi inadeguato. Si può affermare che
nel ramo destro della curva, vale a dire nell’intervallo [kc, kJ], il modello lineare (22)
rappresenta un’approssimazione accettabile della curva effettiva q(k). I risultati dello
studio della stabilità possono quindi essere a loro volta considerati approssimati, ma non
da rigettare, almeno nell’intervallo [kc, kJ]. Peraltro, la stabilità del sistema richiede una
bassa sensibilità. Secondo la (23), la sensibilità decresce al crescere del distanziamento,
quindi decresce insieme alla densità; pertanto, se la condizione è rispettata
nell’intervallo [kc, kJ], in cui il modello lineare è accettabile, può a maggior ragione
essere considerata rispettata per valori di k compresi nell’intervallo [0, kc].
La condizione di stabilità per i modelli non lineari può essere quindi determinata in
maniera approssimata sostituendo la funzione della sensibilità λ= λ(s) nel risultato dello
studio del modello lineare λT<1/2. L’equazione (23) di proporzionalità inversa tra
sensibilità è distanziamento, espressa in termini di densità, stabilisce che λ è lineare
nella densità e che, in base alla (28’), il coefficiente di proporzionalità è dato dalla
velocità critica:
λ=vck
(30)
La (30), sostituita nella condizione λT<1/2, consente di individuare il campo di stabilità7
nel piano q-k:
(31)
Si osservi che il punto critico ai fini della stabilità è legato alla velocità critica,
corrispondente alla capacità, ma è in generale distinto da esso, come nell’esempio
mostrato in Fig.2-XII, dove si è assunto: T=1s, vc=10m/s, per cui la corrente è stabile
per k<0,05veic/m.
7
Lo studio della stabilità dei modelli non lineari può essere condotto in simulazione, senza la necessità di
introdurre approssimazioni oltre quelle dovute alla discretizzazione del calcolo numerico, semplicemente
facendo variare i parametri del modello. Il risultato dello studio in simulazione indica come condizione di
stabilità per T=1s: a<8,60m/s. L’errore della soluzione approssimata (10m/s) è quindi del 16%, una
misura comunque inferiore rispetto a quello connesso alla linearizzazione effettuata nello studio della
stabilità locale.
66
TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
Fig.2-XII. Condizione di stabilità nel piano flusso-densità nell’ipotesi di sensibilità inversamente
proporzionale al distanziamento: k<1/(2vcT). Valori numerici: vc=10m/s; T=1s: k<0,05veic/m.
Osservazione. La condizione di stabilità della corrente, ricavata dal modello
microscopico, riportata nel modello macroscopico, conduce ad una condizione diversa
rispetto ad una terminologia piuttosto invalsa, che definisce “stabile” il ramo sinistro
della curva ed “instabile” quello destro8. Con ciò si corre il rischio di equiparare le
condizioni di deflusso congestionato, in cui un incremento della densità veicolare
comporta una riduzione del flusso, con la condizione di instabilità, che comporta il
temporaneo arresto della corrente di traffico. Sarebbe peraltro del tutto arbitrario voler
indurre una condizione sulla stabilità della corrente da considerazioni sull’andamento
della curva di deflusso, che descrive i possibili stati stazionari del sistema, ma che non
entra nella determinazione del transitorio. In effetti, è del tutto possibile che il flusso
avvenga allo stato stazionario anche a velocità inferiori a quella critica, come recenti
studi sul cosiddetto “deflusso sincronizzato” hanno dimostrato (Cfr., tra gli altri, Kerner,
2002).
2.4 Risultati sperimentali
Il modello del veicolo accodato è stato sviluppato in seguito a numerosi esperimenti
condotti tra la fine degli anni ’50 e gli inizi dei ’60 su plotoni di veicoli, in cui venivano
misurati simultaneamente il distanziamento, la velocità e l’accelerazione di ciascun
veicolo. La maggior parte di questi esperimenti furono eseguiti in pista con dei
conducenti volontari. I più celebri furono eseguiti dalla General Motors, sia su
8
Questa abituale definizione di “flusso stabile” corrisponde ad imporre T=2s.
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
67
autovetture (Chandler et al., 1958) che su autobus (Rothery et al., 1964). Gli
esperimenti furono articolati in due parti, relativi ad una coppia di veicoli e al plotone.
Recentemente, in Giappone è stata eseguita una nuova sperimentazione con 10 veicoli
su pista, utilizzando per le misure una speciale versione9 del sistema di localizzazione
satellitare GPS (Gurusinghe et al., 2002). Poiché i risultati di quest’ultima
sperimentazione non hanno prodotto significativi progressi delle conoscenze
sull’argomento, nel seguito ci si dedicherà a descrivere brevemente le prime
sperimentazioni.
Gli esperimenti su coppie di veicoli furono organizzati registrando su nastro magnetico
le istruzioni di guida necessarie perché il conducente del primo veicolo potesse
realizzare un diagramma di marcia prestabilito, comprendente una data successione di
accelerazioni e decelerazioni. Ai conducenti che di volta in volta erano chiamati a
seguire il primo veicolo fu data invece l’unica indicazione di guidare nella maniera che
essi ritenevano normale e sicura. I dati ottenuti furono utilizzati per verificare e calibrare
diverse forme funzionali del modello del veicolo accodato. La sensibilità fu stimata
dalla rilevazione degli altri termini dell’equazione di base (1). Nella maggior parte degli
esperimenti, il miglior risultato fu conseguito adottando l’ipotesi di sensibilità
inversamente proporzionale al distanziamento. Nella Fig.2-XIII è riportata la
calibrazione della funzione di sensibilità sui dati di Chandler et al. (1958)10. Questo
risultato non fa che confermare ulteriormente la bontà del modello di Greenberg.
9
Il sistema utilizzato, denominato “Real-Time Kinematic Differential Global Positioning System” (RTKDGPS), consente di aggiornare le misure con intervalli di 0,1s e raggiungere la precisione di 1cm, vale a
dire oltre 100 volte superiore a quella del normale GPS.
10
Si deve dire che la calibrazione della funzione di sensibilità fu eseguita da Chandler et al. (1958)
utilizzando soltanto 6 degli 8 dati disponibili; escludendo oltre al primo veicolo, un altro dato
particolarmente anomalo. Peraltro, la stima del tempo di reazione, variabile tra 1s e 4,5s, lascerebbe
ipotizzare alcune imprecisioni nelle misure. Nonostante le carenze dell’esperimento di Chandler et al.,
l’andamento della funzione di sensibilità da loro ottenuto è stato confermato da tutti gli esperimenti
successivi, pur con le dovute differenze del valore del parametro: 45km/h secondo Chandler et al.; da
29,2 a 32,7km/h secondo Herman e Potts (1959), rispettivamente negli esperimenti dell’Holland Tunnel e
del Lincoln Tunnel, condotti in una corrente di traffico; circa 58km/h secondo Rothery et al. (1964) in un
esperimento su coppie di autobus su pista.
68
TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
Fig.2-XIII. Calibrazione della sensibilità in funzione dell’inverso del distanziamento utilizzando i dati di
Chandler et al., 1958).
I risultati sperimentali su coppie di veicoli, consentendo una misura della sensibilità,
hanno fornito anche la possibilità di verificare sperimentalmente le condizioni di
stabilità. Nella Fig.2-XIV sono riportate le osservazioni sperimentali di sensibilità e
tempo di reazione, che sono confrontate con le condizioni di stabilità locale ed
asintotica, rispettivamente per gli esperimenti nei Tunnel Holland e Queens Midtown
con sole autovetture inserite nella corrente di traffico reale (a sinistra) e per
l’esperimento con coppie di autobus su pista di Rothery et al. (a destra).
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
Fig.2-XIVa. Corrispondenza tra sensibilità e
tempo di reazione ai fini della verifica di stabilità
negli esperimenti dei Tunnel Holland e Queens
Midtown (Rothery, 1968, in Rothery, 1999).
69
Fig.2-XIVb. Corrispondenza tra sensibilità e
tempo di reazione ai fini della verifica di stabilità
negli esperimenti su coppie di autobus (Rothery et
al., 1964, in Rothery, 1999).
Dall’osservazione delle figure precedenti si può notare come circa la metà degli utenti
coinvolti nell’esperimento con automobili (figura a sinistra) abbia valori dei parametri λ
e T tali da garantire la stabilità asintotica, mentre l’altra metà si trovi nel campo
compreso tra la stabilità asintotica e quella locale; gli autisti coinvolti nell’esperimento
con autobus (figura a destra) hanno tutti valori dei parametri che verificano la
condizione stabilità, il che implica che gli autisti professionisti hanno maggiore capacità
di calibrare la propria reazione agli stimoli provenienti dai veicoli precedenti.
Gli esperimenti su plotoni di veicoli furono finalizzati alla descrizione dello stato
stazionario. Per questo, furono misurate le grandezze macroscopiche del deflusso della
corrente, velocità media, densità e flusso, rilevando rispettivamente il numero di veicoli
presenti in determinati tronchi stradali di lunghezza nota e transitanti attraverso sezioni
fissate. Un esempio di calibrazione della curva di deflusso secondo il modello di
Greenberg, effettuato nella sperimentazione sul plotone di autobus, è riportato nella
Fig.2-XV.
70
TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE (BOZZA)
Fig.2-XV. Calibrazione della funzione velocità-densità secondo il modello di Greenberg (Rothery et al.,
1964).
Osservazione. La curva in Fig.2-XV è stata calibrata riportando i punti in un piano
logaritmico rispetto alla velocità, ottenendo così un modello lineare nella densità. Nel
piano logaritmico la retta approssima bene i punti sperimentali. Questo non costituisce
però la garanzia che la funzione così calibrata sia altrettanto soddisfacente nel piano
ordinario velocità-densità. Infatti, la procedura di calibrazione è stata ottenuta
minimizzando la somma degli scarti tra osservazioni e logaritmo naturale dei valori
previsti dal modello, che in generale non coincide con la somma degli scarti tra
osservazioni e valori previsti, poiché tende a sottostimare le differenze tra i valori più
grandi. I risultati della calibrazione potrebbero essere migliorati utilizzando un altro
metodo rispetto alla regressione lineare del logaritmo della funzione, che consiste nel
minimizzare direttamente la somma degli scarti quadratici tra valori previsti e valori
osservati utilizzando, ad esempio, una procedura del gradiente.
Bibliografia
Chandler R.E., Herman R., Montroll E.W. (1958). Traffic Dynamics: Studies in Car-Following.
Operations Research, Vol.6, pp.165-184.
Pipes L.A. (1953). An Operational Analysis of Traffic Dynamics. Journal of Applied Physics, Vol.24,
No.3.
Edie L.C. (1966). Car-Following and Steady State Theory for Noncngested Traffic. Operations Research.
Vol.9, pp.66-76.
Rothery, R. W., R. Silver, R. Herman and C. Torner (1964). Analysis of Experiments on Single Lane Bus
Flow. Operations Research. Vol.12, pp. 913-933.
CAPITOLO 2 – MODELLO DEL VEICOLO ACCODATO
71
Gazis D.C., Herman R., Rothery R.W. (1961). Non-Linear Follow the Leader Models of Traffic Flow.
Operations Research. Vol.9, No.4, pp.545-567.
Rothery R.W. (1998). Car Follwing Models in Traffic Flow Theory, a cura di Nathan H. Gartner, Carroll
Messer, Ajay K. Rathi. Transportation Research Board. http://www.tfhrc.gov/its/tft/tft.htm.
Gurusinghe G.S., Nakatsuji T., Azuta Y., Ranjitkar P., Tanaboriboon Y. (2002). Multiple Car-Following
Data with Real-Time Kinematic Global Positioning System. Transportation Research Record,
No.1802, pp.166-180.
Gazis, D. C., R. Herman, and R. W. Rothery (1963). Analytical Methods in Transportation: Mathematical
Car-Following Theory of Traffic Flow. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE Proc.
Paper 3724 89 (Paper 372), pp. 29-46.
Herman, R. and R. B. Potts (1959). Single Lane Traffic Theory and Experiment. Proceedings Symposium
on Theory of Traffic Flow. Ed. R. Herman, Elsevier Publications Co., pp. 120-146.
Greenberg, H. (1959). An Analysis of Traffic Flow. Operations Research, Vol 7, pp. 78-85.
Kerner B. (2002). Empirical features of Congested Patterns at Highway Bottlenecks. Transportation
Research Record, No.1802, pp.145-154.
Papola N. (1988). Teoria del deflusso veicolare e suo impiego nella progettazione e nella regolazione _
Parte I. Università degli studi di Roma La Sapienza, Dipartimento di Idraulica, Trasporti e Strade, Atti
di Trasporti. Esagrafica, Roma.