Transcript esercitazione sui metodi probabilistici per la verifica

Metodi probabilistici per la valutazione Metodi
probabilistici per la valutazione
dell’affidabilità strutturale
Obiettivo dell’esercitazione: acquisire le conoscenze necessarie per
applicare i metodi probabilistici (livello III, II e semi‐probabilistico) ai
problemi di affidabilità strutturale (condizioni di stato limite SLU e SLE).
Sulla base delle nozioni acquisite, è possibile rispondere alle seguenti
domande:
ƒ come si definisce la funzione di stato limite per condizioni SLU e SLE?
ƒ co
comee si
s ca
calcola
co a laa p
probabilità
obab à d
di insuccesso
successo co
con i metodi
e od d
di livello
e o III
(integrazione diretta e metodo Monte Carlo)?
ƒ come si stima l’indice di affidabilità mediante il metodo FORM?
ƒ quali sono le differenze tra i metodi MVFOSM e AFOSM (metodi
probabilistici di livello II)?
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
1
La funzione di stato limite
La funzione di stato limite
In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato ad uno specifico
requisito è interpretabile come uno stato della struttura, raggiunto il quale,
essa non è in grado di soddisfare il requisito.
Per un dato requisito di stato limite, si definiscono un dominio di
insuccesso (nel quale il requisito non è soddisfatto) e un dominio di
successo (nel quale il requisito è soddisfatto); il confine tra i due domini è
detto stato limite.
La funzione di stato limite permette di esprimere
analiticamente la condizione di stato limite. Questa funzione
di
dipende,
d in
i generale,
l da
d un vettore
tt
X di n variabili
i bili aleatorie.
l t i
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
2
Esempi
1)) Condizione di stato limite ultimo ((SLU)) p
per sforzo normale di
un’asta tesa (asta 2‐3) di una struttura reticolare.
P
Dati :
8
P
P
6
1
‐ grandezze deterministiche:
• L=2 m
• A2‐3 =1742mm2
•α
α=8°
8
7
α
L
5
2
L
3
D.L. Allaix
L
4
L
‐ grandezze aleatorie:
• P: N(22, 4.4) kN • fy: N(265, 18) N/mm2
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
3
SLU per ll’asta
asta 2‐3:
2 3: essa si rompe se lo sforzo normale NS,2‐3
dovuto ai carichi supera lo sforzo normale resistente NR,2‐3:
N S , 2 −3
3 P
=
2 tg (α )
N R , 2−3 = A2 −3 f y
Per questo problema, la funzione di stato limite dipende dalle
2 variabili aleatorie P e fy:
g(P,fy) = NR,2‐3‐NS,2‐3 = A2‐3fy‐3P/(2tg(α))
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
4
Rappresentazione grafica
condizione di stato limite
g(P,fy) = 0
dominio
d
i i di insuccesso
i
g(P,fy) < 0
dominio di
g(P,fy) > 0
D.L. Allaix
successo
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
5
2) Condizione di stato limite di esercizio (SLE) di
deformazione di una trave in calcestruzzo armato.
Dati :
q
‐ grandezze deterministiche:
• L=6 m
‐ grandezze aleatorie:
• q: N(12, 2.4) kN/m 2
• EI: N(12160, 610) kNm
(
,
)
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
6
SLE di deformazione: la funzionalità della struttura viene
meno se la freccia v in mezzeria supera il valore limite L/250:
q
4
5 qL
v=
384 EI
v
Per questo problema, la funzione di stato limite dipende dalle
2 variabili aleatorie q e EI:
g(q,EI) = L/250‐v = L/250 ‐ 5qL4/(384EI)
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
7
Rappresentazione grafica
condizione di stato limite
g(q,EI) = 0
dominio di insuccesso
g(q,EI) < 0
dominio di
g(q,EI) > 0
D.L. Allaix
successo
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
8
Metodi probabilistici di livello III
Metodi probabilistici di livello III
La verifica dell
dell’affidabilità
affidabilità strutturale consiste nel
verificare che Pi ≤ Pi,target
probabilità di insuccesso (il termine vale sia per le condizioni SLU sia per le SLE)
La probabilità di insuccesso Pi è definita dal seguente integrale:
Pi = P[g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ≤ 0] =
∫f
X
( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn
Di
dominio nel q
quale g(
g(x)) ≤ 0
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
9
La probabilità di insuccesso Pi può essere calcolata mediante:
ƒ integrazione diretta (analitica / numerica);
ƒ metodo Monte Carlo.
1) Integrazione diretta:
‐ Condizione di stato limite ultimo (SLU):
Pi =
∫f
X
( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn =
Di
= P (R ≤ S ) =
∫f
R ,S
(r , s )dr ds
Di
R = g R ( X 1 , X 2 ,..., X m )
D.L. Allaix
S = g S ( X m +1 , X m + 2 ,..., X n )
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
10
Il calcolo di Pi è facile se R ed S sono indipendenti oppure R ed
S sono a distribuzione normale.
Se R ed S sono indipendenti si effettua un’integrazione per
strisce orizzontali o verticali.
+∞
⎡ +∞
⎤
Strisce orizzontali: Pi = ∫ f R (r ) ⎢ ∫ f S ( s )ds ⎥ dr = ∫ f R (r )[1 − FS (r )]dr
−∞
−∞
⎣r
⎦
+∞
Di
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
11
+∞
⎡s
⎤
Strisce verticali: Pi = ∫ f S ( s ) ⎢ ∫ f R (r ) dr ⎥ ds = ∫ f S ( s ) FR ( s ) ds
−∞
−∞
⎣−∞
⎦
+∞
Di
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
12
Se R ed S sono a distribuzione normale, si definisce Z = R
R‐S:
S:
Z → N Z (μ Z ;σ Z )
μZ = μR − μS
σ Z = σ R2 + σ S2
L probabilità
La
b bili à Pi può
ò essere stimata
i
nell seguente modo:
d
⎛ Z − μZ − μZ
Pi = P(R ≤ S ) = P(Z ≤ 0) = P⎜⎜
≤
σZ
⎝ σZ
⎞
⎛ − μZ
⎟⎟ = Φ⎜⎜
⎠
⎝ σZ
⎞
⎟⎟
⎠
CDF distribuzione N(0,1) D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
13
‐ Condizione di stato limite di esercizio (SLE):
Pi = P[g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) ≤ 0] =
∫f
X
( x1 , x2 ,..., xn )dx1dx2 ...dxn
Di
In generale, la funzione di stato limite con riferimento agli SLE,
è scritta nel modo seguente:
g(X1,X
X2,…,X
Xn) = valore limite ‐ E(X1,X
X2,…,X
Xn)
Effetto delle azioni applicate: ff
d ll
i i
li
es. spostamento verticale
La difficoltà del calcolo di Pi dipende, di volta in volta,
dall’espressione di g(X1,X2,…,Xn).
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
14
2) Metodo Monte Carlo:
Il metodo Monte Carlo permette di stimare la Pi mediante N
simulazioni.
Il metodo prevede i seguenti passi:
a) definizione della funzione di stato limite g(X1,X2,…,Xn) e
caratterizzazione
delle variabili aleatorie (X1,X
X2,…,X
Xn)
mediante distribuzione, valore medio, varianza ed
eventuali correlazioni tra variabili;
b) esecuzione di un ciclo di N simulazioni. In ogni simulazione:
ƒ si genera un valore casuale per ognuna delle variabili
aleatorie (X1,X2,…,Xn);
ƒ si valuta la funzione di stato limite con i valori casuali
appena generati.
generati Se g(x1,xx2,…,xxn) ≤ 0,
0 ci si trova nel
dominio di insuccesso o sulla superficie di stato limite.
Se g(x1,x2,…,xn) > 0, si è nel dominio di successo.
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
15
c) concluso il ciclo di simulazioni, si stima la probabilità Pi
utilizzando la definizione frequentista di probabilità di un
evento:
Ni
Pi =
N
numero di casi sfavorevoli (g ≤ 0)
numero totale di simulazioni
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
16
Metodi probabilistici di livello II
Metodi probabilistici di livello II
La verifica dell
dell’affidabilità
affidabilità strutturale consiste nel
verificare che βi ≥ βi,target
Il metodo più semplice (e più utilizzato) è il metodo FORM, che
presenta due varianti:
p
ƒ MVFOSM
ƒ AFOSM
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
17
1) Metodo MVFOSM
L’indice
L’i
di di affidabilità
ffid bili à β è definito
d fi i come il rapporto tra valore
l
medio e deviazione standard della funzione di stato limite.
μZ
β=
σZ
dove: Z = g ( X 1 , X 2 ,..., X n )
Mediante uno sviluppo in serie di Taylor troncato ai termini
del primo ordine è possibile ottenere delle approssimazioni di
μZ e σZ:
μ Z ≅ g ( μ X , μ X ,..., μ X )
1
2
n
∂g ∂g
σ ≅ ∑∑
cov(X i , X j )
i =1 j =1 ∂X i ∂X j
n
n
2
Z
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
18
2) Metodo AFOSM
L’indice
L’i
di di affidabilità
ffid bili à b è definito
d fi i come la
l minima
i i
di
distanza
tra la funzione di stato limite e l’origine dello spazio delle
variabili aleatorie a distribuzione normale standard N(0,1).
N(0 1)
La soluzione del problema mediante il metodo AFOSM
richiede quattro passi:
a) si scrive l’espressione della funzione di stato limite
g(X
(X1,X
X2,…,X
Xn) per il problema
bl
i esame;
in
b) si trasformano le variabili aleatorie (X1,X
X2,…,X
Xn) in variabili
aleatorie indipendenti a distribuzione normale standard
(X’1,X’2,…,X’n);
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
19
c) si scrive l’espressione della funzione di stato limite
g(X’1,X’2,…,X’n) in funzione delle variabili (X’1,X’2,…,X’n);
d) si calcola l’indice di affidabilità β come distanza della
superficie di stato limite (g(X
(g(X’1,X
X’2,…,X
X’n)=0) dall
dall’origine
origine
dello spazio (X’1,X’2,…,X’n).
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
20
Metodo semi‐probabilistico
Metodo semi‐probabilistico
La verifica dell
dell’affidabilità
affidabilità strutturale consiste nel
verificare che:
SLU: Rd ≥ Sd
SLE: Ed ≤ valore limite
D.L. Allaix
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
21