Transcript Esercizi su polinomio di Taylor, metodi numerici per il calcolo di zeri

Esercizi su polinomio di Taylor, metodi numerici per il calcolo di
zeri di funzione e iterazioni di punto fisso
21 marzo 2014
Nota: gli esercizi pi`
u impegnativi sono contrassegnati dal simbolo (?).
Richiami di Analisi Matematica:
Teorema 1 (di Taylor). Siano f : [a, b] → R derivabile n + 1 volte in (a, b) e x0 ∈ (a, b). Allora
si ha:
f (x) = Tn (x) + Rn (x), ∀ x ∈ (a, b),
dove:
Tn (x) := f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + · · · +
Rn (x) :=
f (n) (x0 )
(x − x0 )n ,
n!
f (n+1) (ξx )
(x − x0 )n+1 , ξx appartenente all’intervallo di estremi x e x0 .
(n + 1)!
Tn (x) `e detto “polinomio di Taylor di grado n centrato in x0 ”; Rn (x) `e detto “resto di Lagrange”.
Segue una tabella con i polinomi di Taylor, rispetto a x0 = 0, di alcune funzioni fondamentali:
f (x)
ex
Tn (x)
x2
2! + . . .
5
+ x5! − . . .
4
+ x4! − . . .
3
+ x3 − . . .
1+x+
sin(x)
x−
cos(x)
1−
log(1 + x)
x−
x3
3!
x2
2!
x2
2
Esercizio 1. Sperimentare con la function MATLAB taylortool, verificando il contenuto della
tabella che segue il teorema 1.
Esempio 1. Una tipica applicazione del teorema 1 `e l’approssimazione di funzioni trascendenti
(come la funzione esponenziale o le funzioni trigonometriche) con funzioni facilmente valutabili
dal calcolatore (polinomi), stimando al tempo stesso l’errore commesso. Ad esempio, supponiamo di dover approssimare sin(0.1) a meno di un errore assoluto non pi`
u grande di 10−5 . Per
fare ci`o, possiamo utilizzare il polinomio di Taylor di sin(x) centrato in x0 = 0. Per il teorema
di Taylor, possiamo scrivere:
sin(x) = Tn (x) + Rn (x),
dove
Rn (x) =
sin(n+1) (ξx ) n+1
x
.
(n + 1)!
Approssimando sin(0.1) con Tn (0.1), compiamo un errore assoluto pari a:
| sin(0.1) − Tn (0.1)| = |Rn (0.1)|.
Per ottenere l’approssimazione desiderata `e, quindi, sufficiente scegliere n abbastanza grande,
tale che:
|Rn (0.1)| ≤ 10−5 .
Le derivate di sin(x) sono funzioni trigonometriche della forma ± sin(x) o ± cos(x), tutte limitate
in valore assoluto da 1. Dunque, si ha:
|Rn (0.1)| ≤
(0.1)n+1
,
(n + 1)!
per ogni n ed indipendentemente dal punto ξx (che, ricordiamo, `e sconosciuto). Non ci resta che
cercare il pi`
u piccolo intero naturale n per cui si ha:
(0.1)n+1
≤ 10−5 .
(n + 1)!
La tabella:
n
(0.1)n+1 /(n + 1)!
1
1/200 = 5.0 × 10−3
2
1/6000 ≈ 1.6 × 10−4
3
1/240000 ≈ 4.6 × 10−6
mostra che il valore cercato `e n = 3. Essendo:
T3 (x) = x −
x3
,
6
concludiamo che:
1
1
−
≈ 0.09983
10 6000
approssima sin(0.1) con un errore assoluto inferiore a 10−5 .
Seguendo il ragionamento appena esposto, approssimare:
T3 (0.1) =
1. sin(0.5) e sin(1.5) con un errore assoluto non pi`
u grande di 10−5 ,
2. cos(0.1) con un errore assoluto non pi`
u grande di 10−15 ,
√
3. (?) e con un errore assoluto non pi`
u grande di 10−6 .
Esempio 2. In modo simile a quanto visto nell’esempio 1, il polinomio di Taylor pu`o essere
usato per approssimare numericamente il valore di un integrale definito. Supponiamo di dover
calcolare:
Z 1
sin(x)
dx ,
x
0
a meno di un errore assoluto non piu’ grande di 10−4 . Per il teorema di Taylor:
sin(x) = Tn (x) + Rn (x) .
Dividendo per x si ha:
Tn (x) Rn (x)
sin(x)
=
+
.
x
x
x
Integrando ambo i membri fra 0 ed 1:
Z 1
Z 1
Z 1
sin(x)
Tn (x)
Rn (x)
dx =
dx +
dx .
x
x
x
0
0
0
Dunque, l’errore assoluto che compiamo nell’approssimare
Z
0
1
sin(x)
dx −
x
1
Z
0
R1
0
sin(x)
x
dx con
R1
0
Tn (x)
x
dx `e pari a:
Z
Tn (x) 1 Rn (x) dx = dx .
x
x
0
Dobbiamo stimare questo errore assoluto. Prima osserviamo che:
Z 1
Z 1
Rn (x) R
(x)
n
dx ≤
x dx .
x
0
0
Poi, essendo:
Rn (x) =
sin(n+1) (ξx ) n+1
x
, ∀ x ∈ (0, 1) ,
(n + 1)!
con | sin(n+1) (ξx )| ≤ 1 (vedi esempio 1), abbiamo che:
Rn (x) xn xn
≤
=
x (n + 1)! (n + 1)! .
Dunque, la nostra stima dell’errore assoluto `e:
Z
0
1
Z 1
1
Rn (x) xn
xn+1
1
dx ≤
dx =
=
x
(n + 1) (n + 1)! 0 (n + 1) (n + 1)!
0 (n + 1)!
La tabella:
n
1/((n + 1) (n + 1)!)
1
1/4 = 2.5 × 10−1
2
1/18 ≈ 5.5 × 10−2
3
1/96 ≈ 1.0 × 10−2
4
1/600 ≈ 1.6 × 10−3
5
1/4320 ≈ 2.3 × 10−4
6
1/35280 ≈ 2.8 × 10−5
mostra che `e sufficiente prendere n = 6 per ottenere l’approssimazione richiesta. Essendo:
T6 (x) = x −
x5
x3
+
,
6
120
concludiamo che:
Z
0
1
T6 (x)
dx =
x
1
Z
1−
0
x2
x4
1
1
+
dx = 1 −
+
≈ 0.9461
6
120
18 600
approssima:
1
Z
0
sin(x)
x
10−4 .
con un errore assoluto inferiore a
Seguendo il ragionamento appena esposto:
1. (?) approssimare:
Z
0
1
1 − cos(x)
dx ,
x2
con un errore assoluto non pi`
u grande di 10−5 ,
2. (?) approssimare:
Z
1
2
e−x dx ,
0
con un errore assoluto non pi`
u grande di 10−5 .
Esercizio 2. Utilizzando la definizione di ordine di convergenza, dimostrare che il metodo di
Newton applicato alla funzione:
f (x) = x2 − 2x + 1
converge alla radice α = 1 con ordine di convergenza 1, per ogni x(0) ∈ R. A cosa `e dovuta la
lentezza nella convergenza?
Esercizio 3. Facendo uso dei risultati sull’ordine di convergenza delle iterazioni di punto fisso,
dimostrare che il metodo di Newton applicato alla funzione:
f (x) = sin(x)
converge alla radice α = 0 con ordine di convergenza 3, per x(0) sufficientemente vicino ad α.
[Suggerimento: si ricordi che il metodo di Newton si pu`o interpretare come metodo di punto
fisso per un’opportuna funzione iteratrice φ.]
Esercizio 4. (?) Sia sign(x) la funzione segno, cos`ı definita:


se x > 0
 1

sign(x) =
0
se x = 0 .



−1 se x < 0
Studiare il comportamento delle iterate del metodo di Newton, partendo da un valori di x(0) ≈ 0,
per ognuna delle seguenti funzioni:
p
(i) f (x) = sign(x) |x| ,
√
3
(ii) f (x) = sign(x) x2 ,
p
(iii) f (x) = sign(x) 3 |x| .
Giustificare i comportamenti osservati.
Esercizio 5. Implementare, sotto forma di function MATLAB, i seguenti metodi:
(i) metodo delle successive bisezioni,
(ii) metodo della falsa posizione,
(iii) metodo di Newton,
(iv) metodo delle corde (o della direzione costante):
x(k+1) = x(k) −
f (x(k) )
(con m fissato) ,
m
(v) metodo delle secanti:
x(k+1) = x(k) − f (x(k) )
x(k) − x(k−1)
,
f (x(k) ) − f (x(k−1) )
(vi) metodo Quasi-Newton:
d(k) =
f (x(k) + h) − f (x(k) )
(con h fissato) ,
h
x(k+1) = x(k) −
f (x(k) )
.
d(k)
Esercizio 6. Applicare i metodi dell’esercizio 5 alle seguenti equazioni:
1. x3 − 2x − 5 = 0 (l’equazione sulla quale Newton illustr`o il suo metodo),
2. x − e−x = 0 .
Per ciascuna equazione, confrontare le performance dei vari metodi a parit`a di qualit`a della
stima iniziale e valutare sperimentalmente l’ordine di convergenza.
Esercizio 7. Il metodo di Newton pu`o richiedere che il punto iniziale sia molto vicino alla
soluzione affinch`e si abbia convergenza. Verificarlo mediante il seguente esercizio. Sia
f (x) = arctan(c(x − 1)) +
sin(c2 x)
,
c
con c = 1/10. Questa funzione possiede un unico zero α in R. Utilizzando il metodo di
Newton, calcolare le prime 10 cifre significative di α. Inoltre, stimare sperimentalmente gli
estremi del pi`
u grande intorno [a, b] di α per cui si ha che le iterazioni x(k) convergono ad α
ogniqualvolta x(0) ∈ [a, b]. Spiegare il motivo di una tale sensibilit`a alla scelta del punto iniziale.
[Suggerimento: aiutarsi mediante un grafico di f nell’intervallo [0, 2].]
Esercizio 8. Per ciascuno dei metodi dell’esercizio 5, valutare l’efficienza E come rapporto tra
l’ordine p ed il numero k di nuove valutazioni di funzioni richiesto ad ogni iterazione:
E=
p
.
k
Quale metodo risulta pi`
u efficiente?
Esercizio 9. Si considerino il metodo di Newton e la seguente sua variante (metodo di Newton
modificato):
f (x(k) )
x(k+1) = x(k) − 2 0 (k) .
f (x )
Per entrambi i metodi, determinare l’ordine di convergenza alla radice α = 1 dell’equazione
x3 − x2 − x + 1 = 0. Verificare il risultato ottenuto mediante esperimenti al calcolatore.
Esercizio 10. Approssimare i primi tre zeri strettamente positivi della funzione:
f (x) = tan(x) − x
mediante i metodi di Newton e delle successive bisezioni. Si trovano, rispettivamente, negli
intervalli [4, 5], [7, 8] e [10.5, 11.5].
3
Esercizio 11. Si considerino le iterazioni x(k+1) = 2 − (1 + c)x(k) + c x(k) .
1. per quali valori di c le iterazioni convergono a α = 1 se x(0) `e sufficientemente vicino a α?
2. c’`e qualche valore di c per cui la convergenza `e quadratica?
Esercizio 12. Per ognuna delle seguenti iterazioni, stabilire se si ha convergenza al punto fisso
α indicato (per x(0) sufficientemente vicino a α). Nel caso si ha convergenza, stabilire l’ordine
di convergenza; se la convergenza e’ lineare, trovare la costante asintotica dell’errore.
1. x(k+1) = −16 + 6x(k) +
12
, α = 2.
x(k)
2
1
2. x(k+1) = x(k) +
2 , α = 31/3 .
(k)
3
x
3. x(k+1) =
12
, α = 3.
1 + x(k)
Esercizio 13. Sperimentare con le function MATLAB fzero e roots, utilizzando le equazioni
dell’esercizio 6. Consultare la documentazione html di MATLAB mediante il comando:
>> doc fzero
per scoprire l’algoritmo utilizzato dalla function fzero (vedere alla voce Algorithm). Per una
descrizione dell’algoritmo di inverse quadratic interpolation, consultare Wikipedia o il testo di
Cleve Moler (http://www.mathworks.com/moler/chapters.html).
Esercizio 14. Risolvere gli esercizi 2.1, 2.5, 2.6, 2.7, 2.10, 2.11, 2.15, 2.16, 2.17, 2.18 (pagine
77-79) dal testo “Calcolo Scientifico” di A. Quarteroni, F. Saleri e P. Gervasio. [Suggerimento
per l’esercizio 2.15: Se α `e zero di f di molteplicit`a m, allora f (x) = g(x)(x−α)m , con g(α) 6= 0.]