Transcript Elementi di Logica matematica

Elementi di Logica
matematica
Prima parte
a cura di Fabio Cipollone
Proposizioni
Definizione
Si chiama proposizione o enunciato una
frase di tipo dichiarativo per la quale si può
stabilire senza ambiguità se essa è vera o
è falsa.
La verità o falsità di un enunciato viene
detto valore di verità dell’enunciato.
Proposizioni
Sono proposizioni, ad esempio, le seguenti
frasi:
“2 è un numero primo”
“7 è multiplo di 3”
“Pescara è un capoluogo di provincia”
“Fuori piove”
“Francesca ha 18 anni”
“Carlo è più alto di Matteo”.
Proposizioni
Le seguenti
proposizioni:
frasi,
invece,
non
“Che ore sono?”
“Stai zitto!”
“Che bella sorpresa mi hai fatto!”
“Paolo è simpatico”
“L’Inter quest’anno vincerà il campionato”
sono
Proposizioni
Tre principi fondamentali:
1) Il principio di identità:
ogni proposizione ha lo stesso valore di
verità di se stessa
2) Il principio di non contraddizione:
una proposizione non può essere
contemporaneamente vera e falsa.
Proposizioni
3) Il principio del terzo escluso:
una proposizione o è vera, o è falsa, non
esiste una terza possibilità.
Poiché, per il principio del terzo escluso, si
hanno solo due possibili valori di verità
(vero o falso), si parla di logica binaria.
Proposizioni
Definizione
Una proposizione si dice semplice (o
atomica) se contiene un solo predicato.
Proposizioni
Ad esempio, le proposizioni inizialmente
considerate:
“2 è un numero primo”
“7 è multiplo di 3”
“Pescara è un capoluogo di provincia”
“Fuori piove”
“Francesca ha 18 anni”
“Carlo è più alto di Matteo”
sono tutte proposizioni semplici.
Proposizioni
Definizione
Una proposizione si dice composta (o
molecolare) se è formata da due o più
proposizioni semplici, collegate tra loro
mediante delle locuzioni dette connettivi
logici:
e, o, se… allora,
se e solo se.
Proposizioni
Ad esempio:
“Luca va a scuola in bici e c’è il sole”
“Se c’è il sole, allora Luca va a scuola in bici”
sono proposizioni composte.
Una proposizione composta si può
considerare come il risultato di operazioni
tra proposizioni semplici, in cui gli operatori
sono i connettivi logici.
Proposizioni
Il problema che si pone è allora il seguente:
come si può stabilire il valore di verità di una
proposizione composta, conoscendo il valore di
verità delle proposizioni semplici da cui è
composta?
Di questo si occupa il calcolo delle
proposizioni.
Per svilupparlo si devono definire con precisione
le operazioni tra le proposizioni e le regole con le
quali si eseguono.
Operazioni logiche
La congiunzione
Definizione
Si dice congiunzione di due proposizioni p
e q, e si indica con 𝑝 ∧ 𝑞 (si legge “p e q”),
la proposizione che è vera se p e q sono
contemporaneamente vere, falsa in ogni
altro caso.
Operazioni logiche
Tavola di verità della congiunzione
p
q
𝑝∧𝑞
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Operazioni logiche
Esempio 1
Date le due proposizioni
p: “6 è multiplo di 2”,
q: “6 è multiplo di 3”,
entrambe vere, facendo la loro
congiunzione si ottiene la proposizione
𝑝 ∧ 𝑞 : “6 è multiplo di 2 e di 3”,
che risulta vera.
Operazioni logiche
Esempio 2
Se consideriamo invece le due proposizioni
r: “15 è divisibile per 3”
(vera),
s: “15 è divisibile per 4”
(falsa);
facendo la loro congiunzione si ottiene la
proposizione
𝑟 ∧ 𝑠 : “15 è divisibile per 3 e per 4”,
che risulta falsa.
Operazioni logiche
La disgiunzione inclusiva
Definizione
Si dice disgiunzione inclusiva di due
proposizioni p e q,
e si indica con 𝑝 ∨ 𝑞 (si legge “p o q”),
la proposizione che è vera se almeno una
delle due proposizioni p e q è vera, è
falsa se p e q sono entrambe false.
Operazioni logiche
Tavola di verità della
disgiunzione inclusiva
p
q
𝑝∨𝑞
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Operazioni logiche
Esempio 1
Consideriamo le due proposizioni
r: “15 è divisibile per 3”
(vera),
s: “15 è divisibile per 4”
(falsa);
facendo la loro disgiunzione inclusiva
si ottiene la proposizione
𝑟 ∨ 𝑠 : “15 è divisibile per 3 o per 4”,
che risulta vera.
Operazioni logiche
Esempio 2
Date invece le due proposizioni
p: “-5 è maggiore di 2”,
q: “-5 è maggiore di 3”,
entrambe false, facendo la loro
disgiunzione inclusiva si ottiene la
proposizione
𝑝 ∨ 𝑞 : “-5 è maggiore di 2 o di 3”,
che risulta falsa.
Operazioni logiche
La disgiunzione esclusiva
Definizione
Si dice disgiunzione esclusiva di due
proposizioni p e q,
e si indica con 𝑝 𝑎𝑢𝑡 𝑞 (si legge “o p o q”),
la proposizione che è vera se una delle
due proposizioni è vera e l’altra è falsa,
è falsa se sono entrambe vere o
entrambe false.
Operazioni logiche
Tavola di verità della
disgiunzione esclusiva
p
q
𝑝 𝑎𝑢𝑡 𝑞
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Operazioni logiche
Esempio
Consideriamo le due proposizioni
a: “fuori piove”;
b: “fuori c’è il sole”.
Facendo la loro disgiunzione esclusiva si
ottiene la proposizione
𝑎 𝑎𝑢𝑡 𝑏 : “o fuori piove o fuori c’è il sole”.
Operazioni logiche
La negazione
Definizione
Si dice negazione di una proposizione p,
e si indica con 𝑝 o ¬𝑝 (si legge “non p”),
la proposizione che è falsa se p è vera ed
è vera se p è falsa.
Operazioni logiche
Tavola di verità della negazione
p
𝑝
V
F
F
V
Operazioni logiche
Esempio
La negazione dell’enunciato
p: “ 2 è un numero razionale”
è l’enunciato
(falso),
𝑝: “ 2 non è un numero razionale”,
che ovviamente è vero.
Operazioni logiche
L’implicazione materiale
Definizione
Si dice implicazione materiale di due proposizioni
p e q, e si indica con 𝑝 → 𝑞 (si legge “se p allora
q” oppure “p implica q”), la proposizione che è
falsa nel caso che p sia vera e q sia falsa, ed è
vera in tutti gli altri casi.
Le proposizioni p e q vengono dette
rispettivamente antecedente e conseguente.
Operazioni logiche
Tavola di verità dell’implicazione materiale
p
q
𝑝→𝑞
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Quindi:
se l’antecedente è vera, l’implicazione è vera se e solo se
anche la conseguente è vera;
se l’antecedente è falsa, l’implicazione è vera qualunque
sia il valore di verità della conseguente.
Operazioni logiche
Esempio
Un professore di Matematica dice ad un suo allievo:
“Se studi, allora sarai promosso”.
𝑝 ⟶ 𝑞
p
q
𝑝→𝑞
V
V
V
Il professore ha detto il vero:
l’allievo ha studiato, ed è stato promosso.
V
F
F
Il professore ha detto il falso:
l’allievo ha studiato, ma non è stato promosso.
F
V
V
F
F
V
Il professore ha detto il vero in entrambi i casi:
l’allievo non ha studiato, cioè non ha rispettato
la condizione posta dal suo professore, quindi
ogni conseguenza è possibile, promozione o
bocciatura!
Operazioni logiche
Nota bene
L’implicazione materiale non necessariamente
indica un rapporto di causa – effetto tra
antecedente e conseguente.
Ad esempio possiamo considerare le proposizioni
p: “Pescara è la capitale d’Italia”
(falsa),
q: “4 è un numero primo”
(falsa),
e la proposizione
𝑝 → 𝑞 : “se Pescara è la capitale d’Italia, allora 4
è un numero primo”,
che paradossalmente risulta vera.
Operazioni logiche
Definizioni
Data un’implicazione 𝑝 → 𝑞 (detta
diretta):
• l’implicazione 𝑝 → 𝑞 viene detta
contraria di 𝑝 → 𝑞 ;
• l’implicazione 𝑞 → 𝑝 viene detta
inversa di 𝑝 → 𝑞 ;
• l’implicazione 𝑞 → 𝑝 viene detta
contronominale di 𝑝 → 𝑞 .
implicazione
implicazione
implicazione
implicazione
Operazioni logiche
La coimplicazione materiale
Definizione
Si dice coimplicazione (o doppia implicazione)
materiale di due proposizioni p e q, e si indica con
𝑝 ↔ 𝑞 (si legge “p se e solo se q” oppure “p
coimplica q”), la proposizione che è vera se p e
q hanno lo stesso valore di verità e falsa
in caso contrario.
Operazioni logiche
Tavola di verità
della coimplicazione materiale
p
q
𝑝↔𝑞
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Operazioni logiche
Esempio
Un professore di Matematica dice ad un suo allievo:
“Sarai promosso, se e solo se studi”.
𝑝 ⟷ 𝑞
p
q
𝑝↔𝑞
V
V
V
Il professore ha detto il vero:
l’allievo è stato promosso, avendo studiato.
V
F
F
Il professore ha detto il falso:
l’allievo è stato promosso, pur non avendo studiato.
F
Il professore ha detto il falso:
l’allievo non è stato promosso, pur avendo studiato.
V
Il professore ha detto il vero:
l’allievo non è stato promosso, non avendo studiato.
F
F
V
F
Proposizioni logicamente equivalenti
Definizione
Due proposizioni composte si dicono
logicamente equivalenti se assumono
lo
stesso
valore
di
verità
in
corrispondenza degli stessi valori di verità
assunti dalle proposizioni componenti, se
hanno cioè la stessa tavola di verità.
Proposizioni logicamente equivalenti
Osservazione
Un’implicazione materiale e la sua contronominale sono
logicamente equivalenti.
Per dimostrarlo basta confrontare le rispettive tavole di verità:
p
q
𝑝→𝑞
𝑞
𝑝
𝑞→𝑝
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
Proposizioni logicamente equivalenti
Esempio
Le proposizioni
𝑝 → 𝑞 : “Se fuori c’è il sole, allora esco”,
𝑞 → 𝑝 : “Se non esco, allora fuori non c’è il
sole”,
sono logicamente equivalenti.
I connettivi logici con Excel
In Excel, tra le funzioni logiche, sono implementati
i tre connettivi logici fondamentali:
• La congiunzione ∧
sintassi:
=E(A1;B1)
• La disgiunzione inclusiva ∨
sintassi:
=O(A1;B1)
• La negazione ¬
sintassi:
=NON(A1)
dove A1 e B1 sono i nomi di due celle, ciascuna
delle quali deve contenere uno dei due possibili
valori di verità: VERO / FALSO.
I connettivi logici con Excel
Mediante i tre connettivi logici fondamentali ∧, ∨,
¬, si possono ottenere, per equivalenza logica, i
rimanenti:
• 𝑝 𝑎𝑢𝑡 𝑞
è equivalente a
𝑝∧𝑞 ∨ 𝑝∧𝑞
• 𝑝→𝑞
è equivalente a 𝑝 ∨ 𝑞
• 𝑝↔𝑞
è equivalente a
𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑝 .
Dimostra per esercizio le equivalenze logiche
precedenti costruendo le relative tavole di verità.
I connettivi logici con Excel
• L’implicazione materiale 𝑝 → 𝑞 si può ottenere
anche utilizzando la funzione SE, nel modo
seguente:
=SE(A1;B1;VERO)
• La doppia implicazione 𝑝 ↔ 𝑞 si può ottenere
anche come segue:
=SE(A1=B1;VERO;FALSO)
• La disgiunzione esclusiva
𝑝 𝑎𝑢𝑡 𝑞
ottenere anche nel modo seguente:
=SE(A1=B1;FALSO;VERO)
si può
Operazioni logiche ed insiemistiche
Si può stabilire la seguente corrispondenza tra
operazioni logiche ed insiemistiche:
Operazione logica
Operazione insiemistica
Congiunzione
∧
Intersezione
∩
Disgiunzione incl.
∨
Unione
∪
Complementare
𝒞, ͞
Negazione
¬, ͞
Per le operazioni tra proposizioni valgono le
stesse proprietà delle corrispondenti operazioni
tra insiemi:
Proprietà delle operazioni logiche
• Proprietà di idempotenza della congiunzione e della
disgiunzione:
𝑝∧𝑝=𝑝
𝑝∨𝑝=𝑝
• Proprietà commutativa della congiunzione e della
disgiunzione:
𝑝∧𝑞 =𝑞∧𝑝
𝑝∨𝑞 =𝑞∨𝑝
• Proprietà di complementarità (o legge della doppia
negazione):
𝑝=𝑝
• Proprietà associativa della congiunzione e della
disgiunzione:
𝑝∧𝑞 ∧𝑟 =𝑝∧ 𝑞∧𝑟
𝑝∨𝑞 ∨𝑟 =𝑝∨ 𝑞∨𝑟
Proprietà delle operazioni logiche
• Proprietà di distributiva della congiunzione rispetto
alla disgiunzione:
𝑝∧ 𝑞∨𝑟 = 𝑝∧𝑞 ∨ 𝑝∧𝑟
• Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla
congiunzione:
𝑝∨ 𝑞∧𝑟 = 𝑝∨𝑞 ∧ 𝑝∨𝑟
• Leggi di De Morgan:
𝑝∧𝑞 =𝑝∨𝑞
𝑝∨𝑞 =𝑝∧𝑞
• Leggi di assorbimento:
𝑝∨ 𝑝∧𝑞 =𝑝
𝑝∧ 𝑝∨𝑞 =𝑝
Tautologie e contraddizioni
Definizioni
Una proposizione composta viene detta
tautologia se essa è vera qualunque siano i
valori di verità delle proposizioni componenti.
Una proposizione composta viene detta
contraddizione se essa è falsa qualunque
siano i valori di verità delle proposizioni
componenti.
Alcune tautologie notevoli
1) Principio d’identità
𝑝→𝑝
2) Principio di non contraddizione 𝑝 ∧ 𝑝
3) Principio del terzo escluso
𝑝∨𝑝