Transcript MUTSENPROBLEEM

Mutsenprobleem
■
door Alex van den Brandhof
21
De strip hierboven is gemaakt door Mike Cavers,
de maker van SpikedMath: strips over wiskunde.
Raadsels waarbij kabouters, gevangenen, logici of
wat voor figuren ook moeten raden welke kleur
muts zij dragen, zijn er in vele varianten. De afgebeelde strip is gebaseerd op het volgende mutsenprobleem.
Probleem Drie logici zitten in het café, elk met
een muts op hun hoofd. Elke muts is rood of blauw,
elk met kans 0,5 en onafhankelijk van elkaar. Elke
persoon kan de mutsen van de twee anderen zien,
maar zijn eigen muts niet. Elke persoon kan ofwel
proberen om de kleur van zijn eigen muts te raden, ofwel passen. Alle drie doen dat tegelijkertijd,
dus het is niet mogelijk om je gok te baseren op de
gok van een ander. Als niemand verkeerd gokt én
ten minste één persoon de kleur van zijn muts goed
raadt, krijgen ze allemaal een grote prijs. Belangrijk: vóór de wedstrijd kunnen de drie logici met elkaar overleggen. Welke strategie moeten ze hanteren om ervoor te zorgen dat de kans dat ze winnen
maximaal is?
Hints Als niemand past, is de winstkans gelijk
aan 0,53 = 0,125. Als één persoon past en twee
personen ‘rood’ of ‘blauw’ roepen, is de winstkans
0,52 = 0,25. Als twee personen passen en één persoon ‘rood’ of ‘blauw’ roept, is de winstkans 0,5.
Als ze alle drie passen, is de winstkans natuurlijk 0.
Het lijkt daarom optimaal om af te spreken dat één
persoon gokt, en dat twee personen passen. De
winstkans is dan 0,5.
Toch kan het beter. Als je ‘rood’ roept, is de kans
dat dat klopt 0,5. Datzelfde geldt voor als je ‘blauw’
roept. Maar als je past, heb je het altijd goed (succeskans is 1), behalve natuurlijk als de andere twee
óók passen. Er bestaat een strategie waarbij deze
drie succeskansen (0,5, 0,5 en 1) op een of andere
manier gecombineerd kunnen worden tot een gezamenlijke winstkans die groter is dan 0,5.
Tot slot: kun je de puzzel ook oplossen als er
zeven logici aan de bar zitten? Of algemeen, als er
2n – 1 logici in het spel zijn?
De oplossing van dit mutsenprobleem geven we
in het volgende nummer. ■
P YTHAGORAS Ap ril 2015