Transcript Hs11 Kansverdelingen - uitwerkingensite.nl

Diagnostische Toets Wis A VWO Hoofdstuk 11 Kansverdelingen Getal en Ruimte wiskunde uitwerkingen www.uitwerkingensite.nl
Getal & ruimte vwo A deel 3
C. von Schwartzenberg
11 Kansverdelingen
9/12
= binompdf(3, 0. 2) = 0,288.
=
= binompdf(3, 0.
=
= binompdf(3, 0
=
= binompdf(3,
( ) = 0 × 0,216 + 6,5 × 0, 432 + 13
8 × (20 − 7
=
0) = 0,216.
,1) = 0, 432.
,3) = 0, 064.
0,288 + 19,5 × 0, 064 = 7,80 (€).
0) = 2 781, 60
op de kaarten te verdie
P(
u)
SCROLL DOWN
||
||
V
Zie de kansverdeling van
hiern
st.
36
= 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 + 7 ⋅ 6 + 8 ⋅ 5 + 9 ⋅ 4 + 10 ⋅ 3 + 11 ⋅ 2 + 12 ⋅ 1 = 7.
36
36
Y) =
Inderdaad is
(X
Y)
(
36
36
36
36
36
36
de
1
6
).
(X )
) = 1 ⋅ 0, 05 + 2 ⋅ 0,25 + 3 ⋅ 0, 4 +
(
36
lfde) hiernaast.
= 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 4 1 + 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 = 3,5.
6
6
6
6
6
6
(Z ) = 7 en (X ) + ( = 3,5 + 3,5 = 7.
=
(X
36
36
Zie de kansverdeling van
⋅ 0,25 + 5 ⋅ 0, 05 = 3. (0, 05 + 0, 25 + 0, 4 + 0, 25 + 0, 05 = 1))
( ) = 1 ⋅ 0,3 + 2 ⋅ 0,15 + 3 ⋅ 0,1 + 4 ⋅ ,15 + 5 ⋅ 0,3 = 3. (0, 3
0,15
0,1
0,15
0, 3
1)
De spreiding is het grootst in het isto
) = 1 ⋅ 0, 05 + 2 ⋅ 0,15 + 3 ⋅ 0,6 + 4 ⋅ 0,15 + 5 ⋅ 0, 05 = 3 en
(
( )
1, 64 (1-Var Stats
3 en
Zie de kansverdeling van
hiern
≈ 0,84 (1-Var Stats L ,L ).
L2).
st.
1 ; P (X = 198) =
P (X = 498) = 1000
; P (X = 3) =
1000
10 0
=1−
+
+ 1
1000 1000 10
en
(
) = 498 ×
( )=
(
=
De som
en
+ 198 ×
)=
=
( )
1000
( )+
=
(
1000
( ) =1
+
( )
)
+3
230 30
2
= 12 + 5
+
7
1000
−2×
1000
= −0, 60 (€) en
de standaar
zijn niet onafhankelijk, d
≈ 18,18 (€). (1-Var Stats
tats L ,L )
30 = 46 (sec).
+ 3 = 13 ≈ 3, 6
=
7
0
= 1 − 103 =
.
1000 1000
.
(gram).
169 = 13
.
fwijking
0.
afhank
Diagnostische toets
D1a 
Som 6 kan met 114 (op  3
 = 3 manieren), 123 (op 3! = 6 manieren) en 22 2 (op 1 manier).
2
10 ≈ 0, 954.
P (som ≠ 6) = 1 − P (som = 6) = 1 − 36 ×+ 66 ×+ 61 = 1 − 216
D1b 20 ≈ 0,
P (som ≥ 7) = 1 − P (som < 7) = 1 − 1 + 3 + 36 +× 36 ×+ 63 + 6 + 1 = 1 − 216
0,907.
907.
e som 6 met 114, 123 en 222.
Som 3 met 111, som 4 met 112, som 5 met 122 en 113 en
D2  20 
5 
 
P (minstens twee uit R) = 1 − P ( geen of een uit R) = 1 − P (R R R R R) + P (R R R R R) = 1 −
−
 26 
5 
 
(
)
 6  ⋅  20 
1  4 
   
≈ 0,322.
 26 
5 
 
Getal & ruimte vwo A deel 3
C. von Schwartzenberg
D3a 11 Kansverdelingen
10/12
7
8
P (minstens twee 6) = 1 − P (geen of één 6) = 1 − P (6 6 6 6 6 6 6 6) − P (6 6 6 6 6 6 6 6) = 1 − 56 −  81  ⋅ 61 ⋅ 56 ≈ 0,395.
 
( )
( )
8  6 1 2 1 3 2 3
⋅ 6 ⋅ 6 ≈ 0, 003.
D3b P (33444(5of6)(5of6)(5of6)) =  2
⋅ ⋅
  3 6
( ) ( ) ( )
D4a D4b 2 ⋅ 1 ⋅ 3 + 4⋅ 1
5
5 6 7
3 2 +3⋅ 1 ⋅ 5
8 8
8
( )
⋅ 4 = 6 + 16 = 1 + 16 = 17 .
7
210
35
35
35
35
= 3 ⋅ 3 + 15 = 9 + 15 = 24 = 3 .
8 8 64
8
64 64
64
D4c D5c 5 + a3 = 5 ⋅ aa + a3 = 5aa + a3 = 5aa+ 3 .
2
2
3)
(5
)
−
−
(
a
⋅
a
D5b a a− 3 ⋅ 5 − a =
= 5a − a − 15 + 3a = −a + 8a − 15 .
D5a 4a
4
4a
x ⋅ (x + 2)
5 ⋅ 1 + 1 1 + 56 = 5 + 1 1 + 5 ⋅ 11 = 2 + 55 = 2 + 9 1 = 11 1 .
6
6
11
6
6
6
6
4 + 8 − a = 4 ⋅ 5 + (8 − a ) ⋅ a = 20 + 8a − a 2 = −a 2 + 8a + 20 .
a ⋅5
5 ⋅a
5a
5a
5
4a
2
= x + 2x .
x ⋅ x +2 =
P (r r) = 10
15
D6b 15 − (x + 2) 10 − x x + 2 x ⋅ (13 − x ) (10 − x ) ⋅ (x + 2)
+
⋅
=
+
P (rw) = P (rw) + P (w r) = x ⋅
150
10
15
10
15
150
150
2
2
2
= 13x − x + 10x + 20 − x − 2x = −2x + 21x + 20 .
150
150
D6c 6
a
D6a 10 ⋅ 15
6
2
21x + 20 > 0, 45 (TABLE) ⇒
P (rw) = −2x +150
x = 4 ∨ x = 5 ∨ x = 6 ∨ x = 7.
Er zitten dus in vaas I en vaas II respectievelijk 4 en 6 of 5 en 7 of 6 en 8 of 7 en 9 rode knikkers.
D7a 5 ⋅ (a − 5) 5a − 25
= 2
P (w w) = a5 ⋅ aa −− 51 =
.
a ⋅ (a − 1)
a −a
D7b P (w w w) = a5 ⋅ 4 ⋅ a − 5 > 0,15 (TABLE) ⇒ a = 6 ∨ a = 7 ∨ a = 8 ∨ a = 9.
a −1 a −2
P (AA AAA AAA A A) = 0,789 ⋅ (1 − 0, 78) = 0,789 ⋅ 0,22 ≈ 0, 024.
D8b P (A ≥ 9) = 1 − P (A ≤ 8) = 1 − binomcdf(10, 0.78,8) ≈ 0,318. (A = het aantal keer dat hij alles omver werpt)
OF: P (A ≥ 9) = P (A = 9) + P (A = 10) = binompdf(10, 0.78,9) + binompdf(10, 0.78,10) ≈ 0,318.
D8a D9a P (A = 5) = binompdf(15, 0.36,5) ≈ 0,209.
D9b P (X ≤ 10) = binomcdf(15, 0.36 + 0.21,10) ≈ 0,845. (X = het aantal keer "A of C")
D9c P (X = 8 of X = 9) = binompdf(15, 0.36 + 0.21,8) + binompdf(15, 0.36 + 0.21, 9) ≈ 0,396.
D9d P (C = 0) = binompdf(15, 0.21, 0) ≈ 0, 029.
D10a P (E > 10) = 1 − P (E ≤ 10) = 1 − binomcdf(16, 1 ,10) ≈ 0,105.
2
D10b P (Z < 3) = P (Z ≤ 2) = binomcdf(16, 1 ,2) ≈ 0, 487.
6
D10c P (5 < X < 10) = P (X ≤ 9) − P (X ≤ 5) = binomcdf(16, 2 , 9) − binomcdf(16, 2 ,5) ≈ 0, 437. (X = het aantal keer "1 of 2")
6
6
D11a P (V > 10) = 1 − P (V ≤ 10) = 1 − binomcdf(20, 0.42,10) ≈ 0,170.

⋅ 0,5110 ⋅ 0, 4210 ≈ 0, 038. (niet binomiaal !!!, want 0, 51 + 0, 42 ≠ 1)
D11b P (aa aaaa aaaa vvvvvvvvvv) =  20
10 

D12 
3 (zie rooster op voorblad), 4) > 0, 90 (TABLE) ⇒ n ≥ 94.
P (T ≥ 5) = 1 − P (T ≤ 4) = 1 − binomcdf(n , 36
Dus minstens 94 keer gooien. (door de tabel bladeren kost wel even wat tijd)
D13 p = P (L > 7) = normalcdf(7,1099 ,8,1.3) ≈ 0, 779... en P (X = 5) = Ans5 ≈ 0,287.
OF: P (X = 5) = binompdf(5,Ans,5) ≈ 0,287.
D14 1 .
P (U = 100) = P (18 ogen) = P (666) = ( 61 )3 = 216
3 .
P (U = 15) = P (17 ogen) = P (665) =  23  ⋅ ( 61 )2 ⋅ 61 = 3 ⋅ ( 61 )3 = 216
 
6 .
P (U = 5) = P (16 ogen) = P (664) + P (655) =  23  ⋅ ( 61 )2 ⋅ 61 +  31  ⋅ 61 ⋅ ( 61 )2 = 6 ⋅ ( 61 )3 = 216
 
 
1 + 15 ⋅ 3 + 5 ⋅ 6 + 0 ⋅ ... = 175 ≈ 0,81 (€).
E (U ) = 100 ⋅ 216
216
216
216
De winstverwachting per spel is E (W ) = E (U ) − 1 ≈ −0,19 (€).
u
100
15
5
0
P (U = u )
1
216
3
216
6
216
…
Getal & ruimte vwo A deel 3
C. von Schwartzenberg
11 Kansverdelingen
11/12
D15a E (X ) = 6,35 en σ X ≈ 2,20 (1-Var Stats L1,L2).
D15b E (T ) = E (X ) + E (Y ) = 6,35 + 5,89 = 12,24.
σT =
2
(σ X )
+ (σY
)2
≈ 2,202 + 1,842 ≈ 2,
2,87.
87.
Gemengde opgaven 11. Kansverdelingen
G22a P (m m) = x ⋅ x − 1 > 0,3 (TABLE) ⇒ x = 7 ∨ x = 8 ∨ ... ∨ x = 30.
30
29
Dus er zijn minstens 17 meisjes in de klas van 30 leerlingen.
G22b P (m m j) = x ⋅ x − 1 ⋅ 30 − x (TABLE) ⇒ P (m m j) is maximaal 0,156 voor x = 20.
30
29
28
Deze kans is maximaal 0,156 als er 20 meisjes en 10 jongens in de klas zitten.
7
6
5
4
3
2
+ 1
6
5
4
3
2
1
G23a p = P (6) = 1 en P (A > 2) = 1 − P (A ≤ 2) = 1 − binomcdf(10, 1 ,2) ≈ 0,225.
6
6
G23b p = P (som > 9) = 6 (zie het rooster) en P (B ≥ 4) = 1 − P (B ≤ 3) = 1 − binomcdf(12, 6 ,3) ≈ 0,125.
36
36
G23c p = P (som ≤ 5) = P (som = 3 of som = 4 of som = 5) = P (1 1 1) + P (1 1 2) + P (1 1 3) + P (1 2 2)
3 1 3 3 1 3 3 1 3
3
3
10
3
1
= ( 1 )3 +  2
 ⋅ ( ) +  2  ⋅ ( 6 ) +  1  ⋅ ( 6 ) = 216 + 216 + 216 + 216 = 216 .
6
 
 
  6
10 ,2) ≈ 0, 937.
De gevraagde kans is P (C ≤ 2) = binomcdf(20, 216
8
7
6
5
4
3
2
9
8
7
6
5
4
3
10
9
8
7
6
5
4
11
10
9
8
7
6
5
G23d p = P (1) = 1 en P (D ≥ 3) = 1 − P (D ≤ 2) = 1 − binomcdf(n , 1 ,2) > 0, 95 (TABLE) ⇒ n ≥ 36.
6
6
Dus minstens 36 keer gooien.
G23e p = P (minstens één 6) = 11 (zie de grijze vakjes in het rooster) of 1 − P (geen 6) = 1 − P (6 6) = 1 − ( 5 )2 .
6
36
)3 ⋅ 11 ≈ 0,102.
P ( − − − +) = ( 25
36
36
G24a R = het aantal reizigers; P (R ≤ 1250) = binomcdf(1350, 0.92,1250) ≈ 0,802.
G24b P (R > 1250) = 1 − P (R ≤ 1250) = 1 − binomcdf(n , 0.92,1250) ≤ 0, 05 (TABLE) ⇒ n ≤ 1341.
Dus maximaal 1341 zitplaatsen verkopen. (het bladeren door de tabel is erg tijdrovend)
1
+ 1000 × 2 + 50 × 7 + 5 × 490 = 0, 98 (€).
10000
10000
10000
10000
E (W ) = E (U ) − 2,50 = 0,98
0, 98 − 2,50 = −1,52 (€).
G25a E (U ) = 5000 ×
u
5000
1000
50
5
0
P (U = u )
1
10000
2
10000
7
10000
490
10000
…
43
0
0,014
…
12
0
 9500 
 7 

G25b P (minstens één prijs) = 1 − P (geen prijs) = 1 − 
≈ 0,302.
 10000 
 7 


G25c  9500 
 14 

≈ 0,513
0, 513 ≠ 2 ⋅ 0,302.
P (minstens één prijs) = 1 − P (geen prijs) = 1 − 
 10000 
 14 


 9500  
 9500 

 n 
 7  



G25d P (minstens één prijs) = 1 − P (geen prijs) = 1 − 
> 2 ⋅ 1 − 
(TABLE) ⇒ n ≥ 19.
 10000 
 10000  
 n 

 7 





Dus Amalia moet minstens 19 loten kopen.
 20   60 
 3  ⋅  77 
 2 ⋅ 1 
 2   18 
G26a P (U = 1) = P ( + + −) =     ≈ 0,139 of P ( + + −) =     ≈ 0,139.
 80 
 20 
 
 80 
 3 
 
 20 
 3  ⋅  77 
3
 3   17 
G26b P (U = 43) = P ( + + + ) =     ≈ 0, 014 of P ( + + + ) =   ≈ 0, 014.
 80 
 80 
 3 
 20 
 
 
E (U ) ≈ 1 ⋅ 0,139 + 43 ⋅ 0, 014 ≈ 0, 74 ($) ⇒ E (W ) ≈ 0, 74 − 1 = −0,26 ($).
 2  ⋅  78 
 20 
 2   18 
2 
G26c P (U = 12) = P ( + +) =     ≈ 0, 060 of P ( + +) =   ≈ 0, 060.
 80 
 80 
 
 20 
 2 
 
E (U ) ≈ 12 ⋅ 0, 060 = 0, 72 ($) ⇒ E (W ) ≈ 0, 72 − 1 = −0,28 ($).
u
1
P (U = u ) 0,139
u
P (U = u ) 0,060
…
12
11
10
9
8
7
6