Transcript Kwantuminformatietheorie

Thesisonderwerpen 2014-2015
Quantum computing, quantum information & quantum
many body systems
Inhoudsopgave
1 ‘Quantum computing’ en kwantumalgoritmen aan de hand van dissipatie
1
2 Kwantumstatistiek
2
3 Geometrische optimalisatie van tensornetwerken
3
4 Variationele methoden voor excitaties in eendimensionale kwantumveeldeeltjessystemen
4
5 De S-matrix en effectieve veldentheorieën in 1 dimensie
5
6 Exotische kwantumfenomenen in isolatoren
6
7 Topologische orde en symmetrieën in tensor product toestanden
7
8 Kwantuminformatie voor de sterke kracht
8
9 Ijktheorieën en Elitzurs theorema
9
10 Real-time evolutie met tensornetwerken
10
11 Holografische geometrie en MERA
11
12 Performante code voor tensorcontracties
12
i
1
‘Quantum computing’ en kwantumalgoritmen aan de hand van
dissipatie
Promotor: Frank Verstraete
Info en begeleiding: Frank Verstraete
Eén van de meest dynamische onderzoeksgebieden in de fysica is het gebeid van kwantuminformatietheorie. Het bouwen van een kwantumcomputer is duidelijk één van de grootste uitdagingen in de
fysica van de volgende decennia, maar kwantuminformatietheorie leidt ook tot fundamenteel nieuwe
inzichten in de kwantummechanica. Een van de centrale concepten is het begrip van ‘entanglement’,
aangezien deze kwantumverstrengeling van belang blijkt te zijn in een hele brede waaier van kwantumveeldeeltjessystemen. Doel van deze thesisonderwerpen is om inzicht te bekomen in recente
ontwikkelingen op het gebied van kwantuminformatietheorie en bij te dragen aan het onderzoek die
plaats vindt in onze groep.
Heel recent is er een nieuw model voor ‘quantum computing’ ingevoerd, equivalent aan het standaardmodel, maar heel verschillend in implementatie. Het is gebaseerd op Markoviaanse evolutie
naar een evenwichtstoestand die het resultaat van de berekening encodeert (zie ‘Quantum computation, quantum state engineering, and quantum phase transitions driven by dissipation’, Frank Verstraete, Michael M. Wolf, J. Ignacio Cirac, Nature Physics 5, 633 - 636 (2009)). Dit formalisme suggereert een nieuwe manier om kwantumalgoritmen te creëren; de tijd nodig om zo’n algorithmen te
lopen is gerelateerd aan de ‘mixing time’ van de onderliggende stochastische processen.
Doelstelling van de thesis zou zijn om de ‘running time’ van zulke kwantumalgoritmen te bestuderen, en, in het beste geval, nieuw algoritmen voor kwantumcomputers te bekomen. Een alternatief
project zou kunnen zijn om een te bestuderen hoe sterk gecorreleerde kwantumveeldeeltjessystemen
kunnnen gesimuleerd worden op een kwantumcomputer. Er is een consensus in het gebied van de
kwantuminformatietheorie dat dit waarschijnlijk de belangrijkste toepassing wordt voor een kwantumcomputer, aangezien dit probleem van centraal belang is in diverse velden zoals kwantumchemie, de fysica van gecondenseerde materie en kwantumveldentheorie. Een systematische manier
om zulke algoritmen te creëren is recent gepubliceerd in Nature (‘Quantum Metropolis sampling’,
K. Temme, T. J. Osborne, K. G. Vollbrecht, D. Poulin, F. Verstraete, Nature 471, 87-90 (2011)) en deze thesis zou eruit bestaan uit te werken hoe men op deze manier vraagstukken in e.g. de kwantumchemie
of in kwantumveldentheorie kan oplossen. Meerbepaald is het een belangrijk open probleem hoe ijkveldentheoriën zoals kwantumchromodynamica (QCD) op die manier gesimuleerd zouden kunnen
worden.
2
Kwantumstatistiek
Promotor: Michaël Mariën en Frank Verstraete
Info en begeleiding: Frank Verstraete
Kwantummechanica is in essentie een statistische theorie die voorspelt met welke kans welke meetresultaten zullen bekomen worden gegeven een experimentele setup. In de laatste 20 jaar is het duidelijk
geworden dat kwantumcorrelaties aangewend kunnen worden voor informatietheoretische doeleinden die overstijgen wat mogelijk is in de klassieke wereld (kwantumcryptografie, kwantumcomputers,
. . .), en de statistische eigenschappen van alle mogelijke metingen speelt daarin natuurlijk een centrale rol.
Eén van de centrale vragen in de (klassieke) statistiek is het testen van hypothesen, het schatten
van parameters en het ontwikkelen van optimale testen om dit te kunnen doen; heel interessante ontwikkelingen op het gebied van asymptotische optimale testen waren e.g. ‘maximum likelyhood’, ‘local
asymptotic normality’, ‘asymptotic minimax’ theory, . . .. Het is maar heel recent dat men begonnen is
deze geavanceerde technieken toe te passen in de kwantuminformatie theorie. De grote moeilijkheid
is dat er in de de kwantummechanica veel extra vrijheidsgraden bijkomen waarover geoptimaliseerd
moet worden, namelijk de vrijheidsgraden gerelateerd aan de keuze van de basis waarin gemeten
wordt, wat een gevolg is van de niet-commutativiteit van kwantumoperatoren. Dit maakt het probleem veel intrigerender en interessanter dan het klassieke probleem. Er zijn dan ook nog een heel
aantal open vragen op dit gebied.
De doelstelling van de thesis zou zijn om 1) dieper inzicht te krijgen in de materie van kwantum
hypothese testen; 2) verder te werken op een specifieke test, de zogenaamde (kwantum) chi-kwadraat
test, die voor het eerst bestudeerd werd in de paper ‘Quantum Chi-Squared and Goodness of Fit Testing’, zie ook http://arxiv.org/pdf/1112.6343. Meerbepaald is het de bedoeling te werken op robuste
methoden om aan kwantum hypothese testen te doen en de heel uitvoerige literatuur daarover te
vertalen en veralgemenen naar het kwantumgeval.
3
Geometrische optimalisatie van tensornetwerken
Promotor: Frank Verstraete en Jutho Haegeman
Info en begeleiding: Boye Buyens en Jutho Haegeman
Kwantummechanische spinmodellen worden gevormd door roosters waarbij zich op elke roosterpositie een kwantummechanische spin (met mogelijke toestanden up of down) kunnen bevinden.
De interactie tussen de spins wordt beschreven door de Hamiltoniaan. Zo bijvoorbeeld vormt het
Heisenberg-model de kwantummechanische uitbreiding van het befaamde Ising-model. Dergelijke
systemen worden gebruikt als eenvoudige modellen voor magnetische vaste stoffen, en hebben ook
een groot belang in de kwantuminformatietheorie. Elke spin kan dan als een qubit (het kwantummechanische analogon van de klassieke bit) worden aanzien, en het spinrooster vormt een prototype
voor een kwantumcomputer. Verder zijn spinroosters ook relevant voor andere problemen in de fysica van vaste stoffen en gecondenseerde materie, en voor numerieke simulaties van veldentheorie
en elementaire deeltjesfysica.
Wanneer er N roostersites zijn, zijn er 2N mogelijke configuraties. De kwantummechanische toestand bestaat uit een superpositie van deze configuraties, en dus stijgt het aantal onbekenden exponentieel met het aantal roostersites. Het bepalen van de kwantummechanische grondtoestand is bijgevolg een complex probleem, waarvoor numerieke benaderingsmethoden moeten worden gebruikt.
Gestimuleerd door inzichten uit kwantuminformatietheorie, werden recent ontdekt dat interessante
toestanden van deze systemen efficiënt kunnen worden beschreven met een kleiner aantal parameters, met behulp van zogenaamde tensornetwerken. De bekendste voorbeelden zijn Matrix Product
States (MPS) voor 1-dimensionale en Projected Entangled Pair States (PEPS) voor 2-dimensionale
roostersystemen. De onderliggende reden is het bijzondere gedrag van de kwantummechanische verstrengeling in dergelijke systemen. Deze fascinerende grootheid speelt dus niet alleen een centrale rol
in de ontwikkeling van kwantumcomputers, maar ook bij het verstaan van het kwantummechanische
gedrag van materie in het algemeen.
Voor een gegeven tensornetwerkstructuur kan nu gezocht worden naar de beste benadering van
de grondtoestand van een systeem, door binnen de ruimte van alle mogelijke tensoren die parametercombinatie te vinden die de energie van het systeem minimaliseert. Hiervoor kunnen in principe bestaande optimalisatie-algoritmen zoals ’conjugate gradient’ of Newton’s methode worden toegepast.
De differentiaalmeetkundige structuur van tensornetwerktoestanden in de Hilbertruimte induceert
echter een soort gekromde geometrie in de parameterruimte via een plaatsafhankelijke metriek, en
het is gebleken dat het in de praktijk nuttig is om deze geometrie expliciet in rekening te nemen bij
het zoeken naar minima. Vooral bij kritische systemen, systemen die zich dus net op het punt van een
fasetransitie bevinden, is de zoektocht naar betere (snellere) optimalisatiemethoden welkom.
Dit onderwerp vormt dus een interessante mix tussen de concepten uit veeldeeltjeskwantummechanica, waarbij het kwantummechanische begrip verstrengeling centraal staat, en concepten uit de
differentiaalmeetkunde en de algemene relativiteit. In deze hoogdimensionele ruimte is er een natuurlijke metriek aanwezig, zodat vervolgens een Levi-Civita connectie kan worden berekend en parallel transport kan worden gedefinieerd. Deze grootheden laten dan toe de bestaande optimalisatiealgoritmen op een covariante manier te herformuleren. Anders dan in algemene relativiteit, is de
parameterruimte nu complex, zodat ook de theorie van complexe manifolds zal moeten worden bestudeerd. Verder kan er ook een krommingstensor worden gedefinieerd, zodat er kan gezocht worden
naar de fysische betekenis hiervan.
4
Variationele methoden voor excitaties in eendimensionale kwantumveeldeeltjessystemen
Promotor: Frank Verstraete en Jutho Haegeman
Info en begeleiding: Laurens Vanderstraeten
Probleemstelling
Het is algemeen bekend dat de kwantummechanische beschrijving van de natuur enkele zeer contraintuôrtieve elementen bevat, waarvan verstrengeling de meest opvallende is. Tot voor kort werd gedacht dat deze kwantumeffecten zich uitsluitend voordoen op microschaal en dat onze macroscopische wereld zich klassiek gedraagt. Deze visie werd doorbroken door experimenten met koude
atomen, waarbij uitgestrekte systemen worden gerealiseerd die uitgesproken kwantummechanisch
gedrag vertonen.
Ook op het vlak van de theoretische beschrijving van kwantumveeldeeltjessystemen hebben fysici
de voorbije decennia grote vooruitgang geboekt, vooral onder invloed van ideeën uit kwantuminformatietheorie. Hierbij staat het begrip verstrengeling centraal, omdat dit de oorzaak vormt van de
niet-klassieke correlaties in deze systemen. Door deze ontwikkelingen is de situatie ontstaan dat theorie en experiment elkaar wederzijds stimuleren om nieuwe, fascinerende (kwantum)fenomenen te
ontdekken.
Onze onderzoeksgroep focust zich op variationele methoden om kwantumveeldeeltjessystemen
te beschrijven. De theorie van verstrengeling leert immers dat deze systemen een zeer specifieke toestandsruimte zullen bezetten, hetgeen toelaat een efficiënte beschrijving te geven. Er wordt gebruikt
gemaakt van matrix product toestanden om de grondtoestand, de laagste geëxciteerde toestanden en
zelfs de tijdsevolutie van (on)eindige, eendimensionale roostersystemen te beschrijven. Bovendien
werd recent een veralgemening geformuleerd naar het continuüm, die een beschrijving van eendimensionale kwantumveldentheorieën mogelijk maakt. Deze systemen staan model voor experimenten met koude atomen die slechts in 1 richting kunnen bewegen of magnetische materialen met een
effectieve eendimensionale interactie.
Doelstelling
Dit thesisonderwerp focust op de beschrijving van de laagst gelegen geëxciteerde toestanden van eendimensionale roostersystemen en kwantumveldentheorieën. Leden van onze onderzoeksgroep hebben een nieuwe variationele ansatz ontwikkeld om deze excitaties op efficiënte wijze te onderzoeken,
zowel voor spinsystemen als voor veldentheorieën. De resultaten wijzen erop dat deze methode in
staat is om systematisch het excitatiespectrum van interessante en generieke kwantumsystemen te
onderzoeken. De student kan een bijdrage leveren aan deze onderzoekslijn door op zoek te gaan naar
gebonden toestanden en spectrale functies te berekenen, beide relevant met het oog op experimentele resultaten (bijv. neutron verstrooiing en koude atomen). Dit thesisonderwerp omvat typisch een
voorbereidende literatuurstudie, de uitwerking van een specifiek probleem, een implementatie en
de vergelijking en fysische interpretatie van de bekomen resultaten. Voor de implementatie kan de
student voortbouwen op bestaande Matlab-code.
5
De S-matrix en effectieve veldentheorieën in 1 dimensie
Promotor: Frank Verstraete en Jutho Haegeman
Info en begeleiding: Laurens Vanderstraeten
Probleemstelling
In de laatste honderd jaar zijn fysici erin geslaagd om de microscopische vergelijkingen op te stellen
die het gedrag van deeltjes op de kleinste schaal beschrijven. Wanneer men echter op basis van deze
microscopische beschrijving het gedrag van macroscopische systemen tracht te voorspellen, wordt
het aantal vrijheidsgraden al snel veel te groot om computationeel haalbaar te zijn. Daarom zijn fysici al snel genoodzaakt om een effectieve beschrijving in te voeren, een beschrijving die de microscopische details op een slimme manier uitmiddelt en de macroscopisch relevante vrijheidsgraden
´ de microscopische fluctuaties ten opzichte
overhoudt. Het idee hierachter is dat bij lage energieÃnn
van de uitgemiddelde waarden zich op macroscopische schaal toch niet zullen manifesteren.
De manier waarop zo’n effectieve theorie wordt opgesteld is geen eenvoudige opgave. Enerzijds
willen we hierbij zoveel mogelijk rekening houden met de onderliggende microscopische dynamica,
anderzijds willen we de theorie zo eenvoudig mogelijk maken. Omdat het eerste in realistische systemen meestal tot onoverkomelijke moeilijkheden leidt, wordt in de vastestoffysica vooral voor het
tweede gekozen: op basis van fenomenologische overwegingen en experimentele parameters wordt
een effectieve theorie opgesteld die het laag-energetische gedrag van realistische systemen beschrijft.
Deze werkwijze heeft het voordeel dat ze snel tot een adequate beschrijving leidt, maar levert in aan
voorspellende en verklarende kracht.
Doelstelling
In dit thesisonderwerp is het de bedoeling om, vertrekkende van een microscopische beschrijving
van de onderliggende dynamica, een effectieve laag-energetische theorie op te stellen van eendimensionale kwantumveeldeeltjessystemen. Hoewel deze systemen in principe een gigantisch grote toe´ enkel de grondtoestand en de laaggelegen
standsruimte kunnen bezetten, zullen bij lage energieÃnn
excitaties daarop van belang zijn. Een precieze beschrijving van deze grondtoestand, de laagste excitaties en de interacties tussen deze excitaties kan daarom toelaten om de relevante eigenschappen
van deze systemen te voorspellen.
In onze onderzoeksgroep hebben we een variationele methode ontwikkeld om laaggelegen excitaties boven de grondtoestand van macroscopische eendimensionale kwantumsystemen te karakteriseren als deeltjes-achtige lokale verstoringen van deze grondtoestand. Bovendien kunnen ook de
interacties tussen deze “deeltjes” worden berekend, die worden gekarakteriseerd door een verstrooiingsmatrix of S-matrix.
´
Het doel van dit thesisonderwerp is om met deze ingrediÃnnten
een effectieve theorie op te stellen voor eendimensionale kwantumsystemen. Bestaande technieken, gebaseerd op bijv. integreerbaarheid of bosonizatie, kunnen hiervoor gecombineerd worden. Het einddoel is de voorspelling van
relevante thermodynamische eigenschappen en/of experimentele observabelen van realistische eendimensionale systemen zoals magnetische materialen, koude atomen, nanotubes,. . .
6
Exotische kwantumfenomenen in isolatoren
Promotor: Frank Verstraete
Info en begeleiding: Jutho Haegeman, Karel Van Acoleyen
Probleemstelling
Kwantummechanische veeldeeltjessystemen behoren tot de moeilijkste vraagstukken in de hedendaagse fysica, omdat de dimensie van de problemen die moeten worden opgelost exponentieel toeneemt in het aantal deeltjes. De eenvoudigste benadering is om alle kwantumcorrelaties tussen de
deeltjes te verwaarlozen. Deze ruwe benadering leidt desalniettemin tot het vrij succesvolle beeld
van de bandentheorie van geleiders en isolatoren. De elektronen in een kristal worden benaderd als
vrije niet-interagerende deeltjes. De enige kwantumeigenschap die wordt gebruikt is het Pauli principe, omdat het fermionen zijn: twee elektronen kunnen zich niet in dezelfde toestand bevinden. Het
complexe veeldeeltjesvraagstuk wordt dan herleid tot het bepalen van Ãl’Ãl’ndeeltjesniveaus, die zich
organiseren in banden. Is een band volledig gevuld, dan is er een minimale energie nodig om de elektronen in het systeem te exciteren en hebben we een isolator (of halfgeleider als de energiekloof klein
is). Is een band slechts half gevuld, dan beschikken we over een geleider.
De benadering van elektronen als vrije deeltjes gaat zeker niet altijd op. Door interacties in rekening te brengen is het mogelijk dat sommige materialen, die volgens de bandentheorie een geleider
moeten zijn, toch geen stroom geleiden en dus een isolator zijn. Men spreekt in dit geval van een
Mott isolator. Verder bestaan er ook exotische fases in kwantumsystemen die geen klassiek analogon hebben. In deze systemen hangt bijvoorbeeld het aantal grondtoestanden af van de topologie
van de onderliggende ruimte, en men spreekt daarom over topologisch geordende toestanden. Zo
bestaan er ook topologische isolatoren, die zich in de bulk gedragen als een gewone band isolator
(volledig gevulde band), maar waarbij topologische effecten een delicate rol spelen. Deze zorgen er
voor dat er zich op de rand van zulke systemen wel energieloze excitaties kunnen voordoen en het
materiaal dus oppervlaktestromen kan hebben. Bovendien zijn deze energieloze excitaties topologisch beschermd en kunnen deze niet worden verstoord door extra interacties of onzuiverheden toe
te voegen aan het materiaal. Andere merkwaardige fenomenen in deze context zijn de zogenaamde
anyonen, quasi-deeltjes die een andere statistiek vertonenen dan de boson-of fermionstatistiek. Dit
is heel mooie fysica vanuit formeel theoretisch oogpunt, met nieuwe concepten als de vermelde anyonen maar bvb. ook nog de bulk-rand correspondentie. Maar het fantastische is dat hoewel zulke
systemen eerst theoretisch werden bedacht, ze ondertussen ook experimenteel worden vastgesteld in
bepaalde materialen.
Doelstelling
Het is in deze thesis de bedoeling deze verschillende soorten isolatoren verder te onderzoeken en te
vergelijken en de theoretische achtergrond hierbij beter te begrijpen. Het is ook de bedoeling om uit
te zoeken in welke materialen deze meer exotische types isolatoren experimenteel gerealiseerd worden en welke toepassingen ze hebben. En er zal ook worden getracht de zogenaamde topologische
isolatoren te simuleren met behulp van de tensor netwerk technieken die in onze groep worden ontwikkeld.
7
Topologische orde en symmetrieën in tensor product toestanden
Promotor: Frank Verstraete
Info en begeleiding: Nick Bultinck en Michaël Mariën
Lange tijd werd aangenomen dat alle ordes, fasen en bijbehorende transities van fysische systemen
geclassificeerd en beschreven werden door de theorie van Landau over symmetriebreking. Een lokale
ordeparameter kan meten welke symmetrieën in een bepaalde fase gerespecteerd worden, en welke
gebroken worden, en op die manier verschillende fasen onderscheiden. In 1987 werd dit paradigma
doorbroken door de experimentele ontdekking van spin liquids. Bij kwantummechanische systemen
op heel lage temperatuur blijken fysische fases te bestaan die niet te onderscheiden zijn met behulp
van lokale ordeparameters. Dit gaf aanleiding tot de introductie van een nieuw soort fasen die gekenmerkt zijn door een globale orde in de kwantumverstrengeling, genaamd topologische orde.
Recent werden de grondtoestanden van lokale, niet kritische, roostermodellen in één dimensie
geclassificeerd met behulp van matrix product toestanden (MPS). Er blijkt geen echte topologische
orde te bestaan in één dimensie, enkel topologische orde die beschermd wordt door een symmetrie. Deze classificatie maakt gebruik van heel wat eigenschappen van de matrix product toestanden
en bijhorende Hamiltonianen. Omdat deze resultaten niet beschikbaar zijn voor hogere dimensies,
waar ook normale topologische orde zonder symmetrie aanwezig is, zijn er voor deze systemen enkel
specifieke, partiële resultaten gekend.
De bedoeling van deze thesis zou zijn om te kijken in welke mate de gebruikte methoden en resultaten veralgemeend kunnen worden. In meerdere dimensies kan hiervoor gebruik gemaakt worden
van het formalisme van de projected entangled pair states (PEPS), een veralgemening van de matrix
product toestanden. Voor continue systemen lijken de continue matrix product toestanden (cMPS)
een goede kandidaat, al is hierover nog niet veel gekend.
8
Kwantuminformatie voor de sterke kracht
Promotor: Karel Van Acoleyen
Info en begeleiding: Boye Buyens en Karel Van Acoleyen
Ijktheorieën hebben een prominente plaats in de Natuur, op de eerste plaats als beschrijving van
de vier fundamentele krachten. Om de implicaties van deze theorieën te begrijpen kan men in vele
gevallen vertrouwen op perturbatietheorie op basis van Feynmandiagrammen, met hieruit dan bijvoorbeeld de ongelofelijke precisievoorspellingen voor fenomenen uit de quantumelectrodynamica.
Echter, bij sterke interacties faalt deze benadering totaal en heeft men dus andere technieken nodig. Dit is het meest relevant voor quantumchromodynamica (QCD), de theorie van de sterke kracht,
waarvan al de laag-energetische eigenschappen zoals bvb. de massa’s van de verschillende hadronen
essentieel niet-perturbatief zijn.
In de laatste 10 jaar kwam er vanuit de kwantuminformatietheorie een radicaal¢anieuwe kijk op
sterk-interagerende veeldeeltjessystemen. Essentieel hierbij was het inzicht dat van de exponentieel
grote Hilbertruimte slechts een klein stukje relevant is voor de fysica bij lage energie. Dit kleine stukje
Hilbertruimte kan dan beschreven worden met zogenaamde tensornetwerken (zie figuur). Het grote
voordeel van tensornetwerken is dat ze kunnen toegepast worden in een Hamiltoniaans variationele
setting, waarbij het dus mogelijk wordt om real-time processen te beschrijven. In de context van QCD
hebben we het hier dan bijvoorbeeld over de vorming van de zogenaamde ‘fireball’ bij heavy-ion collisions.
Het doel van deze thesis is van verder te onderzoeken wat tensornetwerken kunnen betekenen
voor de simulatie van ijktheorieën. Dit onderwerp bevat zowel een formele als numerieke component.
Formeel willen we beter begrijpen wat de lokale symmetrie, die specifiek is voor ijktheorieën, betekent
voor tensornetwerken. Het inzicht hierin zal helpen bij de numerieke component, waarbij een Matlab
simulatie van het Schwinger model verder wordt uitgewerkt. Het Schwinger model is een ‘baby-versie’
van QCD, maar is ook interessant op zich aangezien het in de nabije toekomst met behulp van optische
roosters experimenteel zal gerealiseerd worden.
9
Ijktheorieën en Elitzurs theorema
Promotor: Karel Van Acoleyen
Info en begeleiding: Karel Van Acoleyen, en Boye Buyens
Ijktheorieën zijn zeer fundamenteel in de fysica. Ten eerste kunnen veel systemen in de vastestoffysica beschreven worden door ijktheorieën. Ten tweede liggen ze aan de basis van het standaardmodel, het model van de deeltjesfysica dat alle krachten uitgezonderd de zwaartekracht beschrijft. Het
standaardmodel wordt gemodelleerd door Yang-Mills-ijktheorieën.
Daarnaast hebben we ook het fenomeen van spontane symmetriebreking: het niet invariant zijn van
de grondtoestand onder de symmetrietransformatie. Ijksymmetrieën kunnen echter niet spontaan
gebroken worden, dit is de inhoud van Elitzurs theorema. Echter, het Higgs-mechanisme, zeer fundamenteel voor het standaardmodel, is het spontaan breken van de lokale SU (N )-symmetrie. Een
contradictie? Neen, om het Higgs-mechanisme te laten gebeuren, wordt de lokale symmetrie geijkt
en het is de residuele Z N symmetrie, die niet kan weggeijkt worden, die spontaan breekt.
De bedoeling van deze thesis is om eerst een studie van matrix product states (MPS) te doen omdat
deze ons in staat stellen de grondtoestand van een Hamiltoniaans systeem te benaderen. Daarnaast
is het ook de bedoeling dat de student de argumenten van Elitzur controleert (korte literatuurstudie).
Daarna kan een specifieke ijktheorie gekozen worden en is het de bedoeling om Elitzurs theorema numeriek te verfiëren voor dit model. Indien er nog tijd over is, kan nagegaan worden hoe een manifest
ijkinvariante implementie kan gedaan worden en de voordelen hiervan, die er zeker zijn, bespreken.
Bij de ontwikkeling van de code kan verder worden gebouwd op een bestaande codebase in Matlab,
een taal die zich uitermate leent voor numerieke berekeningen op matrices en hogere orde tensoren.
10
Real-time evolutie met tensornetwerken
Promotor: Karel Van Acoleyen
Info en begeleiding: Karel Van Acoleyen, Boye Buyens en Matthias Bal
Tensornetwerken zijn een goede ansatz om de laag-energetische fysica van systemen te bestuderen
op een rooster. Ze werden al succesvol gebruikt voor het bepalen van de laagste one-particle excitaties van verschillende modellen. Omdat ze geformuleerd zijn in een Hamiltoniaans framework lenen
ze zich ook uitermate om real-time evolutie te bestuderen. Voor matrix product states (MPS) zijn er
al twee methoden, TDVP (Time-Dependent Variational Principle) en iTEBD (infinite Time-Evolving
Block Decimation), die de tijdsevolutie uitvoeren zodanig dat de tensornetwerkstructuur behouden
blijft. In onze onderzoeksgroep wordt er sinds kort ook onderzoek gedaan naar de toepassing op een
ander tensornetwerk: MERA (Multiscale Entanglement Renormalization Ansatz).
Dit onderzoeksgebied heeft nog een hoop uitdagingen. Het is bijvoorbeeld geweten dat wanneer een
toestand thermalizeert de entropie lineair stijgt. Het is net dit gedrag dat de tensornetwerken moeilijk
kunnen beschrijven (we mogen zelfs stellen dat met de huidige software en hardware het niet mogelijk is dit voor lange tijd te doen). Desalniettemin wordt er voortdurend onderzoek gedaan om deze
technieken te optimalizeren.
Het doel van deze thesis is om eerst de tensornetwerken te bestuderen (in het bijzonder: MPS of
MERA). Vervolgens kan de student dan de grondtoestand van een Hamiltoniaans systeem benaderen
met één van deze tensornetwerken. Daarna is het de bedoeling, het hoofddoel van deze thesis, dat
de student een perturbatie aanlegt en real-time evolutie doet en tracht de fysica te begrijpen tijdens
dit proces. Bij de ontwikkeling van de code kan verder worden gebouwd op een bestaande codebase
in Matlab (voor MPS) of in Julia (voor MERA), twee talen die zich uitermate lenen voor numerieke
berekeningen op matrices en hogere orde tensoren.
11
Holografische geometrie en MERA
Promotor: Frank Verstraete
Info en begeleiding: Matthias Bal , Jutho Haegeman en Karel Van Acoleyen
In de laatste twee decennia is gebleken hoe de kruisbestuiving tussen kwantuminformatietheorie,
vastestoffysica en renormalizatiegroepstheorie geleid heeft tot de ontwikkeling van tensor network
states. Deze toestanden bieden een nieuw theoretisch en numeriek perspectief op kwantumveeldeeltjessystemen waarbij het concept van entanglement centraal staat. In tegenstelling tot matrix product
states (MPS) en projected entangled pair states (PEPS) heeft de multi-scale entanglement renormalization ansatz (MERA) een expliciete holografische dimensie die geïnterpreteerd kan worden als een
renormalizatiegroepsschaal.
In 2009 suggereerde Swingle voor het eerst dat de geometrische structuur van een MERA tensor
netwerk kwalitatief gerelateerd kan worden aan Maldacena’s befaamde AdS/CFT-correspondentie,
waar een theorie die leeft op de rand van een ruimtetijd volledig duaal is aan een hoger-dimensionale
theorie in de bulk. Vanuit verschillende takken van de theoretische fysica is de belangstelling voor
de relatie tussen MERA en AdS/CFT alleen maar toegenomen, nu zelfs Maldacena de taal van tensor
networks states gebruikt om te werken aan een kwantitatieve interpretatie van het verband tussen
entanglement en geometrie.
De bedoeling van deze thesis is om de holografische interpretatie van MERA te bestuderen. Bovenop een literatuurstudie en een theoretische benadering biedt dit onderwerp ook de mogelijkheid
zelf numerieke simulaties te implementeren om gekende implicaties van de correspondentie na te
gaan en nieuwe te ontdekken.
12
Performante code voor tensorcontracties
Promotor: Frank Verstraete, Jutho Haegeman
Info en begeleiding: Jutho Haegeman
Probleemstelling
Het gebruik van matrixbewerkingen en technieken uit de lineare algebra is steeds dominant aanwezig geweest in allerhande ingenieurstoepassingen en in verschillende domeinen van de fysica en de
numerieke wiskunde. In computeralgoritmes en simulaties wordt hiervoor nagenoeg altijd gebruik
gemaakt van één of andere versie van BLAS, de Basic Linear Algebra Subroutines bibliotheek. Deze bibliotheek bevat hoog performante implementaties van een aantal vaak voorkomende bewerkingen,
waarbij in het bijzonder de vermenigvuldiging van twee matrices (general matrix multiplication of
gemm). Er bestaan verschillende BLAS implementaties, zoals de processorspecifieke versies van Intel
(MKL) of AMD (ACML), of open source versies zoals ATLAS of OpenBlas. Deze codes zijn zo geoptimaliseerd om voor verschillende matrixgroottes op optimale manier gebruik te maken van het level
1, 2 en 3 cache geheugen, door de matrices en de bewerkingen op gepaste manieren op te delen in
blokken. Bovendien wordt maximale efficiëntie bekomen door gebruik te maken van verschillende
niveaus van parallelisatie, met in het bijzonder het gebruik van SIMD instructies en multithreading
met behulp van OpenMP. Recent is ook het gebruik van hogere orde tensoren, objecten met meerdere
indices of meerdere dimensies, aan een sterke opmars bezig in bovengenoemde vakgebieden. Er zijn
allerhande toepassingen van tensorgebaseere algoritmes in signaalanalyse, oplossingen van partiële
differentiaalvergelijkingen en ook bepaalde gebieden van de fysica en de chemie (in het bijzonder
in de wereld van kwantummechanische veeldeeltjessystemen). Er zijn echter nog geen gevestigde
hoog performante codes beschikbaar voor bijvoorbeeld een veelvoorkomende bewerking zoals een
tensorcontractie. Deze operatie veralgemeent het matrix matrix product naar arbitraire tensoren. Bij
een contractie tussen twee tensoren worden een aantal indices van de eerste tensor gecontraheerd
met bijbehorende indices van de tweede tensor, wat een nieuwe tensor oplevert waarvan de indices
overeenkomen met de niet-gecontraheerde indices van de originele tensoren. Momenteel wordt deze
bewerking herleidt tot een matrixvermenigvuldiging (uitgevoerd m.b.v. BLAS) door de tensorelementen op gepaste wijze te permuteren. Dit brengt echter een heel grote overhead mee, zowel op vlak van
geheugengebruik als van rekentijd.
Doelstelling
Het is de bedoeling om in deze thesis een performante code te ontwikkelen die twee tensoren contraheert zonder geheugenoverhead. Dit is een heel uitdagende opdracht omdat de optimale contractiemanier sterk zal afhangen van welke indices van de tensoren gecontraheerd worden en welke zullen
openblijven. De taal bij uitstek voor dergelijke low-level functionaliteit is C (inspiratie kan worden gehaald bij BLIS, de BLAS-like Library Instantiation Software geschreven in ISO C99) of mogelijks Julia.
Deze laatste is een nieuwe open source programmeertaal voor technical computing, ontwikkeld aan
MIT, die enkele moderne programmeerconcepten combineert en zo toelaat om op een hoog niveau
(gelijkaardig aan Matlab) toch de efficiëntie van een low-level taal zoals C te evenaren.