Transcript Reeksen en Machtreeksen

Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-0
Reeksen en Machtreeksen
Inhoud
4.1 Rijen
∀ε > 0 : ∃n0 : ∀n ≥ n0 : |an − L| < ε.
Frequent voorkomende rijen:
2. Reeksen
• a1, a1 + v, a1 + 2v, . . . , a1 + (n − 1)v, . . .
is een rekenkundige rij met verschil v .
• Definities en kenmerken
• Reeksen met niet-negatieve termen
• Reeksen met positieve en negatieve termen
3. Machtreeksen
• a0, a0r, a0r2, . . . , a0rn, . . .
•
•
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen
• Herhaling: Rij (an) convergeert naar L indien
1. Rijen
is een meetkundige rij met rede r .
1, 12 , 13 , . . . , n1 , . . .
is de harmonische rij.
1, 21p , 31p , . . . , n1p , . . .
is de hyperharmonische rij.
Reeksen en Machtreeksen
4-2
Convergentie van een reeks
Zij (ak ) een rij van reele
¨ (of complexe) getallen. Dan is
∞
X
ak
k=1
een oneindige reeks of kortweg reeks.
• Sommatie-index k kan ook bij 0 beginnen, of bij eender welk geheel getal.
• De som
s n = a1 + a2 + · · · + a n =
n
X
ak
k=1
van de eerste n getallen van de rij (ak ) is de n-de
partieelsom van de reeks.
• De partieelsommen s1, s2, s3, . . . , sn, . . . vormen
een rij (sn).
Als de rij (sn ) convergeert met limiet s, dan is de reeks
convergent en
∞
X
ak = lim
n→∞
n
X
ak = s.
k=1
k=1
Anders is de reeks divergent.
• Convergentie van een rij, toegepast op de rij van
partieelsommen (sn):
X
n
∀ε > 0 : ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 : ak − s < ε
k=1
• Equivalent:
X
∞
∀ε > 0 : ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 : ak < ε
k=n+1 Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-4
Rekenregels voor convergente reeksen
∞
X
cak = c
k=1
∞
X
(ak + bk ) =
k=1
∞
X
k=1
•
∞
P
k=1
∞
P
(ak − bk ) =
∞
X
ak +
k=1
Product van convergente reeksen
ak −
• Er is geen rekenregel voor het product van twee convergente reeksen
ak
k=1
∞
X
k=1
∞
X
∞
X
k=1
∞
X


bk
∞
X
k=1

ak  
∞
X
k=1

bk 
= lim (a1 + · · · + an)(b1 + · · · + bn)
n→∞
is NIET GELIJK aan
∞
X
bk
ak b k
k=1
k=1
(ak + bk ) is de som van de twee reeksen
ak en
k=1
∞
P
= lim (a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)
n→∞
bk .
k=1
Reeksen en Machtreeksen
Nodige voorwaarde voor convergentie
Indien de reeks
∞
X
ak convergent is, dan
k=1
lim an = 0,
n→∞
maar het omgekeerde geldt niet.
• Als de reeks convergent is, dan convergeert de rij
(sn) van partieelsommen.
• De rij (sn−1) convergeert ook met dezelfde limiet.
• Omdat an = sn − sn−1 geldt vanwege rekenregels
voor limieten van rijen
lim an = lim sn − lim sn−1 = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
Reeksen en Machtreeksen
4-6
Harmonische reeks
∞
P
1
k is de harmonische reeks.
k=1
• De termen k1 van de reeks vormen een rij die naar 0
convergeert, maar... de harmonische reeks is diver-
gent.
• De partieelsommen worden willekeurig groot:
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1+ + + + + + + + + · · · + + · · ·
2 |3 {z 4} |5 6 {z 7 8} |9
{z 16}
> 12
> 12
> 12
1 1 1 1
• Dus sn > 1 + + + + + · · ·
2 2 2 2
∞
X
1
• de harmonische reeks
is divergent!
k
k=1
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-8
Meetkundige reeks
De meetkundige reeks
∞
X
k=0
en divergeert als |z| ≥ 1.
Meetkundige reeks voor |z| < 1
z k convergeert als |z| < 1
• Wat gebeurt er als |z| < 1? De termen van de
reeks gaan dan naar nul, maar daaruit mogen we
NIET concluderen dat de reeks convergent is.
• Bereken de partieelsom
• De termen van de reeks zijn z k . Er geldt
sn = 1+ z+ z 2+ · · · + z n
zsn =
z+ z 2+ · · · + z n +z n+1
sn − zsn = 1+ 0+ 0+ · · · + 0 −z n+1 = 1 − z n+1
lim z k = 0 als en slechts als |z| < 1.
k→∞
• Als |z| ≥ 1 dan gaan de termen van de reeks niet
naar nul, en dan zal de reeks divergeren.
• Dus sn(1 − z) = 1 − z n+1 oftewel
sn =
1 − z n+1
1−z
als z
6= 1.
• Als n → ∞ en |z| < 1, dan z n+1 → 0, zodat
1
lim sn =
.
n→∞
1−z
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-10
Meetkundige reeks (conclusie)
∞
X
De meetkundige reeks
zk
k=0
• Partieelsommen zijn exact uit te rekenen
n
X
1 − z n+1
sn =
zk =
als z 6= 1.
1−z
k=0
• Meetkundige reeks is convergent als |z| < 1 en de
som van de reeks is
∞
X
k
z =
k=0
1
1−z
als |z|
< 1.
• Meetkundige reeks is divergent als |z| ≥ 1.
• Geldig voor reele
¨ z maar ook voor complexe z .
Reeksen met niet-negatieve termen
• Als alle ak reeel
¨ en ≥ 0 zijn, dan vormen de parn
P
tieelsommen sn =
ak een stijgende rij. Dan
k=1
zijn er twee mogelijkheden
∗ De rij (sn) is niet naar boven begrensd. Dan
lim sn = +∞ en de reeks divergeert naar
n→∞
oneindig.
∗ De rij (sn) is naar boven begrensd. Dan bestaat
lim sn = s ∈ R en de reeks is convergent.
n→∞
Indien de rij (ak ) bestaat uit niet-negatieve reele
¨ getallen
∞
P
dan convergeert de reeks
ak als en slechts als de
k=1
rij van de partieelsommen naar boven begrensd is.
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-12
sn
Vergelijkingstest
STELLING 4.4 Neem aan dat
s
(ak ) en (bk ) twee niet-
negatieve rijen zijn waarvoor geldt
→ ∞.
∞
∞
X
X
Indien
bk convergent is, dan is
ak eveneens
ak = O(bk )
s3
s2
s1
als k
k=1
convergent.
k=1
Herinner u:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
ak = O(bk )
betekent dat er een M ≥ 0 en een k0 ∈ N is met
|ak | ≤ M |bk |
Grafische voorstelling van de partieelsommen van een
convergerende reeks met enkel niet-negatieve termen
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-14
Bewijs:
• Er geldt ak ≤ M bk als k ≥ k0. Dus als n ≥ k0,
sn =
n
X
ak =
k=1
≤
≤
•
kP
0 −1
k=1
ak + M
∞
P
kX
0−1
k=1
kX
0−1
k=1
kX
0−1
ak +
ak +
n
X
k=k0
n
X
ak
M bk
k=k0
∞
X
ak + M
k=1
k=1
bk is een vast reeel
¨ getal en alle partieel-
k=1
sommen sn blijven onder dit getal.
• Omdat de termen van de reeks niet-negatief zijn,
∞
P
volgt hieruit dat de reeks
ak convergeert.
k=1
∞
P
1 convergent?
Is
k2
k=1
Bekijk eerst
∞
P
1 .
k(k+1)
≥ k0 .
k=1
1 . Dus partieelsom
1
• Merk op k(k+1)
= k1 − k+1
1
k k+1
k=1
1
1 1
1
1
1
1
= 1−
+
−
+ ···+
−
+
−
2
2 3
n−1 n
n n+1
1
= 1−
(telescoopsom)
n+1
sn =
bk
voor alle k
n X
1
−
• Duidelijk is lim sn = 1.
n→∞
• Bijgevolg is
∞
P
k=1
1
convergent.
k(k+1)
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-16
∞
P
1 convergent?
Is
k2
k=1
Vergelijk met
∞
P
1 .
k(k+1)
Limiet-vergelijkingstest
a
• Neem aan dat de limiet lim b k bestaat.
k→∞ k
ak
• Dan is de rij ( b ) zeker naar boven begrensd, zeg
k
ak
≤
M
voor
elke
k.
b
k=1
1 .
• Stel ak = k12 en bk = k(k+1)
k
• Er geldt ak = O(bk ) als k → ∞.
∞
∞
P
P
• Omdat
bk convergeert, convergeert ook
ak .
k=0
k=0
• Dan volgt ak ≤ M bk en dus ak = O(bk ).
STELLING Neem aan dat (ak ) en (bk ) twee niet-negatieve
rijen zijn waarvoor geldt
ak
= L < ∞.
k→∞ bk
∞
X
lim
Indien
∞
X
bk convergent is, dan is
k=1
convergent.
Reeksen en Machtreeksen
Vergelijkingstest
Limiet-vergelijkingstest
STELLING 4.5 Neem aan dat (ak ) en
negatieve rijen zijn waarvoor geldt
Als
∞
X
als k →
∞
X
bk divergent is, dan is
k=1
k=1
Reeksen en Machtreeksen
4-18
bk = O(ak )
ak eveneens
(bk ) twee niet-
Indien (ak ) en (bk ) twee rijen van niet-negatieve getallen
zijn waarvoor geldt dat
∞.
ak
=L
(∗)
k→+∞ bk
bestaat en 0 < L < +∞, dan is
∞
∞
X
X
ak is convergent ⇐⇒
bk is convergent.
ak ook divergent.
k=1
Bewijs:
• Dit is in feite dezelfde stelling als de voorgaande.
• Het bewijs volgt eenvoudig uit het ongerijmde.
∞
P
• Als de reeks
ak convergent zou zijn, dan konden
k=1
we de vorige stelling toepassen, en dan zou er volgen
∞
P
dat de reeks
bk convergent is.
k=1
lim
k=1
k=1
Uit (*) volgt namelijk zowel
ak = O(bk ) als bk = O(ak ).
Reeksen en Machtreeksen
'
De reeks
&
∞
X
k=1
k2
k3 + 1
Reeksen en Machtreeksen
4-20
$
is divergent
• Vergelijk met harmonische reeks
∞
P
k=1
k 2 en
3
k +1
1
k.
%
• Neem ak =
bk = k1 .
• Dan
ak
k3
k2
·k = 3
.
= 3
bk k + 1
k +1
• Er geldt
a
lim k = 1.
k→∞ bk
• Omdat de harmonische reeks divergent is, volgt dat
∞
X
k2
de reeks
ook divergeert.
k3 + 1
Verhoudingstest (test van D’Alembert)
STELLING 4.6 Neem aan dat ak
> 0.
∗ Indien k0 ∈ N en r < 1 bestaan met
a
∀k ≥ k0 : k+1 ≤ r
(∗)
ak
∞
X
dan is de reeks
ak convergent.
k=1
∗ Indien k0 ∈ N bestaat met
a
∀k ≥ k0 : k+1 ≥ 1
ak
dan is de reeks divergent.
(∗∗)
k=1
Reeksen en Machtreeksen
Bewijs van tweede deel
Neem aan
a
∀k ≥ k0 : k+1 ≥ 1
ak
Reeksen en Machtreeksen
4-22
Bewijs van eerst deel
(∗∗)
• Het tweede gedeelte van de stelling is eenvoudig.
• Als (∗∗) geldt, dan is de rij (ak ) stijgend vanaf index
k = k0 en ze zal dan zeker niet naar 0 convergeren.
• Omdat de termen van de reeks niet naar 0 gaan, is
de reeks divergent.
Neem aan dat voor k
ak+1
≥ k0 geldt
≤r<1
(∗)
ak
• De ongelijkheid (∗) kunnen we ook schrijven als
ak+1 ak
≤ .
rk+1 rk
a
• De rij ( kk ) is bijgevolg dalend vanaf k = k0 en
•
•
•
r
daarom zeker naar boven begrensd.
Dit betekent dat ak = O(r k ) voor k → ∞.
∞
P
Meetkundige reeks
rk convergeert want r < 1.
k=1
∞
P
Uit de vergelijkingstest volgt dat
ak ook converk=1
gent is.
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-24
Gevolg
Als ak
Bewijs voor L < 1
> 0 en de limiet
a
lim k+1 = L
k→∞ ak
bestaat, dan geldt voor de reeks
Als ak
(∗)
∞
P
ak
k=1
• L < 1 =⇒ de reeks is convergent,
• L > 1 =⇒ de reeks is divergent,
> 0 en de limiet
a
lim k+1 = L
k→∞ ak
(∗)
bestaat, dan geldt
• L < 1 =⇒ de reeks is convergent,
• Als L < 1 dan nemen we r ∈ ]L, 1[.
• L = 1 =⇒ geen uitspraak.
• Uit (∗) volgt dat voor k groot genoeg zeker geldt dat
ak+1
≤ r.
ak
• Uit de verhoudingstest volgt dat de reeks convergeert.
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-24
Bewijs voor L > 1
Als ak
> 0 en de limiet
a
lim k+1 = L
k→∞ ak
(∗)
L = 1
Als ak > 0 en de limiet
a
lim k+1 = L
k→∞ ak
(∗)
bestaat, dan geldt
bestaat, dan geldt
• L > 1 =⇒ de reeks is divergent,
• L = 1 =⇒ geen uitspraak.
• Als L > 1 dan volgt uit (∗) dat voor k groot genoeg
• Twee voorbeelden
∞
P
1 is convergent en a = 1 voldoet
• De reeks
k
k2
k2
k=1
aan (∗) met L = 1.
∞
P
1
1
• De reeks
k is divergent en ak = k voldoet aan
zeker geldt dat
ak+1
≥ 1.
ak
• Uit de verhoudingstest volgt dan dat de reeks divergent is.
k=1
(∗) met L = 1.
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-25
∞
X
k
De reeks
is convergent:
3k
Voorbeeld:
k=1
k
• Als ak = k dan geldt
3
ak+1 k + 1 3k k + 1
= k+1
=
ak
k
3k
3
• Bijgevolg is
k+1 1
ak+1
= lim
=
3
k→+∞ 3k
k→+∞ ak
lim
∞
X
1
k
• Omdat < 1 is de reeks
is convergent
3
3k
k=1
Wortelkenmerk (test van Cauchy)
≥ 0 en
√
L = lim sup k ak .
STELLING 4.8 Neem aan dat ak
k→∞
∞
P
ak convergeert
∗ L < 1 =⇒ de reeks
k=1
∞
P
∗ L > 1 =⇒ de reeks
ak divergeert
k=1
∗ L = 1 =⇒ geen uitspraak
Geval L > 1
Neem aan
√
k a > 1.
k
k→∞
√
• Omdat L > 1 geldt dat k ak > 1 voor oneindig
veel k .
L = lim sup
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-27
• Dus ak > 1 voor oneindig veel k en dan kan de
rij (ak ) niet naar nul convergeren. De reeks is dan
divergent.
Geval L < 1
Neem aan
Geval L = 1
• Bedenk zelf twee voorbeelden.
L = lim sup
k→∞
√
k a < 1.
k
• Kies r ∈ ]L, 1[.
√
• Omdat L = lim sup k ak < r is er een k0 zodanig
dat voor elke k ≥ k0 geldt
√
k a < r.
k
• Dit betekent ak < rk als k ≥ k0, zodat
ak = O(r k ) als k → ∞.
• Uit de vergelijkingstest volgt dat de reeks convergeert.
• Geef een voorbeeld van een convergente reeks
∞
P
√
ak met lim sup k ak = 1.
k=1
• Geef ook een voorbeeld van een divergente reeks
∞
P
√
ak met lim sup k ak = 1.
k=1
• U mag gebruiken dat
lim
k→∞
√
k
k = 1.
Reeksen en Machtreeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-29
Reeksen met positieve en negatieve termen
De reeks
reeks
∞
X
ak is absoluut convergent indien de
STELLING 4.9: Een absoluut convergente reeks is convergent.
• Neem aan dat
reeel
¨ zijn.
k=1
∞
X
k=1
|ak |
k=1
∞
∞
P
P
en
a+
a−
k
k ook.
voorgaande stellingen.
• De getallen ak mogen ook complex zijn.
k=1
• Dan is ook
Reeksen en Machtreeksen
Absoluut convergente reeks is convergent
• Stelling is bewezen als de termen reeel
¨ zijn.
• Voor complexe ak geldt
|Re ak | ≤ |ak | en |Im ak | ≤ |ak |.
∞
P
• Als nu
|ak | convergeert, dan zijn (vanwege de
en
∞
X
ak =
k=1
∞
X
k=1
(vanwege vergelijkingstest)
a+
k−
∞
X
a−
k convergent.
k=1
Relatieve convergentie
∞
X
k=1
|ak | convergent =⇒
∞
X
ak convergent.
k=1
• De omkering geldt niet.
• Er zijn convergente reeksen die niet absoluut convergent.
Imak
k=1
k=1
absoluut convergent, en dus convergent.
• Dan convergeert ook
∞
∞
∞
X
X
X
ak =
Reak +
Imak
k=1
k=1
∞
X
Reeksen en Machtreeksen
4-31
k=1
|ak | convergeert en dat alle ak
−
−
+
• Dan a+
k ≥ 0, ak ≥ 0 en ak = ak − ak .
−
• Tevens geldt 0 ≤ a+
k ≤ |ak | en 0 ≤ ak ≤ |ak |.
∞
P
• Omdat
|ak | convergent is, convergeren daarom
• De reeks (∗) is een reeks met niet-negatieve termen.
We kunnen convergentie van (∗) bestuderen met
Reak
k=1
• Verbind met elke term ak twee getallen:
−
a+
k = max(ak , 0) en ak = − min(ak , 0)
(∗)
convergent is.
k=1
vergelijkingstest)
∞
X
∞
P
k=1
• Zulke reeksen noemen we relatief convergent.
• Voorbeeld?
Reeksen en Machtreeksen
Alternerende reeksen
Reeksen en Machtreeksen
4-33
Kenmerk van Leibniz
• Een rij (ak ) met reele
¨ termen is alternerend als de
elementen ak afwisselend positief en negatief zijn.
∞
P
• Een reeks
ak is een alternerende reeks of wisk=1
selreeks als de rij (ak ) alternerend is.
Neem aan
• (ak ) is een alternerende rij.
• |ak+1| ≤ |ak | voor alle k .
• lim ak = 0.
k→∞
Dan is de alternerende reeks
∞
P
k=1
• Bewijs slaan we over...
Reeksen en Machtreeksen
De alternerende harmonische reeks
∞
X
(−1)k
k=1
k
4-35
is de alternerende harmonische reeks.
• Er geldt ak =
(−1)k
.
k
• (ak ) is duidelijk een alternerende rij en de rij van
absolute waarden daalt naar nul.
• Volgens het kenmerk van Leibniz convergeert de
reeks.
• Maar... de reeks is niet absoluut convergent.
De alternerende harmonische reeks is convergent, maar
niet absoluut convergent.
ak convergent.