Transcript (AO) voor week 5

GETALLEN, najaar 2013
Aanvullende opgaven week 5
Opgave 11. Gegeven is een verzameling A. Zij S(A) de verzameling van alle surjectieve afbeeldingen
van A naar een andere verzameling, dus
S(A) = functies f : A → B f is surjectief .
(NB: de verzameling A is vast gekozen maar B en f vari¨eren.) We voeren een relatie ≡ in op S(A) door
∼
te stellen dat (f1 : A →
→ B1 ) ≡ (f2 : A →
→ B2 ) als er een bijectie ϕ: B1 −→ B2 bestaat zo dat f2 = ϕ ◦ f1 .
(i) Bewijs dat ≡ een equivalentierelatie is op de verzameling S(A).
(ii) Als (f1 : A →
→ B1 ) ≡ (f2 : A →
→ B2 ), bewijs dat f1 en f2 dezelfde equivalentierelatie geven op A.
(Dus: ∼f1 = ∼f2 op A.)
(iii) Zij S(A)/≡ de verzameling van equivalantieklassen in S(A) onder de equivalentierelatie ≡. Als
f: A →
→ B een element is van S(A), schrijf [f ] ∈ S(A)/≡ voor zijn equivalentieklasse. Zij verder E(A)
de verzameling van alle equivalentierelaties op A. Bewijs dat er een unieke afbeelding
H: S(A)/≡ → E(A)
bestaat zo dat H[f ] = ∼f voor alle f ∈ S(A).
(iv) Bewijs dat de afbeelding H uit (iii) een bijectie is en geef een concrete beschrijving van de inverse
van H.
Opgave 12. Zij A een verzameling. Gegeven zijn twee relaties R en S op A. (We vatten R en S hier op
als deelverzamelingen van A × A.)
(i) Als R en S allebei equivalentierelaties zijn, bewijs dat dan ook R ∩ S een equivalentierelatie is.
Druk de equivalentieklassen van R ∩ S uit in de equivalentieklassen van R en S.
(ii) Als R en S allebei equivalentierelaties zijn, is dan ook R ∪ S altijd een equivalentierelatie? Zo
ja, bewijs dit; zo nee, geef een concreet voorbeeld waaruit dit blijkt.
(iii) Als R en S allebei ordeningen zijn, bewijs dat dan ook R ∩ S een ordening is.
(iv) Welke ordening krijg je in (iii) als je A = Z neemt met voor R de ordening 6 en voor S de
ordening > ?
Opgave 13. Zij V de verzameling van alle functies N → N. Als f : N → N en g: N → N twee dergelijke
functies zijn, schrijf f g als f (n) 6 g(n) voor alle n ∈ N.
(i) Bewijs dat “” een ordening is op de verzameling V .
(ii) Is “” een welordening? Motiveer je antwoord.
Opgave 14. Zij (V, 6) een geordende verzameling. Zoals gebruikelijk betekent x < y dat x 6 y en x 6= y.
Definieer een relatie “6lex ” op V 2 = V × V door te stellen:
(v1 , v2 ) 6lex (w1 , w2 )
als
(v1 < w1 )
of
(v1 = w1 en v2 6 w2 ) .
(i) Bewijs dat 6lex een ordening is op V 2 . Snap je waar “lex” voor staat?
(ii) Als 6 een totale ordening is, bewijs dat 6lex ook een totale ordening is.
1