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１変数の関数と微分
一変数の(実(数値))関数
• 実数を一つ決めたとき、実数が一つ決まる
– 例 x2-2x+5
– x :変数(variable)
線形関数
• 鉛筆が一本p円で、 x 本買うと、 p x円
x :変数(variable)とすると線形関数
a x と同じ
原点を通り傾きがpの直線
• アフィン関数(1次関数)
最初b円持っていて、p円の鉛筆、 x 本買うと、残り
は b- p x円
切片がbで傾きが- pの直線
変数とパラメータ
• 鉛筆が一本p円で、 x 本買うと、 p x円
pを変えると様々な関数になる。
このとき、 xが変数だとpはパラメータ
• 何が変数で何がパラメータかは、文脈で決ま
る
• 推測統計学のパラメータとは異なる。
１変数の関数の例
ax
線形関数、
ax + b
アフィン関数、
a0 + a1x + ... + an x
n
a0 + a1 x + ... + an x
m
b0 + b1 x + ... + bm x
多項式
n
有理関数
べき(冪 )関数(power function)

x
2  2  48  2  2
2
3
5
22  2-1  4  2-1  22-1  2
1  x x -  x -  x0
2 +3


 +
x x x
1
2 
2
-1
x0  1
x
-
1
 
x
べき関数(つづき)

x
2
 
2   2 2  2
 
1
2
x
1
2
n
m
極限を取る
1
2
1 1
+
2 2
2
1
2
2  2
xのm乗根 のn乗

x
x>0,は実数
べき関数のグラフ
x1.5
x
0.8
x>0, 1>>0右上がり、上に凸(凹関数 )
x>0,>1右上がり、下に凸(凸関数 )
反比例と直角双曲線
-1
1
x
反比例
グラフは直角双曲線
x>0, 0> 右下がり、下に凸・・直角双曲線(-1)と似
た形
指数関数
a
x
a>0
指数関数 のグラフ
1.5
x
0.8x
a
x
a>1, 右上がり、下に凸
1>a>0, 右さがり、下に凸
普通の指数関数(exponential
function)
n
1 1
 1
a  e  limn 1 +   1 + + + .....  2.7182818284590451....
2 3!
 n
にとる(自然対数の底・ネピア数)
e  exp  x )
x
de
x
e
dx
x
微分しても不変
対数関数(logarithmic function)
a  y  y  loga x
x
• 普通の対数関数(自然対数)はa=e
log x,ln x
• 微分すると
1
x
片対数のグラフ
水準に関係なく、二倍になるのが同程度難しい
経済変数(例 物価)の長期変動は、縦軸を対数
にとったほうが分かりやすい
消費者物価指数(CPI)
CPIの対数
120.00
5
4.5
100.00
4
3.5
80.00
3
60.00
2.5
2
40.00
1.5
1
20.00
57
53
49
45
41
37
33
29
25
21
17
13
9
5
0
1
57
53
49
45
41
37
33
29
25
21
17
13
9
5
0.00
1
0.5
対数関数の和と指数関数の積
exp  x ) exp  y )  e e  e
x y
x+ y
 exp  x + y )
ln  X ) + ln  Y )  ln  XY )
 X  e , Y  e , XY  e
x
a )
x
y
y
x+ y
 a でa は×
xy
xy
自信がなくなったら、2とか3を入れて確認
逆関数(inverse function)
f  x )が厳密に増加的あるいは厳密に減少的な関数
f  g  y ))  y
g  y)  f
-1
 y)
f  x ) の逆関数
ff
-1
 y ) )  y, f  f  x ) )  x
-1
exp  x ) : ln  x )の逆関数
ln  x ) : exp  x )の逆関数
y
f  x)
x f -1  y )
三角関数
sin 60  sin

3
(0,1)から円周上に計った弧の長さ

3

2
sin 
,sin 
,sin 2  0
3
2
4
2
必要に応じて説明
関数の微分
• 関数(function)
実数を一つ決めると、実数が一つ決まる
写像(mapping) と同じ
f(x),g(x)など
経済学では、 D(p):需要関数
定義域(domain)
有理式では、分母が0でない領域
対数関数やベキ関数では、正の実数
値の範囲が値域
連続関数
f  x )がaで連続  limxa f  x )  f  a )
εｰδ式の定義
すべての  > 0に対し て、 あ る  > 0があ っ て
x - a    f  x) - f a)  
 > 0,  > 0, x - a    f  x ) - f  a )  
εｰδ式の定義の例
f  x )  x がx  aで連続
2
x-a  
f  x ) - f  a )  x2 - a2  x + a x - a
 x - a + 2a x - a   x - a + 2a  x - a   + 2a 

- 2a + 4a 2 + 4


 
 
 + 2a
2




  x - a    f  x) - f a)  




開区間と閉区間
a<bの
(a,b) aとbを含まない
[a,b] aとbを含む
(-,b) bより厳密に小さい実数の集合
Exteded real number
と-を含む
測度論で出てくる
-) +やは、00のように定義できないようにすればい
い×00)
区間での連続
f (x)が (a,b)の各点で連続のとき
f (x) は(a,b)で連続
(a,b]などのときは、片側の区間でいい
一様連続
• 普通の連続はεｰδ式で、 δが評価点に依存
f  x )  x がx  aで連続
2

- 2a + 4a 2 + 4

 
2


- 2a + 4a 2 + 4
2



  x - a    f  x) - f a)  




a a +
2

 0   a  
• 評価点に依存しないで、区間で一定に取れれ
ば一様連続
定義域が  0,b     -b + b +  でいい
2
区間のいたるところ不連続な関数
の例
• 有理数で1無理数で0をとる関数
(ii)関数の微分(differentiation)
lim x a
f  x) - f a)
が存在
x-a
f  x ) が aで微分可能
lim x a
f  x) - f a)
 f 'a)
x-a
f ' a)
a
導関数
区間の各点で微分可能なら区間で微分可能
f '  a )はaの関数　: 導関数
df  x ) df
f ' x) ,
, など の記法
dx dx
中に何が入っているか文脈で判断
より一般的な議論
limsup xa
f  x) - f a)
f  x) - f a)
 liminf xa
x-a
x-a
は∞、－ ∞を入れれば必ず存在
両者が一致して有限のとき
f '  a )  lim xa
+
limsup xa
f  x) - f a)
x-a
f  x) - f a)
f  x) - f a) 

 limba supb> x >a

x-a
x-a


中括弧の中は、単調減少なので必ず極限がある
微分可能性と連続性
• 微分可能な関数は連続
• 導関数が連続な関数は連続微分可能
• 導関数が微分可能なときその微分が二階微
分
• 二階微分が連続のとき二階連続微分可能
• 連続なのは、微分(導関数)のほう
• このあたりだと、微分と積分が逆になるなど、
だいたい都合のいい性質を持つ
主な微分公式
a
dx
 ax a -1
dx
d sin x
 cos x
dx
x
de
x
e
dx
d ln x 1

dx
x
d cos x
 - sin x
dx
• 導くのは難しくないが略
• これと、積と合成関数の公式をくみあわせれ
ば、いくらでも練習問題ができる。
積の微分
定理
f(x) と g(x)がある区間 (a,b)で微分可能であるとする。
h(x)= f(x)g(x) とするとh(x)は(a,b)で微分可能で
h’(x)= f’(x) g(x)+ f(x)g’(x)
• 「数学者の仕事は、定理(theorem)を証明する(prove)ことで
ある」
• 定義(definition)を作ること?
• 命題(proposition)・・定理とほとんど同じ
• 補題 (lemma)・・・主要な定理・命題の証明に使う小定理
• 系(Corollary ) ・・・定理や命題からすぐに出る命題
積の微分の説明
h  x + ) - h  x) f  x + ) g  x + ) - f  x) g  x)



f  x + ) g  x + ) - f  x) g  x + ) + f  x) g  x + ) - f  x) g  x)


 f  x + ) - f  x) 
 g  x + ) - g  x) 
 g  x + )
 + f  x)








f ' x)

g ' x)
積の公式の応用例
d
d 
d 
 x  x)   x   x + x   x 
dx
 dx 
 dx 
d n
n -1
帰納法を 使う と  x )  nx
dx
(v)合成関数の微分
合成関数
h(x)= f(g(x))
xの値⇒ g(x)の値 ⇒ h(x)= f(g(x))の値
合成関数の微分の公式
h’(x)= f’(g(x)) g’(x)
f’(g(x)) :導関数f’(・)にg(x) の値を入れる
合成関数の微分公式の説明
f  g  x +  )) - f  g  x ))

f  g  x +  )) - f  g  x )) g  x +  ) - g  x )

g  x + ) - g  x)

 
f '  g  x )) g '  x ) g  x + ) - g  x )が0を取る と ちゃんと し た証明では困る
微分公式を使った例
-1
d  1  d

   g  x ) )
dx  g  x )  dx
 f '  g  x ) ) g '  x )  f  z )  z -1 , f '  z )  -1 z -2
-
g ' x)
g  x)
2
 f '  g  x ) )  -1 g  x )  -2
1
g  x)
2
商の微分の公式
d  f  x) d 
1 

   f  x ) 

dx  g  x )  dx 
g  x)
1
d  1 
 f ' x)
+ f  x ) 

g  x)
dx  g  x ) 
f ' x)
g ' x)

- f  x)
2
g  x)
g  x)

f ' x) g  x) - f  x) g ' x)
g  x)
2
f ' f g'

g g g
対数微分
d
ln g  x ) )

dx
 f '  g  x )) g '  x )
g ' x)
1

g ' x) 
g  x)
g  x)
1
 f  z )  ln z , f '  z ) 
z
逆関数の微分
ff
-1
 y ))  y

f ' f
-1
 y ))
df
-1
 y) 1
dy

df
-1
 y) 
dy
1
f '  f -1  y ) )
平均費用と限界費用
C  x)
あるものをx作るのに必要な(総)費用
C  x)
AC  x ) 
x
MC  x )  C '  x )
平均費用
限界費用
平均費用と限界費用(続き)
d
d C  x)
AC  x ) 
dx
dx x
xC '  x ) - C  x )  f  f ' g - g ' f

  
, g  x )  x, f  x )  C  x )
2
2
x
g
g
C  x) 

 x C '  x )   x C '  x ) - AC  x )
x 

平均費用と限界費用(続き2)
d
AC  x )  x C '  x ) - AC  x )
dx

MC  x ) § AC  x )  AC '  x ) § 0
限界費用が平均費用より
大きい(小さい)ときは、
平均費用が右上がり(右下がり)、
限界費用と平均費用が等しいときは、
平均費用の傾きが0
x
生産
中間値の定理、
[a,b], ab でf (x)が連続、
min[f (a), f (b)] c  max[f (a), f (b)]
なら
f (z) cがスパッと成り立つzが一つとは限らないが存在する。
c
a
zb
関数の極大極小
f  x ) が aで極大   > 0 : x   a -  , a +  )  f  x )  f  a )
x0
 x

f  x)   0
0  x 1
x -1
1 x

極大
f  x ) が aで極大   > 0 : x   a -  , a +  )  f  x )  f  a )
x   a, a +  )
f  x) - f a)
0
x-a
lim xa
f  x) - f a)
 f '+  a )  0
x-a
x  a -  , a ) , 分母の符号に注意
f  x) - f a)
0
x-a
lim xa
f  x) - f a)
 f '-  a )  0
x-a
f  x )がaで微分可能  0  f '-  a )  f '  a )  f '+ a )  0  f ' a )  0
極小も f '  a )  0
Rolleの定理
f  b )  f  a ) , f は a, bで微分可能

  0,1 , f '  b + 1 -  ) a )  0
 a, bはコ ン パク ト 、 f は微分可能
 f が定数でない
　 b + 1 -  ) a ) ,   0,1) で最大を と る

f '  b + 1 -  ) a )  0
a
 b + 1 - ) a
b
平均値の定理
fは微分可能
f  x)
f a)
a
 x + 1- ) a
x
f  x )  f  a ) +  x - a ) f '  x + 1 -  ) a )
がス パッ と 成り 立つ   0,1がある 。
  0,1 , f  x )  f  a ) +  x - a ) f '  x + 1 -  ) a )
f b) - f  a )
  x)  f  x)  x - a)
b-a
  a )    b)  f  a )
Rollの定理
   0,1 :  '  b + 1 -  ) a )
f b) - f  a )
 f '  b + 1 -  ) a ) b-a
0
平均値の定理(序)
f  a ) +  x - a ) f '  a ) aの近くでのf (x)の近似
f  a) +  x - a) f 'a)
f  x)
a
x
平均値の定理
fは微分可能
f  x)
f a)
a
 x + 1- ) a
x
f  x )  f  a ) +  x - a ) f '  x + 1 -  ) a )
がス パッ と 成り 立つ   0,1がある 。
平均値の定理(積分型)
f  x )  f  a ) +  x - a ) f '  x + 1 -  ) a )
f  x) - f a)
 f '  x + 1 -  ) a ) : 平均変化率  微分
x-a

b
a
f '  x )dx
 f '  b + 1 -  ) a )
b-a
 g  f '
 g  x )dx  g  b + 1 -  ) a )
b
a
b-a
平均値の定理(積分型・続き)
 g  x )dx  g  b + 1 -  ) a )
b
a
b-a

b
a
b
1
1
g  x )dx  g  b + 1 -  ) a ) , 
dx  1
a
b-a
b-a
より一般に以下の命題が成立する・・
 h  x )dx  1, h  x )  0
b
a

   0,1 ,  g  x ) h  x )dx  g  b + 1 -  ) a )
b
a
テーラー展開(2次)
f " a )
2
f a) +  x - a) f 'a) +
 x - a)
2
aの近くでのf (x)の2次の近似
f  x)  f a) +  x - a) f 'a) +
f "  b + 1 -  ) a )
2
 x - a)
2
二回連続微分可能なら
ある 0,1 でスパッと成り立つ
テーラー展開(n次)
f " a )
2
f  x)  f a) +  x - a) f 'a) +
x
a

) +
2
 n)
f
 b + 1 -  ) a )
f  n -1)  a )

n -1
n
.... +
 x - a) +
 x - a)
n!
 n - 1) !
n回連続微分可能なら
ある 0,1 でスパッと成り立つ
テーラー級数
a=0のテーラー展開を無限の伸ばす
f " 0) 2
f  x )  f  0 ) + xf '  0 ) +
x +
2
k
f  n -1)  0 ) n -1 f  n )  0 ) n

k ) x
.... +
x +
x ....   k 0 f  0 )
n!
k!
 n - 1)!
これが成立するのが整関数
指数関数のテーラー展開
exp  x )  exp  0 ) + x exp  0 )
exp  0 )"

'+
x
2
2
+ ....
exp  0 ) 2
 exp  0 ) + exp  0 ) x +
x + .....
2
n
 x
  n 0
n!
複素数まで入れたときの指数関数の定義
正弦関数のマクローリン展開
sin  x )  sin  0 ) + x sin  0 )
sin  0 )"
sin  0 ) '''


'+
x +
x
2
2
3!
sin  0 ) 2 cos  0 ) 3
 sin  0 ) + x cos  0 ) x x + ...
2
3!
2 k +1
1 3 1 5
  -1) x
 0 + x - x + x + ...   k 0
3!
5!
 2k + 1)!
k
複素数まで入れたときのsin(x)の定義
3
+ ....
余弦関数のマクローリン展開
cos  x )  cos  0 ) + x cos  0 )
cos  0 )"
cos  0 ) '''


'+
x +
x
2
2
3!
cos  0 ) 2 sin  0 ) 3
 cos  0 ) - x sin  0 ) x +
x + ...
2
3!
2k
1 2 1 4
  -1) x
 1 - x + x + ....   k 0
2!
4!
 2k ) !
k
複素数まで入れたときのcos(x)の定義
3
+ ....
オイラーの公式
n
1 2
 x
exp  x )  1 + x + x + ....   n0
2
n!
1
1
2
3
exp  ix )  1 +  ix ) +  ix ) +  ix ) + ......
2
3!
1 3 1 5
 1 2 1 4
 
 1 - x + x + ...  + i  x - x + x 
4!
3!
5! 
 2
 
 cos  x ) + i sin  x )
三角関数の加法定理
exp  ix ) exp  iy )   cos  x ) + i sin  x ) )  cos  y ) + i sin  y ) )
 cos  x ) cos  y ) - sin  x ) sin  y ) + i  sin  x ) cos  y ) + cos  x ) sin  y ) )
exp  ix ) exp  iy )  exp  i  x + y ) )
 cos  x + y ) + i sin  x + y )

cos  x + y )  cos  x ) cos  y ) - sin  x ) sin  y )
sin  x + y )  sin  x ) cos  y ) + cos  x ) sin  y )