Transcript SignalenWiskundeWeek..

Inhoud week 6
5.2 Karakteristieke vergelijking, laatste deel
5.3 Diagonalisatie
2
SignalenWiskundeWeek_6.nb
Essentie week 6
Als matrix A een basis van eigenvectoren heeft, dan is matrix
A te herschrijven met behulp van een diagonaalmatrix.
Wanneer hoort er bij A een basis van eigenvectoren van A?
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.2 Multipliciteit
Laat A een n μ n matrix zijn met eigenwaarde a.
Laat pl het karakteristieke polynoom van A zijn, dus pl = detA - l I.
Dan is pa = 0 want a is een eigenwaarde.
Als pl = l - ak ql met qa ∫ 0 en als de graad van ql
gelijk aan n - k, dan heeft a multipliciteit k.
De dimensie van de eigenruimte is altijd kleiner of gelijk aan
de multipliciteit van de bijbehorende eigenwaarde.
Voorbeeld
Laat matrix A karakteristiek polynoom pl = l - 13 l + 1 l hebben.
Dan is A een 5 μ 5 matrix en de eigenwaarden 1, -1 en 0 hebben multipliciteit 3, 1 en 1.
Populair gezegd: de eigenwaarde 1 komt drie keer voor.
3
4
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.2 Voorbeeld met multipliciteit
1 2 3
Laat A = 0 1 2 . Dan pl = 1 - l3 .
0 0 1
Dan is l = 1 de enige eigenwaarde en die heeft multipliciteit 3.
1
De eigenruimte bij l = 1 is de lijn x = r 0 met r œ R.
0
Dus bij l = 1 is de multipliciteit 3 en dimensie van eigenruimte 1.
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.2 Gelijkwaardigheid
Engels: similarity
Laat A en B twee n μ n matrices zijn.
Dan zijn A en B gelijkwaardig als er inverteerbare matrix P bestaat met A = P B P -1 .
Laat A en B gelijkwaardig zijn. Dan
det A - l I = det P B P -1 - l I = det P B P -1 - l P P -1  =
=
=
=
det  P B - l I P -1 
det P det B - l I det P -1 
det B - l I.
=
=
Twee gelijkwaardige matrices hebben dezelfde eigenwaarden
en dezelfde bijbehorende multipliciteiten.
5
6
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Diagonaalmatrix
De n μ n matrix D is een diagonaalmatrix als alle
niet-diagonaalelementen Di, j gelijk aan 0 zijn.
Machten van een diagonaalmatrix zijn eenvoudig uit te rekenen.
15 0 0
1 0 0
1 0
0
5
Als D = 0 2 0 dan D = 0 25 0 = 0 32 0 .
0 0 3
0 0 243
0 0 35
1 0
0
1 0 0
n
0
voor n = 1, 2, …
Als D = 0 0 0 dan D = 0 0
n
0 0 -1
0 0 -1
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Product met diagonaalmatrix
Laat A =
Dan D A =
a1,1 a1,2 ∫ a1,n
a2,1 a2,2 ∫ a2,n
ª
ª
an,1 an,2
d1 a1,1
d2 a2,1
d1 0 ∫ 0
0 d2 ∫ 0
en D =
.
ª ª ∏ ª
0 0 … dn
∏
ª
… an,n
d1 a1,2 ∫ d1 a1,n
d2 a2,2 ∫ d2 a2,n
ª
ª
∏
ª
dn an,1 dn an,2 … dn an,n
en A D =
d1 a1,1 d2 a1,2 ∫ dn a1,n
d1 a2,1 d2 a2,2 ∫ dn a2,n
ª
ª
∏
ª
d1 an,1 d2 an,2 … dn an,n
.
Bij D A worden de rijen van A met d1 , …, dn-1 respectievelijk dn vermenigvuldigd.
Bij A D worden de kolommen van A met d1 , …, dn-1 respectievelijk dn vermenigvuldigd.
7
8
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Diagonaliseerbaarheid
Een n μ n matrix A wordt diagonaliseerbaar genoemd als A
gelijkwaardig is met een diagonaalmatrix D, dat wil zeggen
dat er een inverteerbare matrix P is met A = P D P -1 .
Voorbeeld
3  2 -1  2
Laat A = 
.
1
0
2 -1
1 1 1 0
1 1
2 -1
1 0

Dan A = 

en





=

.
1 2 0 2-1 -1 1
1 2 -1 1
0 1
Dan A2 = P D P -1 P D P -1 = P D2 P -1 en An = P Dn P -1 , n = 1, 2, …
2 - 2-n
-1 + 2-n
1 1 1 0
2 -1

.
Dus A = 

=
1 2 0 2-n -1 1
2 - 2-n+1 -1 + 2-n+1
n
Als n Ø ¶, dan An Ø 
2 -1
.
2 -1
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Diagonalisatiestelling 1
Gegeven is een n μ n matrix A.
Als er basis v1 , v2 , …, vn  voor Rn bestaat, bestaande uit
eigenvectoren van A bestaat, dan is A diagonaliseerbaar.
Laat de matrix P de eigenvectoren als kolommen hebben, dus P = v1 v2 … vn .
Dan A P = A v1 A v2 … A vn  = l1 v1 l2 v2 … ln vn .
met l1 , l2 , …, ln de bijbehorende eigenwaarden.
l1 0 ∫ 0
0 l2 ∫ 0
Nu is l1 v1 l2 v2 … ln vn  = v1 v2 … vn 
ª ª ∏ ª
0 0 … ln
l1 0 ∫ 0
0 l2 ∫ 0
Dan A P = P D met D =
.
ª ª ∏ ª
0 0 … ln
Omdat de kolommen van P onafhankelijk zijn, geldt A = P D P -1 .
9
10
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Diagonalisatiestelling 2
Gegeven een n μ n matrix A.
Als A diagonaliseerbaar is, dan bestaat er een basis v1 , v2 , …, vn 
van Rn bestaande uit eigenvectoren van A.
l1 0 ∫ 0
0 l2 ∫ 0
Laat A = P D P -1 met D =
.
ª ª ∏ ª
0 0 … ln
Er geldt dus A P = P D P -1 P = P D .
Laat vk de k de kolom van P zijn, dus P = v1 v2 … vn .
Dan A v1 A v2 … A vn  = l1 v1 l2 v2 … ln vn .
Gevolg A v1 = l1 v1 , A v2 = l2 v2 etc.
Omdat P inverteerbaar is, is v1 , v2 , …, vn  een onafhankelijk stelsel en dus een basis.
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Voorbeeld 1, eigenwaarden
1 1 -1
Diagonaliseer A = -1 3 -1 als dat mogelijk is.
0 1 0
Eigenwaarden
Oplossen van pl = detA - l I = 0. Dan
1-l
1
-1
2 - l -2 + l 0
3 - l -1 =
pl = -1 3 - l -1 = -1
0
1
-l
0
1
-l
1
-1
0
1
0
0
= 2 - l -1 3 - l -1 = 2 - l -1 2 - l -1 =
0
1
-l
0
1
-l
= 2 - l 
2 - l -1
 = 2 - l l2 - 2 l + 1 =
1
-l
= 2 - l l - 12 = 0
Eigenwaarden l1 = 2, l2 = 1, l3 = 1.
11
12
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Voorbeeld 1, eigenruimten
Eigenruimten
l2 = l3 = 1; Bepaling nulruimte A - I x = 0 .
0 1 -1 0
1 -2 1 0
1 0 -1 0
-1 2 -1 0 ~ 0 1 -1 0 ~ 0 1 -1 0 .
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
Eigenruimte x = r 1 , r œ R.
1
De matrix A is niet diagonaliseerbaar want eigenruimte heeft
dimensie 1. We rekenen toch de eigenruimte bij l1 = 2 uit.
l1 = 2; Bepaling nulruimte A - 2 I x = 0
-1 1 -1 0
1 -1 1 0
1 0 -1 0
-1 1 -1 0 ~ 0 1 -2 0 ~ 0 1 -2 0 .
0 1 -2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
Eigenruimte x = r 2 , r œ R
1
Dit zijn alle eigenvectoren. Beide eigenruimten hebben dimensie 1.
Matrix A is inderdaad niet diagonaliseerbaar.
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Voorbeeld 2, eigenwaarden
6 0 0
Diagonaliseer A = 1 4 1
0 0 6
als dat mogelijk is.
Eigenwaarden
Oplossen van pl = detA - l I = 0.
6-l
0
0
4-l 1
4 - l 1 = 6 - l 
Danpl = 1
=
0 6-l
0
0 6-l
= 6 - l2 4 - l = 0
Dus l1 = l2 = 6 en l3 = 4.
13
14
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Voorbeeld 2, eigenruimten
Eigenruimten
Eigenruimte bij l1 = l2 = 6.
0 0 0 0
1 -2 1
1 -2 1 0 ~ 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
-1
Eigenruimte x = r 0 +s
1
Eigenruimte bij l3 = 4.
2 0 0 0
1 0 0
1 0 1 0 ~ 0 0 1
0 0 2 0
0 0 0
0
Eigenruimte x = r 1 , r
0
0
0 .
0
2
1 , r, s œ R
0
0
0 .
0
œR
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Voorbeeld 2, diagonalisatie
Diagonalisatie
-1
2
0
Nu is  0 , 1 , 1  een basis van eigenvectoren.
1
0
0
-1 2 0
Laat P = 0 1 1
1 0 0
-6 12
Dan A P = 0 6
6 0
.
0
-1 2 0
4 = 0 1 1
0
1 0 0
6 0 0
6 0 0
0 6 0 = P D met D = 0 6 0 .
0 0 4
0 0 4
15
16
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Voorbeeld 2, extra
Indien nodig, dan moet u de inverse P -1 kunnen bepalen.
Zie 2.2 in Lay.
P
I ~
~
-1 2 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 0 1
~
1 0 0 0 0 1
0 1 1 0 1 0
0 2 0 1 0 1
~
0 1 0
1 0 0 0 0 1
~
0 1 0
1
2
0
1
2
0 1 1 0 1 0
Dus P -1 =
0
0
1
1
2
-1
2
0
1
2
-1
2
1
.
1 0 0 0
0 1 1 0
-1 2 0 1
1 0 0 0
0 1 1 0
~
1
2
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
2
1 0 0
0
0
1
0 1 0
1
2
-1
2
0
1
2
-1
2
0 0 1
1
~
~
.
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Eigenschappen
Stellingen 6 en 7
Als een n μ n matrix A n verschillende eigenwaarden
l1 , l2 , …, ln heeft, dan is A diagonaliseerbaar.
Bij iedere eigenwaarde lk hoort eigenvector vk , 1 § k § n.
Het stelsel v1 , v2 , …, vn is lineair onafhankelijk en vormt een basis in Rn .
De dimensie van een eigenruimte is altijd kleiner of gelijk aan
de multipliciteit van de bijbehorende eigenwaarde.
Laat een n μ n matrix A p verschillende eigenwaarden, p < n,
hebben. Dan is A diagonaliseerbaar als de som van de
dimensies van de p verschillende eigenruimten samen n is.
Laat A diagonaliseerbaar zijn en eigenwaarden l1 , l2 , …, lp hebben.
Als Bk een basis is van de eigenruimte bij eigenwaarde lk ,
dan vormen de vectoren uit B1 , B2 , …, Bp een basis van Rn .
17
18
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Probleem 1
2 1 1
1 -1 -1
Beschouw A = 1 2 1 en de matrix P = 1 0 1
1 1 2
1 1 0
zodanig dat A = P D P -1 voor zekere diagonaalmatrix D.
(1) Laat zien dat A inverteerbaar is.
(2) Wat zijn de eigenwaarden en eigenvectoren van A?
1 -1 -1
4 -1 -1
1 0 1 = 4 0 1 .
1 1 0
4 1 0
1
-1
-1
Eigenvectoren zijn 1 , 0 , 1 met eigenwaarden l1 = 4, l2 = l3 = 1.
1
1
0
(2) A is inverteerbaar omdat 0 geen eigenwaarde van A is.
2 1 1
(1) A P = 1 2 1
1 1 2
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Probleem 2
-3 0 4
Beschouw A = 0 -1 0 .
-2 0 3
Is A diagonaliseerbaar?
-3 - l
0
4
-3 - l 4
0
-1 - l 0 = -1 + l 
detA - l I =
=
-2 3 - l
-2
0
3-l
= -1 + l l2 - 1 = -1 + l2 l - 1 = 0
Eigenwaarden zijn l1 = l2 = -1 en l3 = 1.
Eigenruimte bij l1 = l2 = -1: Bepaling nulruimte van A + I.
-2 0 4 0
1 0 -2 0
0 0 0 0 ~ 0 0 0 0 .
-2 0 4 0
0 0 0 0
Eigenruimte is vlak met vgl x1 - 2 x3 = 0, dus 2-dimensionaal.
Antwoord is “ja” want er is basis van eigenvectoren van R3 .
19
20
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Probleem 3
3 -2 5
Beschouw A = 1 0 7 .
0 0 2
Is A diagonaliseerbaar?
3 - l -2
5
3 - l -2
-l
7 = 2 - l 
detA - l I = 1
=
1
-l
0
0 2-l
= 2 - l l2 - 3 l + 2 = -l - 22 l - 1
Eigenwaarden l1 = l2 = 2 en l3 = 1.
Eigenruimte bij l1 = l2 = 2: Oplossen A - 2 I x = 0:
1 -2 5 0
1 -2 5 0
2
1 -2 7 0 ~ 0 0 2 0 ; Dus x = r 1 , r œ R
0 0 0 0
0 0 0 0
0
De dimensie van deze eigenruimte is 1, dus antwoord is “nee”.
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Probleem 4
Laat A diagonaliseerbaar zijn met inverteerbare matrix P en diagonaalmatrix D, dus A = P D P -1 .
Liggen P en D eenduidig vast?
Nee, de volgorde van de eigenvectoren in P bepaalt de diagonaalmatrix D.
Laat A vk = lk vk
l1 0 ∫ 0
0 l2 ∫ 0
Als P = v1 v2 … vn , dan moet D =
.
ª ª ∏ ª
0 0 … ln
Als kolommen in P verwisseld worden, dan moeten elementen op
de diagonaal van D verwisseld worden.
21
22
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Probleem 5
1 2 3
Beschouw A = 2 4 6 .
3 6 9
(1) Is A diagonaliseerbaar?
(2) Geef een diagonalisatie van A.
1
14
1
(1) De kolommen van A zijn veelvouden van elkaar, dus A 2 = 28 = 14 2 .
3
42
3
Verder is de nulruimte van A het vlak x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0.
De nulruimte van A is de eigenruimte bij l = 0.
Het antwoord is “ja”.
1 -2 -3
14 0 0
1 2 3
1
-1
(2) Neem P = 2 1 0 ; Dan D = 0 0 0 en P =
-2 10 -6 .
14
3 0 1
0 0 0
-3 -6 5
Opmerking: P en D zijn niet eenduidig bepaald.
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Probleem 6
De n μ n matrix A is diagonaliseerbaar en inverteerbaar.
Is A-1 diagonaliseerbaar?
Als A = P D P -1 , dan D = P -1 A P. Omdat D een product van
inverteerbare matrices is, is D inverteerbaar.
Merk op dat A-1 = P -1 -1 D-1 P -1 = P D-1 P -1 .
Omdat D-1 een diagonaalmatrix is, is het antwoord “ja”.
23
24
SignalenWiskundeWeek_6.nb
5.3 Probleem 7
De n μ n matrix A is inverteerbaar.
Is A§ diagonaliseerbaar?
Als A = P D P -1 , dan A§ = P -1 § D§ P § . Nu is D§ = D en
P -1 § = P § -1 . Dus A§ = Q D§ Q-1 met Q = P § -1 .
Het antwoord is “ja”.
Opmerking: Omdat P P -1 = P -1 P = I, geldt ook dat
P -1 § P § = P § P -1 § = I, dus P -1 § = P § -1 .